Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При обнаружении цели в диапазоне дальностей (скоростей) для каждого фиксированного а этого диапазона нужно обеспечить принятие оптимального решения; р — случайный нефиксируемый при обнаружении параметр или совокупность р„р2, ... таких параметров (начальная фаза сигнала, его амплитуда, совокупность начальных фаз и амплитуд сигнала, состоящего из отдельных посылок). Поскольку при обнаружении эти параметры не фиксируются, задается плотность вероятности их распределения р(р) или р(р,, р„...). Наиболее существенной задачей теории оптимального обнаружения является отыскание закономерного решающего правила при- ва нятия решений о наличии или отсутствии цели (А ~ = О или А* = 1) в зависимости от вида функции у(1), т.
е. отыскание дискретного функционала Аоп г = Аопт [У (~)] (функционалом называют переменную величину, значение которой зависит от вида функции). Если решение принимается для различных значенийа в некотором диапазоне их изменения, то необходимо найти А,„г как функцию а А,„,(а) = А,„, (у (~) / а]. Критерием оптимальности может служить критерий минимума среднего риска, либо вытекающий из него более удобный весовой критерий, не требующий непосредственного использования доопытных данных о наличии или отсутствии цели. Наряду с указанной задачей в теории обнаружения решаются задачи установления практически приемлемых принципов построения (синтеза) аппаратуры обработки сигнала, которая будет рабо.
тать в соответствии с оптимальным решающим правилом, и оценки качественных показателей обнаружения, аналогичных рассмот. ренным в ~ 3.2. При написании формулы (1) имелось в виду, что зондирующий сигнал не изменяется под воздействием принимаемых колебаний у(~), так что функция х(1, а, р) от у(1) не зависит. Со случаем, когда параметры зондирующего сигнала меняются в процессе приема ' реализации у(1), выходящим за пределы поставленной задачи и относящимся к последовательному анализу, мы встретимся в ~ 5.3 и 5,5. ф 3.4. Методика решения задачы оптимального обнаружения реальных сигналов По аналогии с примером оптимизации Я 3.2), рассматривая статистические вопросы обнаружения, необходимо найти подходящий способ сопоставления вероятностей различных реализаций колебания у(~) при наличии или отсутствии сигнала.
Одним из наиболее простых путей в этом направлении является введение предположения о спектре сигналов и помех, ограниченном некоторой наивысшей частотой 1"„„„величину которой в дальнейшем можно будет вы. брать произвольно большой и снять тем самым наложенное ограничение. Известно, что для фу нкций с ограниченным спектром спра ведлива теорема Котельникова, позволяющая представить функцнгс у(1) в виде одной из разновидностей разложения в ряд по неслу. чайным функциям ф,Ф со случайными коэффициентами у~; (г) =~ у г]: (О (11 В данном случае у„= у(1„) — это значения функции у(1) в дискретные равноотстоящие моменты времени 1 = ЙЛг(Й = О, ~1, ~2, ...), где М вЂ” интервал дискретизации, связанный с граничной частотой Ж =-= 21макс (2) а ~а(~) — это сдвинутые между собой на время М функции вида а)п х х а1п 2п~мако (~ ~а) 2п1макс(~ — ~а) (3) Как видно из рис.
3.7, при суммировании сдвинутых во времени . а1п х и измененных в ул раз функций значения этих функций в мох мент времени 1 = ~а, все, кроме одного, обращаются в нуль, а это последнее значение будет уа = у(~а). В промежуточные моменты времени сумма ряда и описываемая ею функция у(~) совпадают потому, что сумма ряда не испытывает заметных колебаний во времени, поскольку она не содержит спектральных составляющих, период которых менее — = 2Л1. Развернутое доказательство 1макс дано в приложении 3.
уф Используя теорему Ко- тельникова, различные реализаиии непрерывной фунщии у(Г) можно свести к многомерным случайным величинам У' = )у„у„...), Область определения этих величин называют многомерным лространством. Известно, что одномерные случайные ве- 5сп груме Ко- Рис. 3.8. Пояснение понятия плотности вероятности реализации у(1) 95 Рнс. 3,7. Пояснение теоремы тельникова личины характеризуются точками на прямой д,, двумерные — точками на плоскости у„у,, трехмерные — точками в пространстве у,, д„-, у,. Многомерное пространство понимают как некоторую абстракцию, наглядно иллюстрируемую с помощью трехмерного, двумерного (плоскость) или одномерного (прямая) пространства.
При этом точку многомерного пространства понимают как условное наименование реализации коэффициентов разложения у~. При непрерывном распределении вероятностей каждую реализацию у,, у„... можно характеризовать своей многомерной плотностью вероятности р(у„у., ). Умноженные на ау, е(у, ... эти плотности характеризуют совместную вероятность реализации первой одномерной величины в пределах между у, и у, + ад,, второй — в пределах между д, и у, + ау, и т. д. Поскольку величины у,, у,, ... однозначно определяют всю кривую, то величина р(у„ у,, ...) ау1ау,...
представляет собой вероятность попадания реализации кривой д(~) на «дорожку» (рис. 3.8), определяемую интервалами задания дискретов у„(у ( у, + ау . Более кратко многомерную плотность вероятности р(у„у2, ...) будем обозначать р(У), а соответствующие условные плотности вероятности при наличии одной помехи р„(г') и сигнала и помехи р„,(г'). Дискретный функционал А*[у(~)) переходит в дискретную функцию А*(г'), как и ранее, принимающую в зависимости от г' два значения: О или 1. Выбор наилучшей решающей функции А,„,(У), т.
е. наилучшее разбиение многомерного пространства на области А* = О и А" = 1, представляет собой ближайшую задачу теории обнаружения. Решая эту задачу по аналогии с ~ 3.2, найдем выражения В и Р для произвольной функции А *(г'): 0= ~ р„,(У) А*()')а1', (4) Р = — ~ р„(г') А*(г')Л', (У) где а'г' = ау,ау,..., а область интегрирования соответствует всем возможным значениям величины 1'. Составляя весовой критерий 0 — 1,г', находим Π— 10Е= 1 р (г)11(у) — 10) А*(1') Л;, (5) (ю где 1(У) Реп Р) Рп Р ) — отношение правдоподобия для многомерной случайной величины. Как и в ~ 3.2, максимум весового критерия достигается при оптимальной решаюшей функции 96 Я 3.4 (7) где 1, — пороговое значение отношения правдоподобия, обычно выбираемое в зависимости от заданного уровня условной вероятности ложной тревоги. Принимаемое колебание у(1) с неограниченным спектром описывается многомерной выборкой У тем лучше, чем меньше интервал дискретизации М, т.
е. больше граничная полоса аппроксимации 1 ~„,п„, = —. Поэтому можно считать, что в пределе при Л1-+О определяется искомый функционал ~ 1, если У [у (~) $ а[ ~ Е„ (8) [ О, если 1[у(1) [а[(1„ где 1 [у (Р) [ а) 11гп сп ~~-~п Рп Р'1 (9) В соотношении (9) параметр а вошел только в числитель, так как при отсутствии сигнала плотность вероятности реализации У от параметра сигнала а не зависит. Описанная методика решения с использованием теоремы Котельникова не является единственно возможной, но в силу своей простоты наиболее удобна для первоначального изучения.
5 3.5. Статистика флюктуационной помехи Методика оптимизации обнаружения Я 3.4) предусматривает наличие сведений о статистике помехи, на фоне которой производится обнаружение сигнала. Одной из основных и простейшей с точки зрения математического анализа является флюктуационная помеха (флюктуационный шум). Эта помеха наводится в приемной антенне, либо создается во входных элементах приемного устройства за счет теплового движения электронов в сопротивлениях, дробового эффекта в электронных приборах и т.
п. При воздействии на узкополосную колебательную цепь случайные толчки помехи вызывают налагающиеся переходные процессы, тем более продолжительные, чем уже полоса Л~ (рис. 3.9). В каждый отдельный момент времени налагается большое число случайных воздействий и мгновенные значения флюктуационного шума в соответствии с центральной предельной теоремой подчиняются нормальному (гауссову) закону. Этот закон можно экспериментально наблюдать, снимая с помощью фотоэлемента распределение яркости экрана осциллографа, иа вертикально отклоняющие пластины которого подана флюктуационная помеха при выключенной горизонтальной развертке. На экране при этом наблюдается свет- $ з.в 97 Рис.
3.9. Случайная реализация помехи на выходе резонансного усилителя, настроенного на частоту ~а лая вертикальная черта, яркая в центре и темная по краям. Распределение амплитуд недетектированного шума, как и распределение амплитуд мгновенных знпчений, соответствует простому закону Релея 8 2.12). При подаче такого шума на вертикально отклоняющие пластины при выключенной горизонтальной развертке наблюдается светлая вертикальная черта с несимметричным распределением яркости; наибольшая яркость соответствует паивероятнейшему значению амплитуды.
Структура реализаций шума (рис. 3.9) зависит от характера переходных процессов в цепи, с выхода которой снимается этот шум. Чтобы описать структуру, достаточно снять кривую автокорреляг(ионной фцнкнаи шума, например, с помощью схемы (рис. 3.10). В ней предусмотрены: задержка флюктуационного напряжения на произвольное время т; перемножение задержанного и незадержанного колебаний, например, путем встречного включения диодов с квадратичными характеристиками, на которые поданы 'ет + ~2 полусумма и полуразность перемножаемых напряжений ] ~ — — )— — ] ' '] ] = и,и„ ивкооец, терецвекие во времеви, которое приближенно осуществляется с помощью интегрирующей цепи типа ЯС, В результате для каждой фиксированной задержки т недетектированного шума получим величину, которую можно принять за истинное значение корреляционной функции Й (т) = и (1) п (1 — т) = 11гп — и (т') п (1 — т) Ж 1 т Т, о с тем большей точностью, чем больше период усреднения по срав- 1 нению с —.
По заданному распределению спектральной плотности мощноспт помехи Лг,ф корреляционную функцию напряжения стационарного шума, поданного на сопротивление 1 о,и, можно найти из соот- ношения Р (т) = ~ Л', (~) соз 2л~т А'. о Если шум действует в полосе от О до ~м„„со спектральной плотностью Л',, то р( ) Лг ~ агн2гг1макст 2ггГмаис т й (т) = Лг, соз 2и~ с 4 = — ' 6 (т), о где о(т) = ~ е'~ гтгг1.
Последняя обладает свойством ~ 6(т)От=1. (6) Она обращается в бесконечность при т =О и в нуль при т ~ О. лг'с)гг га-г) ,оаа уаулгл" Рис, 3.!0, Схема осциллографического наблюдения корреляционной функции флюктуационной помехи откуда видно, что чем шаре полоса, пгем быстрее ослабляются корреляционные связи помехи (длительность переходных процессов меньше). В предельном случае ~ а„с -г- оо имеем шум с равномерным распределением мощности по спектру. По аналогии с белым светом, такгке имеющим равномерное распределение по спектру, такой шум называют белым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
