Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Для многих задач в (31) выполняется приближенно или точно равенство. Известно, что при малых ошибках оценки )ь(ь) гауссовская аппроксимация становится точной. Поэтому уравнение Риккати для расширенного фильтра становится точным и широко используется для оценки дисперсии ошибки квазиоптимальных фильтров. При этом для получения реп!ения входящий в него член из правой части (31) приходится осреднять по ) (ь). Часто эту операцию выполнить точно затруднительно. Использование других алгоритмов гауссовской аппроксимации, отличных от расширенного фильтра Калмана, не улучшает положение.
В подобных случаях представляется более удобным и строгим использование границ Рао — -Крамера. Дисперсию ошибки К'(1), рассчитанную по формуле (30), можно использовать для характеристики качества работы квази- оптимальных фильтров пе только в линейной области малых ошибок фильтрации, но и в нелинейной области больших ошибок, имеющих место при малых отношениях сигпал-шум. В этой области К'(1) определяет только нижнюю ь ранпцу дисперсий ошибок квазиоптимальных филыров, Дисперсия К'(!) дает также нижнюю ~раницу для любых других алгоритмов оценки векторного процесса ).(1) или его любой компоненты.
Прпмср 1бдн1. Ошибки фильтрации прв приеме сигналов с угловой модуляцией. В системал радиосвязи с угловой модуляииси Ьфазовой — грМ или частотнон-— ЧМ) и при когерентиом приеме ралиосигналов возникает задача фильтрации с уравнением наблюдения вилл Ц[)=-Ао з)[е[[ть[р([)) тле(г), где [р([) — компонента !для определенное[и--первая) гауссовского процесса Х(ь). удовлетворяющего уравнению 118). Нижняя граница лля лиспсрспи ошибки фильтрации опрелслястся уравнением ЬЗО), в котором 523 ф(7 ) на ЭВМ. Как и следовало ожидать, обе кривые сходятся при больших значениях д (малых К«). Для таких д дисперсия К„достигает границы Рао- -Крамера К'„.
В области малых д (больших ошибок) кривая К„выше границы. На рис. 10.20 для случая Л»=0 (ф(г)=сапа!) предо~валены зависимости К(г) и К'(г) от времени в переходном режиме. При 1-»аа обе кривые стремятся к нулю, причем при малых значениях ошибок К(г) и К'(г) практически совпадают: К(г)жК'(1), Пример 10.8.2.
Граница Рао — Крамера прн фильтрации негауссовского процесса'. Пусть по линейному наблюдению 9(! =ГГ ь(г)+иа(г) Ко)2=1 фильтрации подлежит аегауссовский процесс Х(г), заданный уравнением АЦдг=)ЛХ+пг(г) ЛГ,12=1, )г(0)=0. Сформулированная задача является частным случаем примера 9.1.2, для которого было получено аналитическое решение. Поэтому можно сравнить точное значение дисперсии ошибки (см. рис.
9.!) с нижней границей Рао — Крамера. Запишем для лапного примера «параметры» эквивалентной линейной молели (19) ... (22): — М(( — Аабп(шагЬ~Р)~') 0...0 0 0...0 0 О...О А ао/ Лго 0- 0 0 0 ... 0 ....................0 0 0...0 Ф(!)=М (аГЬЦдЦ=М (сЬ 'Ц Н(г) = ( Н '+ М ((дГЬ ЦОХ вЂ” Ф(Г)Дг~з. Здесь м.о. берется с априорной плотностью вероятности лля каждого Ь которап иону»вега» из выражений 19.1.49) и (9.1.50) в огау~с~вие наблюдения, и е.
при 11 =0. Из (9.!.49) с учетом того, что )ь(О)=-0, следует гл(г)=0, К,(г)=г и априорная и. в. принимает вид р„,г,, Х)=(Л1(г, г)+Л!( — Л !))/2=ехр( — Хз12! — Н2)сЬЦ дК9 г11= )«,72--(А а)Лга)(К )'. где Х и г -- безразмерные величины, ' Хе!гепп1 О. Оп Гйе Т!8Лгпезз оГ Зогпе Еггог Воцпбз Гог 1Ье Нопйпеаг Ррйеппя РгоЫегп Д 1ЕЕЕ Тгапз.— 1984.— Чо1. ЛС-29, ЛЬ 9.- — Р. 854--857. 524 г 5 злу»7щд 2 0~~«аГ'Фд а) 6 Рис. 10.20. Соотношение между лисперсией ошибки фильтрации К приведенной фазы н ее границей К' дв(Л Ц з дя(г, Ц 2 дв(ц Ф) 'дв(ь га) д д Для данного примера в (31) выполняется знак равенства.
Следовательно, в рассматриваемой задаче приема сигнала с угловой модуляцией на фолс белого шума граница Рао- Крамера задается уравяением Риккати для расширсаного фильтра Калмааа. Чтобы оценить близость реальных результатов к ни»агой границе Рао —— Крамера, зададим фазу га(г) винеровским продессом: "Р)дг=л,(г). Л5(л„(Н)п,(гз)) =(Лг /2)а(Н вЂ” Ч). При этом уравнение (30) для граничной лисперсии ошибки принимает вид На рис. 10.20 прелставлена зависимость стационарной граничной дисперсии К„', от отношения сигнал-шум 0=А »1Л»Ч .
Здесь также приведена зависимость ʄ— стационарное дисперсии ошибки фильтрации фазы, приведенной к интервалу ( — я, к). Она получена математическим моделированием оптимального алгоритма Рис. 10,21. Зависимасть отношения дисперсии ошибки фильтрации к ее нижней границе от времени для нескольких отношений сигнал-шум 1а д в чз =Ю ш5 ц д д 1 2 3 а Х д 7 д 9 11211 12 1314 й,а Вычисляя численным интегрированием Ф(г) н Н(г) и подставляя их в уравнение ,)д~)т)г 1 ! 2ф(г) Н~ Нт(г)(Л!)т можно получить Л'(т).
На рис. 10.21 представлен характер изменения во времени отношения л(т))л'(г). Видно, что при г- оэ дисперсии л(т) и л'(т) стремя~ся к совпадению при любом значении Н, т. е. при любом отношении сигнал-шум д=Нт. При Н> 1 лисперсия ошибки фильтрации )!(т) практически совпадает с границей к'(г) при всех г. для нс1 (малые отношения сигнал-шум) отклонения л(г) от л'(г) могут достигать 2 (прн Н=0,2) и более раз.
Далнь<й пример показывает, что и для негауссовских процессов степень приближения к нижней границе существенно зависит от отношения сигнал-шум. При не слишком малых отношениях сигнал-шум граничное значение л'(г) можно использовать в качестве оценки дисперсии ошибки фильтрации. Г 1 ! е «(и~ ~ Рис.
11.1. Представление аналого-цифрового преобразования Г л а В а 11. ПРИМЕРЫ СИНТЕЭА СИСТЕМ Много конкретных примеров синтеза различных квазиоптимальных радиотехнических систем на базе теории фильтрации можно найти в книгах (например, по радиосвязи [71, по радиолокации [б), по радионавигации и др.) . Ниже рассмотрено несколько самостоятельных примеров из области радиосвязи, радионавигации и радиолокации.
Методика и результаты их решения, с одной стороны, иллюстрируют применение изложенных ранее обшетеоретических положений к решению прикладных радиотехнических задач и, с другой стороны, представляют практический интерес. 11.1. АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ Благодаря быстрому развитию микроэлектроники и появлению быстродействутощих и многофункциональных цифровых злеменгов стало возможным использование цифровой обработки не только в крупных радиотехнических комплексах, но и в сравнительно простой аппаратуре. При этом естественно возросла роль задач, связанных с синтезом и исследованием оптимальных алгоритмов приема сигналов, ориентированных на истюльзованне цифровой обработки. ' Ампвизов И.
Н. Избранные вопросы статистической теории связи.— Мз Сов. радио, 1971.— 416 с. Ярлыков М. С. Статистическая теория радионавигации.—.Мз Радио н связь, 1985.— 434 с 526 Основной спецификой цифрового приема сигналов является преобразование аналогового наблюдения «(т) в цифровую форму. Процесс преобразования включает два этапа: дискретизацию по времени и дискретизацию по уровню (квантование). Процессы дискретизации и квантования осуществляются в аналогоцифровом преобразователе (АЦП вЂ” рнс.
11.1), состоящем из дискриминатора, на вьгходе которого наблюдаются временные выборки «„=«(г,) входного процесса, и квантователк с некоторой характеристикой д„(«„), преобразующего непрерывнозначную выборку «в выборку д„с конечным пронумерованным множеством состоякнй. Сигнал д„, лискретизированный и по времени, и по уровням, называется цифровым.
Аналого-дифровой преобразователь характеризуется двумя основными параметрами: периодом дискретизации по времени А=!„зт — г, и характеристикой квантователя д„(«„). Основными параметрами квантователя являются пороги квантования. Нели цифровой сигнал имеет т!т возможных значений, то пороги квантования удобно перенумеровать йм )тт, ..., Ьм т. При этом т-е состолние цифрового сигнала д„реализуется в том случае, если аналоговая выборка «, попадает между Ь,;м и Ьгм порогами. Рассмотрим задачу нелинейной фильтрации при наблюдении цифрового сигнала. На входе квантователя АЦП действует дискретный во времени процесс «,=.,().)+но., (1 1.1.1) где з„()э)ч я(г„, Х(г„)) — отсчеты полезного сигнала, зависящие от информационного параметра хи=к(г„); ле„— дискретный Бпп с дисперсией 27 вы= ре.
примем, что !.„— марковская последовательность, описываемая п. в. перехода р(Х, ! "ь„.. т). С выхода АЦП наблюлается последовательность квантованных отсчетов д т =(д„дт,, д„,, д„). Задача заключаетсл в получении для каждого момента времени апостериорной п. в. р,(Х)=р(г„, а!91). Напомним, что рекуррентные соотношения (7.2.7), (7.2.8) при дискретной фильтрации в сокращенном виде можно запиглть так: р„р.) =ср(«„(х)р„,(х). (1 1 1.2) 527 Здесь р,„(Л) — экстраполированная на один шаг апостериорная п. в., определяемая (7.2.8); р(«„!Л) — одношаговая функция правдоподобия р(«, ! Л) =(2кНо) н! ехр ( — [«„— х„(Л) ').
(! 1.1.3) Уравнение лля апостериорной и. в. при наблюдении цифровой реализации будет иметь вид, аналогичный (2): р, (Л) = ср (9, ! Л) р„(Л). (1 1.1.4) Н!:«,=.Бъиох Н,:«,= —,,+ио„. Гипотезы Н, и Но считаются априорно равновероятными: ри,(Н!)=Р„(Но)=1(2. По наблюдению Н квантованиых отсчетов йы ..., Ои требуется принять оптимальное решение о том, какая из гипотез, Н или Но, имела место. Известно, что оп»имальный алгоритм состоит в сравнении отношения правдоподобия с единичным порогом: Ч» и И Н ! Р(9( !)>! (11.1.6) Р(9! !7»о)Й 0 «» Поскольку шумовые отсчеты ио,. независимы, то совместные вероятности в числителе и знаменателе -! выражаются через вероятности отдельных значений 98 .=й р (д, ! Н,) Н! =! Р(9 (Но) Но Рис.
11.2. Характеристика бинарного квантователя 528 Единственное отличие алгоритма фильтрации по цифровому наблюдению от (2) заключается в специальном виде функции правдоподобия квантованного отсчета 9„. Теперь р(9„)Л), равная условной вероятности принятия кваитованным процессом я„о!т»гого из М значений, совпадает с вероятностью попадания гауссовской сл. в. «„в один из иатервалов (Ь; !, »!,): р(9„=!!Л)=Ф вЂ”" —" — Ф ' =»)Ф ", 9„=», (11.1.5) где АФ( ) —.обозначение разности интегралов вероятности Ф(.). Видно, что функция правдоподобия цифрового сигнала зависит от расположеяия порогов квантователя АЦП. Итак, соотношение (4) представляет собой общее уравнение оптимальной нелинейной фильтрации при наблюлении цифрового сигнала. Единственная особенность этого алгоритма .специфический вид функции правдоподобия.
Эта особенность связана со специальным видом цифровых отсчетов, наблюдаемых на выходе квантователя. Непосредственная реализация алгоритма (4) связана с решением разностного уравнения и поэтому затруднительна. Проиллюстрируем особенности обработки цифрового наблюдении на частном примере различения противоположных сигналов для случая бинарного квантования. Бинарный квантователь (рис. 11.2) имеет один нулевой порог и два фиксированных уровня (для определенности Л 1). Рассмо!.рим задачу проверки двух статистических гипотез, когда на входе кваитователя действуют соответственно дискретные процессы У»юбнее сравнивать с порогом логарифм отношения правдоподобия: и Н, !п»и — — ~ [1пр(9„!Н!) — 1пр(9,(НоЦ ~~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
