Ширман Я.Д. Теоретические основы радиолокации (1970) (1151795), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Границу зоны обнаружения радиолокатора определяют величиной предельной дальности, на которой условная вероятность пропуска за один цикл обзора не более некоторого допустимого значения Р„,„. Обычно принимают Р„,„ = 0,05 — : †: 0,5, т. е. Р „„, = 0,95 †. 0,5. В некоторых случаях требования к 5 Зл 87 радиолокатору повышаются: принимают О„,„= 0,01 —:0,0001, т. е. О„„„= 0,99 —:0,9999. Из изложенного следует, что основными качественными показателями радиолокационного обнаружения являются условные ве. роятности аровильного обнаружения О и ложной тревоги Р. В пределах зоны обнаружения должны обеспечиваться требования Р ( Р„,„, О ) О„„,.
Использование условных вероятностей Р и О позволяет вести необходимые расчеты при отсутствии данных об априорных вероятностях Р(А,) и Р(А„). Величина 1„связанная с этими вероятностями, как будет показано ниже, не влияет на структуру оптимальной обработки, а выбор параметров схемы обработки может быть произведен по допустимому значению условной вероятности ложной тревоги г. В дополнение к изложенному дадим еще два примера оценки величины О. Для протяженных целей, которые могут занимать несколько (т) разрешаемых объемов, справедлива формула, аналогичная точной части равенства (11), Π— 1 (1 О)~л когда О ) О. Однако такой случай встречается крайне редко. Чаще ставится задача не пропустить ни одну из а целей.
Вероятность противоположного события, а именно, пропуска хотя бы одной цели — составляет О„= 1 — О". При условии, что эта вероятность менее допустимой О,( -'О,„„, получим л О>$~ 1 — О„„„ Например, при О„ „„ = 0,01 и а = 100 требуемое значение ~0О о,о! О > 1/ 1 — 0,01 = 1 — †', = 0,9999, что согласуется с приведенными выше данными. ф 3.2. Простейший пример оптимизации обнаружения Пусть имеется стрелочный прибор, показание которого характеризуется числом у (рис. 3.1). На прибор поступает либо сумма напряжений сигнала х и помехи а, так что у = х + а, либо одно напряжение помехи у = а, т.
е. у=а+Ах, (1) где неизвестный дискретный параметр А принимает значение 0 или 1. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы по измеренной величине у дать оценку этого параметра А~, оптимальную с точки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалентного ему весового критерия. Ьф Ф з.в 'а"® л~„®=ь|-~) Уа Ь~ У Рис.
3.2. Условные плотности вероятности рп(у) и рео(д); график одной из воз»ножных решающих функций А*(у) Рис, 3.1. Простейший стрелочный обнару- житель 89 Считаем, что величины х, у и п за время наблюдения не меняются. Ожидаемое значение сигнала х точно известно. Закон распределения случайной величины п также известен; далее его будем считать нормальным (гауссовым). На рис. 3.2, а показаны плотности вероятности случайной величины д при условиях отсутствия сигнала А = А, = О и его наличия А = А, = 1: р(у'(А,)=р„(у), р(д~А,)=р,.(у).
(2) Здесь индексы «п» и «сп» указывают на различие математических выражений рв(у) и р,„(д) при наличии одной помехи и наличии сигнала с помехой. Кривая' р„,(у) сдвинута по отношению к кривой р„(д) на постоянную величину х. Математически это можно записать так: р„(д) = р„(у — х). (3) Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано решаюи(ей функцией А* = А*(д), которая в зависимости от реализации у принимает одно из двух значений: О или 1. График одной из возможных решающих функций (не обязательно оптимальной) приведен на рис. 3.2, б.
Из графика следует, что в данном случае для д, с д с д, принимается решение о наличии сигнала. Условные вероятности () и г имеют смысл вероятностей попадания случайной величины у в интервал у, —.' д, при условии «сигнал — помеха» или «помеха» и соответствуют заштрихованным площадям под кривыми р,„(д) и ро(д) на графике (рис.
3.2, а). Вводя в общем случае произвольную решающую функцию, выражения для О и г" можно записать в виде интегралов в бесконечных пределах где )' 1, если 1(у) ~ 1„ 1 О, если 1(д) ~1,. Величина 1(д) = р,,„(у)~р (д) называется отношением (или коэффициентом) правдоподобия. Отношение правдоподобия представляет собой отношение плотностей вероятности одной и той же реализаиии у при двдх условиях: когда действует сигнал и помеха и когда действует только помеха. Оно характеризует, какую из гипотез о выполнении указанных взаимоисключающих условий следует считать более правдоподобной. Как и обе плотности вероятности, отношение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом.
Решениео наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает пороговую величину 8„в противном случае принимается решение об отсутствии сигнала. Итак, критерием оптимального обнаружения может служить критерий отношения правдоподобия, являющийся следствием общего критерия минимума среднего риска. Этот критерий наиболее удобен для практических расчетов. гдО $ 3.2 Действительно, участки оси д, для которых А*(д) =- '1, определяют площади под кривыми р,,,(у) и р„(д) подобно тому, как это показано на рис.
3.2, а; участки, для которых А"(д) = О, при интегрировании все равно дадут нуль. Выражение  — 1,с', соответствующее весовому критерию, может быть тогда представлено в виде Π— !,д= ) р„~д) А'щ 51 ~д) — и,| шд, (5) Рсц (У) (6) Рп (У) Согласно весовому критерию оптимальной является такая система обнаружения, которая обеспечивает максимум интеграла (5). Чтобы выполнить это условие, достаточно для каждого д добиться наибольшего значения подынтегрального выражения за счет выбора решающей функции А*(д). Эта функция принимает только два значения: О или 1, так что подынтегральное выражение либо обращается в нуль, либо умножается на единицу. Чтобы достичь наибольшего значения всего интеграла в целом, достаточнообеспечить наибольшее значение подынтегрального выражения для каждого д, поэтому полагаем: 1) А*(д) = 1, если подынтегральное выражение при этом положительно; 2) А*(д) = О в противном случае.
Г1оскольку плотность вероятности р„(у) не может принимать отрицательных значений, то оптимальное правило решения задачи обнаружения. может быть записано в виде Поскольку еще не было использовано предположение о законе распределения помехи, проведенное рассуждение пригодно для произвольного закона распределения. Если же помеха описывается центральным гауссовым распределением со стандартным отклонением по и дисперсией п„то при отсутствии сигнала, когда д = п, ~2 (8) У 2п п~ а при его наличии (У вЂ” х) 2 2" о р„,(д) = = — е г' 2п и„ При этом отношение правдоподобия будет (я — х~ 2 2 е 2"о 1(д'; = у' 2ПО 2 е ха хр е е 2" о по 10) о д, д Рис. З.З, Зависимость отношения правдоподобия от результатов наб- людения Рис.
З,4. Кривые условных плотностей вероятности рн(у) рев(у) и график оптимальной решающей функции А в (у) Зависимость 1(д) для х ) 0 показана на рис. 3.3. На оси ординат отложено пороговое значение 1,. В силу монотонного хода кривой условие 1(д) ~ 1, эквивалентно д >до, а 1(д) (1о — условию д '.- д„(рис.
3.3). Тогда при х ) 0 ( 1, если д~до, А„,(д) = ~ (1 1) ~ О, если д<до. Отсюда видно, что первоначально принятая решающая функция l ра уа Рис. 3.6. Кривые обнаружения Рис. 3.5, График интеграла вероят- ности. (рис. 3.2, б) была неоптимальной. Чертеж с оптимальной решающей функцией, аналогичный рис.
3.2, представлен на рис. 3.4. В нем пе отбрасывается участок площади под кривой р,„(у) правее точки у, (рис. 3.2), что увеличивает вероятность О. Величина же вероятности с при гауссовой статистике возрастает в существенно меньшей степени и соответствует при этом площади под кривой р„(у) (рис. 3.4) правее абсциссы у,. Величину у, будем называть порогом. При заданном уровне помех условная вероятность ложной тревоги Р зависит только от величины у,: 5 е = р„(у) с(у= = ~ е а сЬ= — 1 — Ф а (12) 1Г 2д 3 2 аа й,1 где Ф(и)== ( е 'ав "о — интеграл вероятности, график которого представлен па рис. 3.5.
Таким образом, величину порога можно выбирать непосредственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги, что соответствует критерию Неймана — Пирсона. Это позволяет избегать учета априорных (доопытных) данных о наличии или отсутствии сигнала при реальном проектировании аппаратуры. Условная вероятность правильного обнаружения 0 соответствует площади под кривой р„,(у) правее абсциссы у,: 2п ае (уа — х) /ао или, в силу нечетности Ф(и) = — Ф( — и), окончательно 1 х — у„ (13) 4 2.2 При заданном уровне помех и, величина Р зависит не только от порога у„но и от величины ожидаемого сигнала (рис. 3.6).
Зависимость Р(х) может быть построена качественно из анализа площади под кривой р,„(у) на рис. 3.4 и количественно — в соответствии с соотношением (13), В частности, при х = О значение Р = Р, при х = у, значение Р = 0,5, при х )) у, значение Р ж 1. Чем выше уровень порога у, и меньше условная вероятность ложной тревоги Е, тем больше кривая Р(х) сдвигается вправо. При этом для обеспечения той же вероятности Р требуется больший уровень полезного сигнала. Кривые, изображенные на рис.
3.6, носят название кривых обнаружения. Вопросы отыскания оптимальных решающих функций и построения кривых обнаружения, рассмотренные выше на простейшем примере оптимизации, явятся в дальнейшем важными разделами теории обнаружения реальных сигналов. ф З.З. Постановка задачи оптимального обнаружения реальных сигналов Реальные сигналы являются функциями времени. Поэтому в отличие от рассмотренного в ~ 3.2 простейшего примера, результирующее колебание на входе приемника (т. е.
еще неискаженное в его электрических цепях) имеет вид у (~) = и (~) + Ах (~, а, ~), (1) где пЯ вЂ” колебание помехи на входе (или пересчитанное на вход) приемника, представляющее собой стационарный случайный процесс с известными статистическими характеристиками; А — дискретный случайный параметр, принимающий значение О или 1; х(1, а, р) — известная функция времени и параметров и, р, описывающая ожидаемый сигнал с учетом закона его модуляции, метода обзора пространства и т. п.; а — фиксируемый при обнаружении параметр или совокупность параметров ожидаемого сигнала (время запаздывания, допплеровское смещение частоты и т. п.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
