Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Корреляционная функция белого шума имеет вид дельта-функции Для отыскания многомерных плотностей вероятности р„(у„ у„...) реализаций дискретов Котельникова (у, = п„у, = и„...) «квазибелого» шума (спектр равномерен лишь в пределах конечной полосы О ( ( ( (мако) существенно установить корреляиионные моменты (ковариаи,ии) отдельных дискрет 7[ 7[ = у (Ы У (1[) = ~ (12 — Ч. Считая, что дискретизация производится в точном соответ[[й — 1 ствии с шириной спектра помехи, имеем 1„— 1[ =, откуда 2[' макс а(п л (к — 1) 72 У[ = Л(о ~макс й1 (Й вЂ” 1) (7) где 2 Рк (Уь) = 1 2[[[о (мако 2п)[[о 1мако 2 ь[ =~/ — е "' . (9) Г Л( 11[1[о Б. ОТНОШЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ОБРАБОТКА КОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ ф 3.6. Отношение правдоподобия и простейший корреляционный обнаружитель для сигнала с полностью известными параметрами Наиболее простой пример вычисления отношения правдоподобия относится к случаю, когда ожидаемый сигнал х((, со) не имеет неизвестных параметров.
Тогда при условии наличия сигнала н помехи принимаемое колебание у(1) отличается от случайного колебания шума на известную функцию х(г, со): 100 изб Таким образом, различные дискреты ([Р2 Ф 1) оказываются между собой некоррелированными, а дисперсия произвольной дискреты может быть найдена как пРоизведение спектРальной плотности )Уо на полосу ( ,.„,. Обратим внимание на то, что здесь размерность спект(врк1 ральнои плотности помехи ~ — ~ = (длс1. При этом дисперсия науч пряжения на сопротивлении 1 ом численно определяется величиной ( ай й[„[„,„,, измеряемой я [дяе гм[ [еяе[ = [, †„~. Поскольку отсутствие корреляции произвольных величин уа и у, (к ~ 1) при нормальном законе распределения означает их статистическую независимость, используя теорему умножения для плотностей вероятностей, получим Рк (71я 72з ''') Ра (У1) Рк (72) '''з (8) у (1) =п (1)+х(1, а), Дискретные значения у„, соответствующие этому колебанию, удовлетворяют равенствам у),=п„+х)„ где х~ — известные величины (дискретные значения сигнала), 1=1, 2,....
Это значит, что наличие сигнала приводит к смещению распределения величин у), по сравнению со случаем, когда действует одна помеха и у = и„, Аналогично соотношению ((3), ф 3.2)) можно написать Реп (ур у2, ...) = Рп (71 — Х1> 72 — Х2,,). Таким образом, отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами может быть представлено в виде 1()х ~ ) рп(У1 — х1, У2 — х2, ...) (2) Рп (У1 У2 '' ) Используя соотношения [(8), (9), ~ 3.5)1, найдем (у,— х,)'л( (у,— х,)'л( 1(К ~ а)— 2 л( 1 у2 л( 2 е ' е или Сумма же в показателе степени второго сомножителя перейдет в интеграл СО !пп .«~х„ул М= ~ х(1,а)у(1)Ж, (5) л(-» 0 /г который будем называть далее коррелщионныч.
ф 3.6 1 2 2 — — ~~)~~х2 Л( — ~ х У~ Л( 1(г'1а) =е ' е (3) Выражение (3) определяет искомое отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами и помехи в виде квазибелого шума. Оно допускает простой предельный переход к случаю белого шума, когда ~„„„е -)- оо, а И -+ О. При этом сумма в показателе степени первого сомножителя перейдет в интеграл, численно равный энергии ожидаемого сигнала, 11п) ~~у' ,х' Л~ = ~ х2 (~, а) су =.--) (а). (4) л(-о ) Ф А =У еелиг>га А =десжгсгд Рис. 3.11. Структурная схема простейшего корреляцион- ного обнаружителя Окончательно отношение правдоподобия может быть представлено в виде 1(у (г) ! а) е — э(анно е2г(а1/Фо (6) где Ф, — спектральная плотность шума; 3(а) — энергия ожидаемого сигнала и г(и) — корреляционный интеграл г (а) = ~ х (1, а) у (1) Ж = г [у (() ~ а).
(7) .т(г) у(с) п(т) у(г) = л(г'1. г(г1 уят(~) =ряс гтрк Й6 (Ц)г(ц =в(т1г(г) а~ б/ Рис. 3.12. Пояснение корреляционной обработки 102 $3.8 Таким образом, отношение правдоподобия является монотонной функцией корреляционного интеграла, который с целью принятия оптимального решения может быть рассчитан по принятой реализации у(г) для любого фиксированного параметра а, например для заданной дальности. Сравнение отношения правдоподобия с порогом 1, эквивалентно сравнению корреляционного интеграла с соответствующим порогом г, (аналогично рис.
3.3): г, = г, (а) = — ' 1п 1, (а) + — Э (а), 2 2 т. е. оптимальный обнаружитель должен вычислять корреляиионный интеграл (7) и сравнивать его с порогом. Структурная схема простейшего по принципу действия обнару- жителя сигнала с полностью известными параметрами представлена на рис.
3.11. Она состоит из умножителя, интегратора и порогового устройства (ограничителя по минимуму). На умножитель подается опорное колебание х(1, а), соответствующее ожидаемому сигналу, и принятый сигнал у(1). Непосредственное интегрирование произведения х(1, а) у (1) дает корреляционный интеграл. Такой обнаружитель называется корреляиионным. Величина корреляционного интеграла сравнивается с порогом г, порогового устройства. Уровень порога подбирается так, чтобы вероятность Р ложного превышения порога была не больше допустимой. Опорное колебание х(~, а) может вырабатываться специальным гетеродином в зависимости, например, от установленного времени запаздывания а, пропорционального дальности до цели.
Опорный сигнал может получаться также непосредственно от передатчика радиолокатора через линию задержки на время я. Физический смысл корреляционной обработки поясняется на рис. 3.12, а и б, где показаны ожидаемые колебания х(1) = х(1, а), принимаемые колебания у(1) = п(1) при отсутствии сигнала и у(1) = п(1) + х(1) — при его наличии, а также проиллюстрирован результат перемножения функций х(1), у(1) и интегрирование за время существования опорного сигнала (для разных реализаций д(1)].
Считается, что помеха имеет полосу, существенно большую, чем сигнал, что согласуется с исходными предположениями при выводе формул (6), (?). При отсутствии сигнала произведение х(1)у(1) соответствует знакопеременным колебаниям помехи, которые промодулированы опорным колебанием х(1). При наличии сигнала наряду с шумовой составляющей х(1)п(1) будет сигнальная х'(1), которая при интегрировании подчеркивается по сравнению со знакопеременной шумовой составляющей. Распределение плотно- Лл(г) сти вероятности р„(г) ве- РспЫ=~а(г 4 личины г, соответствую- 2т щее отсутствию сигнала (рис. 3.13), при его наличии сдвигается на ~хв(г)ат— 0 Е„Э Е = Э, За счет этого сдвига при достаточной энергии Рн' 3.13. Кривые распрелеленпя плот- ностей вероятности величины коррелясигнала мОжнО пОлучИТЬ ционного интеграла а при отсутствии сиг- ТрЕбуЕМуЮ уСЛОВНуЮ ВЕ- НаЛа рп(а) И Прн ЕГО НаЛИЧИИ рвп(а) в 3,6 )Оз роятносгь правильного обнаружения П для допустимого значения условной вероятности ложной тревоги Р, определяемой установленным уровнем порога г,, Поскольку практически приходится вести обнаружение сигналов со случайными неизвестными параметрами (начальной фазой, амплитудой и т.
и.), полученные результаты должны быть обобщены и распространены на этот случай. $ 3.7. Методика определения отношения правдоподобия для сигналов со случайными нефиксируемыми параметрами Совместную плотность вероятности реализации сигнала и помехи, и случайного нефиксируемого параметра сигнала р можно представить в виде Рп„(У, 1) =Рпп(У) Р(1~ 0) =Р Ф)рпп(У~0). (1) Интегрируя (1) по параметру р во всей области его определения и замечая, что независимо от условия (вида реализации К) всегда ~ Р(Р(1'? Ф=1, (()) находим рп. (У) = ~ р (р) Р,.
(У ~ р) Ф Тогда отношение правдоподобия 1()')='"'",~, = ~ р(р)1()'~1) Ф, (2) где 1(у ~ р? Рпп () ( Р) Рп ()') Вводя наряду с нефиксируемыми параметрами р' фиксируемые а, совершая предельный переход И вЂ” )- О, т. е. переходя от многомерных реализаций 1' к реализациям в виде функций ()(1), можно полу- чить 11у(1) ~я)== ~ р(р)1(у®~а, р)((р, (() ) (4) где 11 (~) ~ р) 1 Рпп( ~ 1)) (5) м и Рп(У) — частное отношение правдоподобия при фиксированных значениях а и р. Поскольку при каждой такой фиксации сигнал полностью из- 104 $ 3,7 вестен, используя формулу [(6), ~ 3.6), находим частное отношение правдоподобия в виде г (а, р) =- ~ х (1, а, р) у (1) Ж, (7) (8) Таким образом, методика определения отношения правдоподобия для сигналов со случайными нефиксируемыми параметрами по принятой реализации у(1) сводится: 1) к вычислению корреляционного интеграла, энергии ожидаемого сигнала и частного отношения правдоподобия при фиксированных параметрах а и р; 2) к усреднению частного отношения правдоподобия по случайному нефиксируемому параметру (или совокупности параметров) р.
ф 3.8. Отношение правдоподобия и простейшие корреляционные обнаружители для когерентных сигналов с нефиксируемыми случайными параметрами Когерентными называют сигналы с закономерной фазовой структурой, однако начальная фаза р радиолокационного сигнала обычно является неизвестной случайной величиной.
Опуская пока для краткости записи фиксированный параметр а, считая известной амплитуду, модель такого сигнала представим в виде х (1, р) = Х (1) соз |в ~+ 1~ (1) — р1 х (1, Р) =- х, ф соз р+ х., (1) 81п р, (2) где (3) Тогда частное значение корреляционного интеграла 1(7), $ 3.7] приводится к виду г 1у (~) ~ р1 = г, соз р + Я~ з1п р = Е соз (р — 0), (4) 105 ф 38 э[а,~3> 2г(а,Д) l(у(1)~а, Щ=е н е н (6) где г(а, р) и Э(а, р) — частные значения корреляционного интеграла и энергии сигнала для фиксированных значений параметров а и где (5) (6) соз 0 = — ', 21п О =- — '. (7) г ' г' Что касается частного значения энергии, то для сигнала, содержащего большое число периодов колебаний, оно от р не зависит, т.
е. З(р) = Э. Учитывая, что все случайные начальные фазы равновозможны, полагаем их распределение равномерным в пределах от О до 2л с 1 плотностью вероятности р(р) = —. Определяя математическое ожи2л дание частного отношения правдоподобия в соответствии с 1(4), (6), ~ 3.7), находим — соя(р — 01 2п 22 1(у(1)) =е " — ~ еч' ((р 2л,) о или, вводя модифицированную функцию Бесселя первого рода ну- левого порядка 1,(и) и восстанавливая опущенный параметр а, имеем Э(а1 — — 22(а) ~ ° 11уф)а!=е а („( — ~, 1((о (8) где 2(а) — модульное значение корреляционного интеграла, опре- деляемое для принятой реализации у(Е) с учетом фиксированного параметра а: 2(а) =2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
