Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. ~иска — ~ Ло~ Отношение сигнал(помеха на выходе оптимального фильтра по напряжению ~ьс макс (17) ц'и скв С 1 1о 2 2 с макс 2Э (18) 2 п скв ~в Ни один из линейных фильтров не может дать отношение сигнал(помеха большее, чем оптимальный фильтр. В противном случае, заменив им оптимальный фильтр, можно получить ббльшую вероятность правильного обнаружения В при заданной вероятности ложной тревоги Р.
Но именно оптимальный приемник дает наивысшую вероятность 0 при заданной вероятности Р. Значит,и оптимальный фильтр этого приемника при заданных условиях дает отношение сигнал(помеха, наивысшее по сравнению с другими линейными фильтрами. Ввиду важности ряда полученных соотношений, приведем еще одну форму записи для случая, когда используется комплексная амплитуда У (г) высокочастотного напряжения и (г) = = йЕ [О (() Е1 2" 1а '1 ЗаМЕНяя и (() = Ц (() е! 2и1о ~+ Ц* (() е — / 2л1о ~ 1 1 2 2 и подставляя (19) в (5), получим ИО= — 60 — '()+ — О0+(.). 2 2 (19) (20) 118 Ф З.1О зависит только от энергии полезного сигнала и спектральной плотности помехи Хс и не зависит от формы сигнала. То же справедливо и для отношения сигнал(помеха по мощности Рис. 3.21.
Амнлитудно-частотные снектры радиоимауль- са ~д(О ! и его огибающей ! 6Ц) ~ где 6Я вЂ” спектральная плотность комплексной огибающей (21) На рис. 3.21 для сравнения показаны амплитудно-частотный спектр радиоимпульса ~д(~) ~ и спектр его огибающей ~6(Д ~. Легко видеть, что для соответствующего этому рисунку случая достаточно большой несущей 1', спектральная плотность (22) Учитывая (22), вернемся к соотношению (10). Разобьем интервал интегрирования в этом соотношении на два, от,— оо до 0 и от 0 до оо, выражая одновременно д(~) через 6()) согласно (22). Заменяя 1 + ~, = ~' в первом интеграле и 1 — ), = 1" во втором и учитывая ограниченную протяженность функции 6(~), обозначим ~ ~ 6 Д) (а е) 2н) и- и- ы ф 2 Я1 (~) (23) Выражение (10) можно свести тогда к виду Гн (~) ф' (Г) ф 2кс)о а — а — С,) +Š— ~ 2л)о а — а — 8,)1 1 = 1р,(т) соз 2л1о(т а го).
(24) В соотношении (24) У,(1) — огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра; считаем, что У,.(1) = В'. Это справедливо, ф 3.10 119 — 26(~ — ~,) 1 2 для 1) О, для ~(0. если амплитудно-частотный спектр ~ 6Д) ~ симметричен*, т. е. ~ 6( — 1) ~ = ~ 6(7) ~. В соответствии с формулой Эйлера из (23) получим т,щ= — ) 3оя3'соя2п7о — п — к,~ык. ~25) 2 Соотношение (25) позволяет оценить форму вершины огибающей на выходе фильтра. Для большинства важных случаев можно воспользоваться приближенным разложением соз 2п)(1 — а — (о)в окрестности максимума соз 2л) (~ — а — ~о) = 1 — — 12л)" (1 — а — 1о)1о, 1 2 откуда К,(г) =63 1 — — П,(1 — а — ~о)', 12п16 ® 1олг П = э— ~! 6®1'о7 (26) (27) Где Приведенные соотношения справедливы, если ~ 6(1) ~ убывает с ростом ~7" ~ быстрее чем 1/~1 ~, и интегралы сходятся (что несоблюдается, например, для прямоугольного радиоимпульса).
В тех случаях, когда приведенные соотношения справедливы, вершина импульса на выходе оптимального фильтра (рис. 3.20) имеет в силу (26) параболическую форму и тем уже, чем больше величина Па. Величина Поимеет размерность частоты, она теы больше, чем шире спектр сигнала, и может быть названа поэтому эффекгтсвной шириной спектра сигнала. Как показывают формулы (26), (27), чем больше П„тем острее версиина огибаюи(ей сигнала на вы.соде оптимального фильтра. Дифференцируя сопряженный с (21) интеграл ля= 1 ойе"""4, получим * Последующие формулы (26) — (28) справедливы и для несимметричного амплитудно-частотного спектра (см., напримев. 124.
961). 120 в 3.10 Ц' (~) — ) ~2п~6 (~) е1влР с(~ что дает возможность трактовать выражение ~2п16(1) ! в числителе' (27) как модуль спектральной плотности Г (1). Тогда по теореме Парсеваля ~ еl' (хг !~ и П2 — оэ э— ( ~и(Орви (28) ф 3.11. Пример оптимальной фильтрации колокольных радиоимпульсов без внутриимпульсной модуляции фазы колебаний Оптимальный фильтр можно подбирать либо по частотной, либо по импульсной характеристике, взаимосвязанным между собой. Для простых сигналов без внутриимпульсной модуляции фазы широко используемые фильтры в виде полосовых каскадов УПЧ близки к оптимальным.
Обратимся поэтому вначале к анализу возможности оптимальной фильтрации для четырех моделей сигналов без внупгриимггульсной модуляцгги фазы: 1) одиночный колокольный радиоимпульс; 2) когерентная пачка таких импульсов, т. е. ограниченная последовательность радиоимпульсов, жестко связанных по фазе; 3) одиночный прямоугольный радиоимпульс; 4) когерентная пачка прямоугольных радиоимпульсов. Первые две из этих моделей рассматриваются в данном, две остальные — в следующем параграфе. Одиночный колокольный радиоимпульс описывается выражением вида и (1) = е — "' соз 2л~, 1. В результате пребразования Фурье можно найти спектральную плотность этого импульса Рф =до Ге- ь и — г и+е — ьгг+ г,г ) (2) 1-а Г г гг' где д, = — ~~ — ", Ь = —, т. е.
для колокольного радиоимпульса амплитудно-частотный спектр как в области 1'~ 0 (первое слагаемое), так и в области ~ <.-,0 (второе слагаемое) также является колокольным, а фазо-частотный спектр — нулевым (в случае задержки импульса на г — линейным с угловым щэффициентом, зависящим от т). 5В э~к. г~оо [2г Величину П, не следует отождествлять с полосой П„на какомто общепринятом уровне (0,7; 0,5; 0,46 и т. д.). Как следует из ~ 4,3, для колокольного радиоимпульса полоса П„= 1Ггг П„, где τ— полоса на уровне 0,46; она соответствует уровню е — ""4 = 0,08. Для другой формы импульса этот уровень может быть иным.
Ъъ~п Я~ и г, у О у о а) ф Рнс. 3.22. Амплитудно-частотные: спектр ~ дД) ~ колокольного радиоимпульса (а), характеристика ! Кепт4) ) оптимального фильтра (б) н спектр выходного радиоимпульса (в) для 1 > О .го ф~ 1 Вводя уровни отсчета длительности ти импульса — „и полосы Пи 1 амплитудно-частотного спектра — „,, приходим к уравнениям откуда Ь= 4 1ПД'. а= — 1пд, 4 2 ти 1 1 В частности, если уровни отсчета — = — = е =0,46, то т„П„=1.
Чтобы построить оптимальный фильтр для колокольного радио- импульса„нужно использовать линейную систему с колокольной амплитудно-частотной и линейной фазо-частотной характеристиками. Такие характеристики имеет многокаскадный резонансный усилитель с настроенными на общую резонансную частоту 1, колебательными контурами. Введя полосу контура П, и относительную расстройку 2 (~ — ~о) используем известное выражение нормированной По передаточной функции одного каскада 1(' ф — у~ ~ + е~ — 1агс1а т 1 2 ) 1+ )т )/1+ ~' Тогда для п-каскадного усилителя Д) Кп(1: 1 т~ о е — /лаге!д~ 2 11+уе ~ Поскольку полоса многокаскадного усилителя существенно уже полосы одного каскада, полагаем на интересующем нас участке резонансной характеристики ~ ((1 и заменяем 1 =1— м2 — ч' = е — ", а агс1д т = т, откуда 122 й 3.11 Таким образом, при перемножении резонансных характеристик одиночных контуров приходим практически к колокольной ампли(пудно-частотной характеристике с полосой, обратно пропорциональной корню квадратному из числа каскадов, и к линейной фазовой характеристике, определяющей задержку в усилителе, тем большую, чем уже его полоса и больше число каскадов п.
При соответствующем подборе результирующей полосы такой резонансный усилитель является оптимальным фильтром для любого заданного колокольного радиоимпульса. Импульсная характеристика о(1) этого усилителя, будучи преобразованием Фурье от частотной, также является колокольной (по крайней мере при и -». оо), что обеспечивает ее «зеркальность» по отношению к сигналу. По мере увеличения п эта характеристика сдвигается вправо по временной оси в соответствии с условием реализуемости: о(1) = О при 1 ( О.
На рис. 3.22 показаны: амплитудно-частотный спектр )дД)! = =е 1(' '»)~ и1 колокольного радиоимпульса для ~)0, амплитудно-частотная характеристика )К,„, д) ) = е "1(( )»)Р7 1 оптимального фильтра и амплитудно-частотный спектр ~ ~~-~)Р / )-) Р ~К д)~д) ~ — е ~ п~ / — е ),и ('г~l » л ') — 4 импульса на выходе этого фильтра ) — „= е 4,) . Существенно, что полоса частот сигнала при оптимальной фильтрации сужается в 1/2 раз, за счет чего в 1/2 раз увеличивается длительность выходного радиоимпульса по сравнению с входным. Когерентная пачка колокольных радиоимпульсов иллюстрируется на рис.
3.23, а, где показана последовательность однотипных импульсов и(1 — ИТ), й = О, 1, 2, ..., сдвинутых по отношению к соседним на одинаковый временной интервал Т, называемый периодом посылки. На рис. 3.23, б иллюстрируется возможность формирования соответствующей оптимальной импульсной характеристики линейного фильтра. Последний образован в результате последовательного соединения двух звеньев с частотными характеристиками К1((') и КД). Первое звено представляет собой описанный выше резонансный усилитель, согласованный по полосе пропускания с одиночным импульсом. В режиме снятия импульсной характеристики (т.
е. при воздействии на вход 6-функции) на выходе этого фильтра с определенной задержкой образуется колокольный отклик, соответствующий ожидаемому импульсу. Второе звено представляет собой неискажающую линию задержки с отводами и общим сумма- $В» 123 тором. На выходе сумматора в режиме снятия импульсной харак теристики можно добиться получения нужной пачки колокольных радиоимпульсов за счет выбора расположения отводов, их числа и коэффициентов передачи. На рис.
3.23, в иллюстрируется результат оптимальной фильтрации когерентной пачки колокольных радиоимпульсов; показаны пачки импульсов ы,(1 — ИТ), снимаемые с отводов линии задержки и отличающиеся от поданной на вход пачки увеличенной в 1Г2 раз длительностью каждого импульса. Огибающая пачки радиоимпульсов на выходе сумматора ы,(1) имеет ромбическую форму и длительность по нулям 2МТ, где М вЂ” число импульсов в исходной пачке. Число импульсов выходной пачки составляет (2М вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
