Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Зеркальная импульсная характеристика оптимального 2 ' фильтра (рис. 3,18, а) обеспечивает наилучшее обнаружение сигнала на фоне белого гауссова шума. Постоянные С и ~, позволяют учесть практические особенности оптимальной обработки. Коэффициент С учитывает возможность выбора произвольного коэффициента усиления, в соответствии с которым выбирается уровень порога, обеспечивающий заданное значение условной вероятности ложной тревоги (зависимое или независимое от времени запаздывания). Постоянная ~„ также произвольная в определенных пределах, выбирается из условия реализуемости так, чтобы отличные от нуля значения импульсной характеристики располагались в области 1 ) О (рнс.
3.18, б). Напряжение на выходе оптимального фильтра с учетом (3) и (6) может быть представлено в виде (7) 112 з 3.9 самин/г Рис, 3.18. Примеры построения импульсных характеристик оптимальных фильтров по заданному сигналу С целью найти амплитуду этого напряжения в функции времени перейдем к комплексной записи аналогично 1(12), ~ 3.8): у (в) = — У (з) е~" '+ — Г'(з) е- ~ ", 1 1 2 2 и (1 — 1 -'.; з) =- — У (1, — 1+ в) е1"'о ~' — '+'> + 1 + — и*(И,— 1+ ) — - «.-+, 1 2 го (1) — В' (1) е1« ~ г+ В* (1) е — 1 о г, 1, г 1 2 2 После подстановки в (7), пренебрегая быстро осциллирующими подынтегральными выражениями, находим комплексную амплитуду на выходе оптимального фильтра: Ф(1) = — Се-и" ' ~ У*(1,— ~+в) ~'(з) с(з, (8) 2 откуда амплитуда колебания в момент отсчета 1, + я будет 0*(в — а) У(в) сЬ %'(1 +а) = — С 1 2 (9) Замечая, что 0(в — и) = Х(з) — комплексная амплитуда ожидаемого сигнала, убеждаемся, что амплитуда сигнала на выходе оптимального фильтра определяет модульное значение корреллиионного интеграла, необходимое при оптимальном обнаружении сигналов со случайной начальной фазой (амплитудой и начальной фазой).
Таким образом, построив оптимальный фильтр по сигналу с произб зак. ~аоо 113 или ому Рис. 3,19. Структурная схема одноканального фильтрового обнаружителя для когерентных сигналов с неизвестным запаздыванием вольно выбранной амплитудой и начальной фазой, можно осуществить оптимальное обнаружение сигналов с любыми начальными фазами и амплитудами, даже отличающимися от выбранных. Ит ак, амплитуда напряжения на выходе оптимального фильтра в момент а + г', представляет собой с точностью до множителя величину Л(гх), которую и требуется сравнивать с порогом для каждого испытуемого времени запаздывания. Чтобы перейти от мгновенных значений напряжения на выходе фильтра к амплитудным, следует П предусмотреть в оптимальном обнаружителе детектор огибающе . й. олученныи вывод очевиден, поскольку фаза напряжения на выходе оптимального фильтра при случайной начальной фазе сигнала также случайна.
Информацию о наличии сигнала дают поэтому только огибающая и пропорциональное ей напряжение после детекто а. пряжение должно сравниваться с порогом, уровень которого р подбирается с учетом коэффициента передачи С В результате один канал оптимальной обработки (рис. 3.19) позволит производить обнаружение сигналов с неизвестной случайной начальной фазой, отличающихся временем запаздывания. Выражение (8) можно записать еще в виде Ю(1) = — ~ 1'(в) Р,„,(1 — в)сЬ, (' (10) где 1 онт (~) ~~ (~0 ~) Е (11) — комплексная амплитуда импульсной характеристики о,„, (1).
ч Умножив обе части равенства (11) на еУ о ' и взяв реальн асть, легко убедиться в соответствии (11) выражению (6). в реальную 8 3. 8 .1О. Частотная характеристика, отношение сигнал/помеха и форма вершины импульса на выходе оптимального фильтра Наряду с импульсными характеристиками фильтров весьма широко пользуются их частотными характеристиками. Частотные характеристики особенно удобны при анализе фильтрации в резонансных системах, но могут быть использованы н в других случаях. 114 3 3 ° 10 Частотную характеристику К(~) линейной цепи (в комплексной форме) определяют, подавая на вход цепи гармоническое колебание и(~) = е~'""~'. Напряжение на выходе будет ы(8) = К(~)е1'"~' и частотную характеристику определяют как отношение К(~) = — '~ при у(~) =е~'"и.
УИ) Используя ((3), ~ 3.9), получим к(де1~ в 1 о~у — з~еи"низ Поделив обе части равенства на множитель е~'"и и произведя замену переменных 1 — з = т, найдем выражение частотной характеристики в виде преобразования Фурье от импульсной характе- ристики кщ= 1 о~т)е — ~' и ыт. (2) Пользуясь соотношением (2), определяем отсюда частотную характеристику оптимального фильтра к.„, в = с 1 . у, —.~.-и.~ ю, или после замены переменных 1, — т = т КОП,О=Се — ~'"~' ~ и(~)ет2"~'й (3) Отсюда частотная характеристика оптимального фильтра К,„, (~) = Сд* (~) е- ~'"" (4) с точностью до произвольного вещественного множителя С и множителя запаздывания е — 12 П описывается сопряженной спектральной плотностью д*® ожидаемого сигнала, где спектральная плотность уф= 1 ифе — 1' "ю.
(5) Воспользуемся записью спектральной плотности через ее модуль и аргумент д (1) ~ д (1) ~ е1' и а(11, (6) 115 где модуль ~ ду> ~ соответствует амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала, а аргумент агд д(~) — его фазочастотному спектру. В сопряженном спектре модуль тот же, а аргумент имеет противоположный знак, и потому К (~) — С~дгф~е — ! агк х ггге !зюга (?) из Беря от обеих частей равенства (?) модуль и аргумент, можно перейти к амплитудно- и фазо-частотным характеристикам оптимального фильтра.
А мплитудно-частотная характеристии, ~из.из ка оптимального фильтра ~ К,„, Д) ~ = С ~ д Д) ~ (8) проггорггггональна амплитудно-частотному спектру ожидаемого сигнала. Оптимальный а =сх Ео фильтр наилучшим образом пропускает Рис. 3.20, Наложение спектРальные составляющие, наиболее максимумов гармониче- сильно выраженные в спектре. Слабые лезного сигнала на вьь ских составляющих во- спектральные составляющие подавляют ходе ф льтра нрн опти сЯ, в пРотивном слУчае нарЯду с ними мальной фаза-частотной пройдут интенсивные составляющие помехарактеристике хи в широком диапазоне частот.
Форма амплитудно-частотного спектра на выходе фильтра искажается, что являетсн одной из причин искажения сигнала. Однако задачей фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи.
Фазо-частотная харакпгеристика оггтимального фильтра ага К,„, ~)) = — агд д(~) — 2л)1, складывается из аргумента спектра ожггдаемого сигнала, взятого с обратньгм знаком, и аргумента задержки — 2л~1,. Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазо-частотной характеристики, найдем сигнальную составляющую напряжения на выходе фильтра, зная спектральные плотности сигнала и(1 — а) на входе дД)е — г'"~а и на выходе К,в, ЯЯ)е — г'"га.
По принципу суперпозиции напряжение полезного сигнала на выходе фильтра в произвольный момент времени с учетом временного множителя ег2""П будет го (г) — ~ К (~) д(~) е — /алга ег2лгг ф Нб $ 310 Подставляя выражение (4) для К,„,.ф, приходим к соотношению ,у~=с 1~рар, ° — — ау (10) которое является спектральным аналогом предшествующего вы- ражения [(7), ~ 3.91 при у(в) = и(в — я), Используя формулу Эй- лера и учитывая нечетность функции з1п2лД1 — а — 1,), оконча- тельно находим ю,ф)=с 1 (дф('соь2п~(~ — а — ~,)ф. Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется амплитудно-частотным спектром сигнала.
Оно не зависит от фазо-частотного спектра, так как последний компенсируется фазо-частотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент времени 1 = а + 1„и эти значения налагаются друг на друга (рис. 3.20), В этот момент времени имеет место максимум напряжения выходного полезного сигнала и, „.„, = в, (а+ 1,) = С ~ ! д (1') ~' Й~. (12) В силу теоремы Парсеваля 1 ~ийР4= 1 и'Я~1=э (13) этот максимум определяется величиной энергии входного сигнала (14) (15) 117 При отступлении от оптимальной фазо-частотной характеристики, последняя не компенсирует фазовых сдвигов, максимумы гармонических составляющих (рис.
3,20) раздвигаются, а пик суммарного колебания полезного сигнала начнет рассыпаться. Это ухудшает условия обнаружения сигнала на фоне шумов. Отношение максимального значения сигнала к эффективному (среднеквадратичному) значению помехи ы. ~..„,/в„ „,„ называется отношением сигнал~помеха по напряжению, При спектральной плотности мощности Ж (1) на входе фильтра средний квадрат напряжения помехи на выходе будет или для белого шума Л'(() =Л', с учетом (8) И„,„,— Л( С2 1 ~а Ч) ~24 о Поскольку спектральная плотность вещественной функции вре мен и д ( — () = д" ((), то ~ д ( — (') ( = / д Д) !, а т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
