Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(»„— Р»„в)(1 — Р)з(0)). (11.1.24) ' Харисов В. Н., Кириленко Ю. Н. Асимптотически оптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации в задачах пифровой обработки сигналовДРадиотехиика н электроника. — 1986. — Т. 31, 70 8. — С. 1578 †15. Результаты исследования количественных характеристик асимптотических цифровых алгоритмов для типовых задач имеются в литературе'. Пример И.1.1. Расчет потерь ири различении бииолирных сагяалов. Процесс аналого-цифрового преобразования связан с потерями за счет временнбй дискретизации наблюдения и квантования его по уровням. Вычислим раздельно зти потери для частного примера — различения противоположных сигналов на фоне гауссовского эксноиенциально коррелированного шума по бинарно-квантованным выборкам наблюдения.
Пусть на вхол временнбго дискретизатора в течение времени Т воздействует сл. пр. » (! ) = х (О) Р и (г )„0 < г < Т. (11.1.22) Здесь х(0)- полезный постоянный сигнал, который в зависимости от информационного параметра 0 может принимать на интервале (О, Т) положительную нли отрипательную полярность: х(0)=х при 0=1 и х(0)= — з при 0=0. Значения случайного параметра 0=(0, 1) полагаются равновероятными. В(умовой процесс я(г) предполагается гауссовским стационарным с нулевым м. о. и корреляционной функцией Я(т) = 27ехр( — а ! т !), 77= а!во/4, где дгв ---односторонняя спектральная плотность БГШ, формирующего процесс л(г).
Во временнбм дискретизаторе периодически, в моменты времени В=1„, +Л, берутся выборки из реализации сл. пр. (22): »„=з(0)+л„. По принятой (жализапии »Я=(»о ..., «„) требуется получить оценку параметра О. Здесь 11=[Т(д) число отсчетов на интервале наблюдения. Алгоритм оценки по критерию минимума вероятности полной ошибки различения имеет вид Отсюда получаем следующее правило различения: я 1=.1 (х=(1+р)»в+ Е (»,— р»,-в) ~(О, (11.!.25) в=а где (М(1.)0))э хв[Д!(1 — Р)-ЬЗР) В((я!О) 21(1-ьР) (11.1.27) Параметр Дв можно трактовать как отношение сигнал-шум в рассматриваемой задаче различения. (Отметим, что данная задача отличается от рассмотренного ранее цифрового согласованного фильтра отсутствием искажений полезного сигнала.) Для сравнения точности алгоритмов различения в непрерывном и дискретном времени осуществим в (27) переход к непрерывному времсьи.
устремив !9 со при постоянном времени наблюдения Т= М йс ,"в[! — ехр( — иТ)7в))+2ехр( — аТгу) 2х'Т( 2 Д,= 1пп Дв= — йгп. ' — = — — Р! . (11.1.28) и- 77 1 ч-схр( — иТ()И) йв (хаТ Ухудшение точности алгоритма различения в дискретном времени по отношению к впало~оному алгоритму можно характеризовать коэффициентом энергетических потерь (относительным увеличением отношения снгиал-шум при переходе к аналоговому наблюдению): и=- О, (1-ь2(иТ) [1 ьехр( — иу 77у) ) (11.1.29) Я, (4)иТ)ехр( — иТ)79)+(2)~аТМ ')[! — ехр( — аТ)лги' Графики зависимости потерь и от числа отсчетов !9, построенные для различных значений аТ (аТ вЂ” число интервалов корреляции шума на интервале наблюления), прнвелены на рис. 11.7.
Рассчитаем теперь дополнительные потери (по сравнению с оптимальной обработкой непрерывнозначных выборок), возникающие за счет кяантования отсчетов наблюдения»„на два уровня (например, д,=! лри»„>0 и 9,=0 прн »„< о), Оптимальный алгоритм различения в рассматриваемом случае состоит в вычислении условных вероятностей р(9в !0) наблюдаемой квантованной реализации 9",=(9о Ом ..., Оя) длЯ Различных О и сРавнении их междУ собой: О=шах 'р(9г)0). (1!.!.30) 535 которое при необходимости можно представить в симметричной форме: я- 1 6- в 1,=»,-ь(1-р) 5»,, «„<о.
-в в=в Поскольку сштнстика (я, определенная (25), имеет нормальное распределение н ее условные м. о. М(7„)О) =а(0! (!у(1 — р)+2р) при различных гипотезах В противоположны, а лисперсии П(1„!О) =(Э(!ьР) (М(1 — Р)+2Р) равны между собой, то полная вероятность ошибки различения Ф,=! — Ф(Я ). г,в г,в г,в г,б гг гй г,б г,в г,в гб 7,7 (г в,в а) в) 7 в б в гв я! ! р.=-,г.шв! Р(В~(О) (1!.1.31) 224466 У 1 — —.— — — — .—, /У вЂ” четное. 133557 г/ — 1 537 536 Рис.
11.7. Зависимость потерь от числа о~счетов при различных значениях пТ Если для многих реализаций каким-то образом вычислены условные вероятности р(п1(О), то полная вероятность ошибки цифрового алгоритма разчичения находится по формуле Здесь суммирование производится по всем возможным квантованным реализациям. Слагаемые суммы равны меньшей из двух вероятностей р(да(1) или р(В ч(0).. Сравнив (31) с вероятносгыо ошибки (26) для яепрерывиозначных отсчетов, можно оценить дополнительные потери при квантовании. Функция правдоподобия р(в я(0) может быть найдена интегрированием многомерной п. в. Р(6в(О), описываемой выражением (24): р(д",(Е)= ) ВЕ, [Вбз., [ рак(е)Н„. (11.! .32) п1 пз пя Области интегрирования й„, в=1, Х связаны с квантованными значениями В„ следующим образом: й„=(0, ю) при д„=! и й„=( — со, 0) при д„=О.
Расчет функций правдоподобия (32) оказывается сложным и для болыпих /У может быть провелсн путем математического моделирования на ЭВМ. Однако для небольших л!--.1, 2, 3 потери из-за квантования можно рассчитать аналитически. При У=! функция правлополобия (32) имеет вид ~ [~,—.(н)Ц ~Ф((е)/ й) щ 8,=1, ,(„(О)=- ~.,~- — '1Щ=~ ь/2кй 3 ( 2/з ) !Ф( — г(Е)/ /Ь) при я,=е. 1 г 3 б б ав в г в б в вг Рис.
11.8. Зависимость потерь за счет квантования от разных параметров Согласно (3!) вероятность ошибки равна р,=[в(! (0)-ьр(0(1Ц/2=1 — Ф(г/ч/Б), т. е, совпадает с вероятностью ошибки (26) прн обработке непрерывнозначных отсчеэов. Поэтому дополнительные потери из-за квантования при /У=1 отсут- ствуют: =аа,=(" й)/('/й)= Для двух и трех отсчетов эти потери определяются соответственно формулами 2 /2 3'3 з3 — (3 г! = —., Ф= 2; г! = - агс!8(3 — -) —, г/= 3. 1Ь(3 ' (Хя 2) 1+(3' Для значений )У>3 потери за счет квантования получены моделированием на ЭВМ. Моделирование проводилось по одной реализации при отношении сигналшум в отсчете рз=г'//7=0,1 и различных значениях ес5.
На рис. 11.8 приведены результаты моделирования †зависимос потерь т! за счет квантования от пйь пТ и М При больших пб (независимые отсчеты) расчеты хорошо совпадают с теоретическими результатами, согласно которым потери при увеличении числа отсчетов )У носят осциллирующий характер (зависисимость пТ-+со на рис. 11.8,а) и сходятся к значению к/2 как /У членов разложения Валлиса: 224466 /У вЂ” 1 1.— — — — —.†..—, /У вЂ” нечетное; 133557 Л тг т, 1 тз 1 1 кг 11.2. РАДИОНАВИГАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ФИЛЬТРАЦИИ КООРДИНАТ ПОДВИЖНОГО ОБЪЕКТА Ус Уз х,х хз х Характерно, что при улсеньшенин аТ (увеличении корреляции отсчетов) осцилляции посерь сглаживаются.
При агом сами потери уменьшаются. Следовательно, нскоррелированность шума является самым неблагоприятным случаем с точки зрения погрешностей кванзования и известные для этого случая результаты можно рассматривать как верхнюю границу потерь. В радиотехнических системах дальней навигации (РСДН) и спутниковых системах навигации возникает задача филшрацни координат подвижного объекта (Г!О) по наблюдению сипсалов от сивхрониых источников излучения (ИИ) с известным местоположением'. Обычно применяют три метода определения координат: дальномерный (Д), псевдодальномерный (ПД) и разностно-дальиомерный (РД). Применение наиболее точного Д-метала практически затруднено, так как ои требует наличия на ПО опорного генератора (ОГ) с очень высокой стабильностью часз.оты.
Поэтому спирокос применение нашел РД-метод, а в последнее время (особенно в спутниковых системах навигации) получил раснространение ПД-метод. Вьсясним соотношение между этими методами и сравним их точностные характсрисгикн. По существу задача сводится к оптимальному определению координат ПО по наблюдению сигналов в условиях шумов с учетом наличия рассоглащсвания времени опорного генератора ПО относизельно врсьссни синхронных ИИ. Полученный ниже оптимальный алгоритм обработки оказывается близким к ПД-методу навигации. Приведем формулировку задачи. На ПО с вектором координат Х наблюдаются сигналы от )У источников излученил с известными координатами хм се=1, ло в прямоугольной системе координат (определение координат ПО на плоскости примснизельно к РСДН иллюстрирует рис.
11.9). Момсисы прихода сигналов Т, рассматриваются в пскале времени, задаваемой ОГ на ПО. Начало оссчета временной залержки с„=чТ в каждом периоде излучения имеет рассогласование Л(с) относителыю моментов излучения сигналов ИИ сс„, х=1, 2, ... (Рис. 11.10). На входе приемника ПО наблюдается реализация т(с)= (с, й(с))+в,(с). ( 1 1 .2. 1 ) в здесь г(с, х)=-~ц(с — т,(ь)) -полезный сигнал, представляющий собой сумму с сигналов с,(с — Т,(Х)) от каждого ИИ; Т,(Х)=т,(Х)+Л --время прихода сигнала Сс-го ИИ, т„(Х,)=с ' [(х — х„)* С (у — у,) -с-(х — с,)с)ссс — истинное время запаздывания сигнала й-го ИИ, с — скорость света; ла(с )-- БГШ со спектральной плотностью Лса ' Харисов В. Н., Яковлев А.
И., Глущенко А. Г. Оптимальная фильтрация координат подвижного обьекта Д Радиотехника и электроника. — ! 984.-- Т. 29, Уй 1О.--С. 1939--1947. 538 Рис. 11.9. Расположения ПО и И!Л на Рис. 11 10. Времена лрихгда сн. плоскости гналов от разньж ИИ на ПО Вектор Х размерности т включает неизвестные параметры Х и Л, входящие в описание сигнала, а также другие параметры, описывающие движение объекта и изменение Л(с). Принято, что совокупность параметров может быть описана гауссовским диффузионным марковским процессом, удовлетворяющим системс стохастических дифференциальных уравнений сс) 1)ссс = Р).
+ п (с ). (11.?,2) Ниже при определении количественных характерислск алгоритма рассмпривастся задача определения координат ПО на плоскости при следующем задании параметров: с)х Саг =а„с(у!с(С.= п„с(ЛСлг = с, с)и„[с)С = = — а,е„+п„(с), с(сьх)с(с=.— а,с„-с-л,(с), с(ссв(с(с= — а„а +и (с). (11.2.31 Здесь н„(с), я,(с) и пд(с) --независимыс БГШ с односторонними спектральными плотностями Л'„Лс, и Лв соответственно. В данном случае вектор Х'=(х, с„, у, в„, Л, ах), а матрицы коэффициентов сноса и диффузии имеют вид Опуская алгоритм фильтрации в непрерывном времени, приведем более простой и удобный алгоритм фильтрации с группировавием наблюленнй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
