Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 100
Текст из файла (страница 100)
=! Но (1 1.1.7) Для вычисления входящих сюда функций правдоподобия воспользуемся выражением (5): р(9„=1(Н,)= ' =! — Ф вЂ” '" =Ф вЂ”" р(д„= — 1(Н,)= ' =Ф р(9,=1(Ноз=Ф вЂ” "~) ° Р(9 = 1!Но)=Ф Эти выражения можно объединить в одну комнатную запись ) Ф(дД,(зо !'!) 7=1 Подставив (8) в (7), запишем алгоритм различения в следующем виде: (11.
1.8) и Н, ~ 8,8(4„.0о "!) ~~ О. (11.1.10) =! Но Структурная схема, реализующая алгоритм (10), изображена на рис. 11.4,а. Она имеет две особенности, отличающие ес от схемы алгоритма оптимального различения противоположных сигналов по непрерывным отсчетам «„(рис. 11,4, 6)! 1) очень простая операция умножения, которая сводится к сохранению илн изменению знака опорного сигнала в зависимости от знака отсчета «, (в этом основное достоинство схемы); 2) наличие нелинейного элемента на выходе генератора опорного сигнала. Рис.
11.3. График функции 8(х) 529 ! 8 — 2247 и Н, ',Г,к(9.,21 и*) ~ ~О, (1 1.1.9) Но ' где 8(х)=!нФ(х) — 1пФ( — х). График этой функции приведен на рис. 11.3. Учитывая тот факт, что функция 8(х) нечетная, а Ф принимает два значения ~ 1, квантованное наблюдение 9, в (9) можно вынести за знак функции. При этом окончательное выражение для оптимального алгоритма р д(х)=ШФ(х)-гвФ(- 1 различения примет вид Г ! 4/б) ! и! Р,=(Р(/„>О(/О)+/ ((и<О)Н,ЦР„(Н,). (11.1.12) ба«рима геаедаа«вР в/б/ чй) (! !.! Л 3) р =1 — Ф(,/ш'/Р) где и ( ~ (2ф( р -и!) ц р — и!)з а! „! (! 1.!.14) Р и 4 2. Ф( Р-пх)Ф(-и Р-и') 'Р=! 1е = Х 4"/Ро =1 Е !=-Ои.
к р„ж!-Ф(~/Я /к). и Н /„= 5 в,в„~~ о. Но (11.1.15) вероятности ошибки прн (11.1.!1) диаивео«й равряд р,=! — Ф( /гК), ми=Ро ' 2,' г,', -! Рис. 11.5. Упрощенная схема оптимального различения бинарных цифровых сигналов 530 Рис. 11.4. Структурныс схемы оптимального различения бинарных цифровых сигналов (а) и непрерывнозначных отсчетов (б) Ясно, что схема рнс. 11.4,а чувствительна только к знаку наблюдения и не учитывает его абсолютную величину. Из-за наличия нелинейного элемента в достаточной статистике /„ более мощные отсчеты сигнала учитываются с большим весом. Следовательно, нелинейный элемент оптимальным образом компенсирует сильныс искажения аналогового сигнала при бинарном квантовании его. Наличие нелинейного элемента усложняет структуру оптимального алгоритма.
В связи с этим имеет смысл произвести некоторые упро«псина его. Онн возможны при следующих разумных предположениях: 1) число Н наблюдаемых отсчетов довольно велико, а отношение сигналшум на интервале наблюдения ограничено. При этом отношение сигнал-шум в отсчете Д,=вз/Ро мало; 2) функция я(х) линейна в довольно широком интервале около нуля и отношения в,/Р«од попадают в пределы линейного участка характеристики нелинейного элемента. В этом случае нелинейный элемент в оптимальном алгоритме (!0) можно исключить и упрощенный алгоритм представить в виде (рнс.
11.5) Оценим потери точности цифрового алгоритма различения (1!), возникающие за счет квантования аналогового сигнала. Для этого вычислим полную вероятность о«пибочного приема р, этого алгоритма Для вычисления р, нужно знать условные распрелеления /и,. Воспользуемся сделааным выше предположением о большом числе отсчетов Н. При этом число слагаемых в сумме (11) велико, эти слагаемые независимы н согласно центральной предельной теореме распределение /и с«ремится к нормальному закону. Можно убедиться, что параметры этого закона распределения равны М'«/и(Н!)= — М(!и(Но) = Х (2Ф(гЛЭо пз) — 1)в„=т, =! ТЗ(/и)Н ) =)У(!и)НО)=4 Х Ф(г Ро ' )Ф( — в Ро «п)в«=Р, =! Прн таких параметрах выражение для вероятности о«пибки дастся известной формулой Последнее соотношение можно упростить, учтя, что при ограниченном отношении сигнал-шум йи на интервале наблюдения и достаточно большом числе Н отсчетов отношение еэРо !«з стремится к нулю.
Если разложить интегралы вероятности Ф( ) в числителе и знаменателе в ряд Тейлора в окрестности точки 4„Ро '"=О, то получим (2Ф (0)Ро ! )' в!)з+Р(Р-хго) ге 4 (Ф'(О)) Р о ' Р— ! У !+в(Р— з «) =. ! Подставив это выражение в (14), имеем Из сравнения этой формулы с выражением дискретной обработке в отсутствие квантователя следует, что использование бинарного квантователя эквивалентно уменьшению отношения согнал-шум в и/2г41,6 раз («е на 2 дБ).
Рис. 1!.6. Зависимость дисперсии шума квантования от числа уровней при равномерных поро- гах Р.(ь)=г,й(«,)))Р. (1.) (11.1.16) (11.1.17) й!7« 4 б 76 М (11.1.18) «„=М (Ц„) «„) = (7ап*((п АФ(О, «„)) '. (1!.!.19) (1!.1.20) Гэ-=Гзе(7' — Г7.=Гэе(1 77' — '). (11.1.21) 533 532 Укажем асимптотически оптимальный алгоритм цифровой фильтрации (при малых отношениях сигнал-шум в отсчете) вне связи с конкретной задачей.
Преобразование оптимального алгоритма (4), (5) в этом случае выполняется так же, как в случае фильтрации на фоне негауссовской помехи Я ! 0.7). Рсзультирующий ад~призм имеет вид где р(«„!7)=секр((гзе)7~) '(«д„(7) — г)(ь)121), ~В„Р'(«„!1) /З„ЛФ (О, «,.) 7' Р(«„! Б) 7' ЛФ(0, «„) 7 =м уп'АФ(о, «,))) = ~ ~АФ'(о, «„и'ГАФ(о, «„). ч -~-1 Структура алгоритма совпадает со структурой алгоритма фильтрации на фоне негауссовской помехи (рис. 10.18,а), т. е.
совпадает со структурой алгоритма для нсквантованного наблюдения, на входе которого включен нелинейный элемент с характеристикой (18). Аналогами непрерывнозначных отсчетов в асимптотичсском алгоритме цифровой фильтрации являются выборки однозначно связанные с целочисленными значениями «„=1= !,М с выхода квантователя соотношением (18).
Укажем, что величины «„ нз которых формируется достаточная статистика, в асимптотическом случае (з,.(7,, пз-~0) связаны с наилучшими (в смысле минимума среднего квадрата) оценками непрерывнозначных отсчетов Г„по их квантованным наблюдениям С учетом определения у' дисперсия величины «, равна М(«„') =(7!с/7')М()!и'ЛФ(0 «) з) =Гус(7'. Таким образом, асимптотическне алгоритмы цифровой фильтрации удобно трактовать как обычные алгоритмы дискретной фильтрации, в которых учет квантования сводится к предварительной оценке непрерывнозначных отсчетов, действующих на вход квантоватсля. При малых отношениях сигнал-шум в отсчете г,)78 "з дисперсия таких оценок совпадает с увеличенной в 1!7з раз дисперсией непрсрывнозиачных отсчетов и все влияние кваитователя выражается в эквивалентном увеличении в 1)уз раз дисперсия шума Гзе. Из-за эквивалентности алгоритмов дискретной и цифровой фильтрации в асимптотическом случае вопрос о применимости различных аппроксимаций для апостериорного распределения при цифровом наблюдении сводится к задаче обоснования применимости соответствующих аппроксимаций для решения задачи дискретной фильтрации.
При реализапии приближенного алгоритма цифровой фильтрации (например, расширенного фильтра Калмана) структура приближенного алгоритма остается в основном прежней, только опгимальный фильтр заменяется квазиоптимальным. Функцию «„(«„), определенную на множестве целочисленных значений «„=1М, удобно реализовать в виде запоминающего устройства с адресным входом «„ подключенным к выходу АЦП.
Проанализируем потери асимптотически оптимальных алгоритмов фильтрации. Как отмечалосгь асимптотически оптимальный алгоритм цифровой фильтрации имеет энергетический проигрыш по сравнению с дискретным алгоритмом, выражающийся в увеличении в 1(уз раз дисперсии входного шума. Эти потери легко подсчитать по формуле (18). Например, при бинарном квантовании (М=2, Ь, = О) получим уз = 2 ! ЛФ'(О, 1Ц ') ЛФ(0, 1) = 2(х, т.
е. приходим к результату (! 5). В общем случае потери за счет квантования, как следует из (18), зависят от расположения порогов. Известно )2), что минимум вырахзения Л8) обеспечивается при расположении порогов, соответствующих так называемому оптимальному гауссовскому каантаеал1елю, детально описанному в литературе'. Значения оптимальных порогов н соответствующие значения 7~ приведены в (2ф Использование четырехразрядного оптимального квантователя (М=!6, 1)уз 0,05 дБ) практически не вносит дополнительных потерь по сравнению с чисто аналоговой обработкой. Если выбрать равномерную шкалу порогов квантования и оптимизировать шаг квантования, то дополнительные потери, возникающие при этом, не превышают 0,013 дБ. В задачах аналнза при оценке потерь, приходящихся на квантование, часто пользуются классическим представлением квантованного сигнала в виде суммы неквантованного сигнала и шума квантования, имеющего равномерное распределение.
Такое представление допустимо и в задачах синтеза асимптотических цифровых алгоритмов фильтрация. Действительно, увеличение дисперсии входного шума .0 /7', характеризующее влияние квантователя, можно трактовать как действие независимого от ле(г) шума квантования с дисперсией Для гауссовского шума наблюдения ве(!), используя (18) и (21), можно показать. что при достаточно большом числе уровней М квантователя с равномерной шкалой порогов 6,=6;,+Ь(М-~со, 6278'"-«0) дисперсия шума квантования стремится к 6~/12. Зависимость дисперсии 77„„от числя уровней М показывает (рис.
1!.6), что в рассматриваемой задаче синтеза значением )з„,=0з(12 можно пользоваться практически при М>50. Для квантоватслей с малой разрядностью дисперсию шума квантования можно рассчитать точно по формулам (18), (2!). ' Мах Л. !«папйх!пй Гог М!п1шпш ПВ!ог!юпДГВЕ Тгапз.— !960.— Чо!. 1Т-6, гй 1.— Р. 7 —.!2. 0 = глах ' (1п р(«хв ! 0)). в Здесь р(«в~ ! В) — — функция правдоподобия, которую удобно представить следующим образом: (11.1.231 1 Р(«! ) (2 Р)Я~?(! Рв)вх пм Р (1 — Р'Ц»,— х(0)) + ~ [»„— х(0) — Р(»„,— «(0))~' 277(! — Р') где р=ехр( — иЛ) — коэффициент корреляции между соседними шумовыми отсчетами. Подставив логарифм функции правдоподобия (24) в (23) и произведя упрощения, получим О=шах ' К1 — Рв]«гв(0)+ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
