Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 97
Текст из файла (страница 97)
При этом принимается, что длительность интервала Т не превышает интервала корреляции процесса ).(/) и поэтому на каждом интервале Т процесс 3.(1) можно полагать приближенно постоянным. Применяя методику груипирования наблюдений (см. 8 10.6), можем написать' р(/ „) )=с р(/,"' ! !7.)р,().), (10.?.4) где с †постоянн нормировки; р(~",„ з!э.) †функц правдоподобия наблюдения !",, '=Т з=гь(/„), /„н(1,„„ /и); р,(7)--экстраполированная на одйн шаг айостериорйая и.
в., определяемая р(1 з, ) ) и априорными с!зедениями об изменении ) (/) на интервале (/ „! ). Поскольку отсчеты шума п„независимы, то функцию правдоподобия можно представить в виде произведения р(!', з!))=Пр(ь",„!7.)=сехр (2'!пр(!,„!)))=секрет. ().), (1075) где (10.7.9) где рГЯ)!)) 4 Р (») Р(») м (~Х(»„) !))) = ~ м у(»„!).)), где (10.7. 11) (! 0.7.! 7) где (10.7.12) (10.7.13) 5!3 512 !7 в 2247 Ю.) =( "(» )/р(» ) — (р'(» )1р(» )Г) р' р'(»,)= !р(»,— р,)! 1р,!, =, р" (» )=('р(» — р )7'гр !,=. о(р') — бесконечно малая величина, имеющая более высокий рч) 2 порядок малости, чем р„.
Упростим выражение (8). Согласно центральной предельной теореме распределение суммы ,'> )'(»,) при больших М будет ч близким к нормальному. Вычислим м. о. и дисперсию этой суммы. Для м. о. имеем м(7(»,)(~)= (7(».) (» -р И»' (10.7.10) Раскладывая р(»„— р„) в ряд Тейлора в окрестности точки р„=О и подставляя (9) в (10), получаем 12) му(»,))~)=р, ~Е« ~-~р«)~ ~р(»,)~»,+.(р,)= Р" (»„)Г㻄— Р„' ('„") 4(»„+О(Р,'). Так как )' р" (»,)»„=о, то М(7(» )!) ) Тгрг+о(рг), д!п~ф,) [р'(».И' Таким образом, М (4,- г(»„) ! Х) = — у 24," рг+о(рг).
м ч Перейдем к вычислению дисперсии П(~ Ф.) ~) ) = Х П(7'(».)!) ) п(7'(»„)!).)= ) [7(»„) — мУ(»„)~).)('р(»,— р„)4(»„. (10.7.14) Разложив р(»„— р,) в ряд Тейлора в окрестности р„=О и подставив (9) и (11) в (14), получим кр(»,) 7»,+о(р„")=(3'р„'+о(р„'), где (32 — положительная ограниченная константа. Таким образом, дисперсия суммы равна П(ХЮ,)!)) =()'Хр',<0'р.'..~р!, где р',.„-- наибольшее отношение сигиал-шум в отсчете на интервале (г„, „7,„). Из сравнения выражений (13) и (15) видно, что при ограничен- ном числе отсчетов М и достаточно малых отношениях сигнал- шум в отсчете р, дисперсия рассматриваемой суммы имеет более высокий порядок малости, чем м.
о. При этом неравенство Чебышева лает некоторое основание заменить сумму ее м. о.: ~.7(» ) = (~..~(» )! ) =- (10.7.16) У Подставив (16) в (8), получим г ()) с+~Р(»)р ', 5,"р , р(») ' г или т.„,(),)=.+ „"~ Гг Р'(»,) !,1 ,)тр(»,) г Отметим, что при получении этого результата не использовался конкретный вид функции правдоподобия (7). Поэтому результат (17) прн указанных выше условиях остается справедливым для функций правдоподобия р(»„!).) общего вида. Из (17) видно, что в асимптотическом случае достаточная статистика Е ().) представляет собой линейную функцию от эквивалентного наблюдения Рис. !0.19, Плотность вероятности суммарной помехи (и) и характеристика нелинейного элемента (б) Рис.
10.18. Структура оптимальных алгоритмов фильтрации при негауссовском (и) и гауссовском (б) шумах (10.7.18) «„, = (1/у) д 1п р («„) /д «„, 1 1 ())=с+Е(«, Р— Рз) Р =ур. о Это выражение по своей структуре совпадает с аналогичным выражением для случая наблюдения полезного сигнала на фоне БГШ: -.())= +Е(« --' ') (10.7. 20) Для проверки применим выражение (19) к гауссовскому шуму с распределением р (и„) =/з/(0,1), т.
е. р («„~= (2л) з/з ехр ( — « „/2). НетРУдно УбедитьсЯ, что в данном слУчае У =1, «ю=«„, Р„,=Р, и выражение (19) переходит в (20).. Таким образом, приходим к важному выводу, что структура оптимального алгоритма фильтрации при негауссовском шуме (рис. 10.18) в асимптотическом случае отличается от структуры соответствующего алгоритма для гауссовского некоррелированного шума наличием дополнительного нелинейного безынерционного элемента с характеристикой, определяемой распределением входного шума'.
Формальный переход к задаче фильтрации па фоне негауссовского шума в непрерывном времени связан с трудностями задания функционалов правдоподобия для негауссовских процессов. Из физических соображений ясно, что нид структурной схемы сохранится. При этом условие асимптотической малости р„для широкополосных (белых) негауссовских шумов выполняется автоматически, так как 0„- оо.
Описанный выше подход позволяет просто вычислить точностные характеристики алгоритма фильтрации в негауссовском ' Антонов О. Е. Оптимальное обнаружение сигналов в негауссовых помехах// Радиотехника и электроника. — !9б7. — т. 12, № 4. — С. 579- 587. 514 Р (В)=Р 7т(0, В,)+Р,)С((1, В ), (!0.7.2!) где Р, = 1 — Ро — коэффициент, определяющий относительное время действия импульсной помехи на интервале наблюдения; Вх=В, +Вз — дисперсия суммарного шумового процесса во время действия импульсной помехи.
Дисперсия суммарного шума равна П(л(!))=-В„=РоВ, +Р,В,. Запишем и. в. нормированного шума (рис. 1О.!9,и) Р(в)=В„'Ро(В„'э~~=Розг(0, Кт)-ЬР,ХГ(0. К)), К~ — — (В~/В„)п, Кз — — (Вз/В,)' При этом На основании (18) находим выражение для характеристики входного нелинейного элемента ! Р'(«,) «„(Ро/Кзз)ехР( — «'/2К',)+(Р,/К',)ехР( — «з/2Кзз) 7 Р(«„) 7 (Ро/К,)ехр( — Ц/2К)).ь(Р~/Кз)ехр( — «з/2Кзз) Входной нелинейный элемент (рис.!0.19,б) можно реализовать ках усилитель с регулируемым по входу коэффициентом усиления. При появлении импульсной (10.7.22) 515 шуме. Сравнивая выражения (19) и (20), заключаем, что изменение точности фильтрации в негауссовском шуме по отношению к точности фильтрации в гауссовском шуме соответствует изменению отношения сигнал-шум в уз раз.
Коэффициент у' определяется выражением (12), т. е. законом распределения !пума. Всегда уз~1, причем уз=1 для гауссовского шума, что следует из (6.4.1). Пример 10.7Л. Фильтрация на фоне г ауссовского шума и импульсной помехи. Найдем характеристику входного нелинейного элемента и определим точность асимптогическн оптимального алгоритма фильтрации сообщения х(!) полезного сигнала з(ЬХ(г)), принимаемого на фоне адаптивной смеси стационарного гауссовского шума л, (г) и импульсной помехи и,(Г) с гауссовской п. в., имеющих нулевые м.
о. и дисперсии В, и Вз соответственно. Сигнал, шум и помеха предполагаются независимыми. Суммарный шумовой процесс я(г)=я,(!)+лз(з) имеет негауссовское распределение помехи возрастает сигнал на входе этого усилителя, что приводит к уменьшению его коэффициента усиления, и обеспечивается нормальная работа оптимального фильтра. По формуле (12) опрелеляем коэффициент уз изменения отношения сигналшум по отношению к оптимальному фильтру для гауссовского шума: 1 з[(Ро)К()ехр( — ч:!2К,)ч (Рц~Кл)ехр( ч,!2КлЦ ггзп ) " (Ре/К,) ехр( — ~1/2К() о(Р, /К,) ехр( — ~~/2Клл) Для мощной импульсной помехи (гух» Гз,) большой скважности (Р, (( Р,) выражение (23) упроцгается: Отсюда длЯ Р, = О, 1 и гзх/гз, =! 0 находим 7'= 1, 7, что соотве плвУет знеР- гетическому выигрышу на 2,3 дБ при оптимальном приеме сигнала из смеси гауссовского шума н импульсной помехи по сравнению с оптимальным приемом иа фоне гауссовского шума с дисперсией лг„.
Пример асимптотнчески оптимального обнаружения сигнала на фоне негауссовской помехи рассмотрен вй При этом п. в. помехи принята в вила Ре(л)= — — ехр( — [зз(р)$л!) "), Чз(р)=(Г(3/р)/77 1 (1!р)) ц, 21 (1! р) где Г(. ) -- гамма-функция; р В 1/2 — коэффициент, характеризующий степень деформации ро(л) по сравнению с нормальной плотностью (0=-2) с нулевым м. о. и дисперсией 27. Нелинейное преобразование для ненормированных величин имеет вид 6„., = рй(р) ! Г,„!" зкп 8,. Отсюда видно, что для распределения Лапласа (и=1) нелинейным элементом является идеальный ограничитель.
10.8. ГРАНИЦА РАО--КРАМЕРА ДЛЯ ОШИБКИ ФИЛЬТРАЦИИ В большинстве задач практическая реализация строго оптимального алгоритма (т. е. решение уравнения Стратоновича) затруднительна и поэтому оптимальные алгоритмы заменяют квазиоптимальными, получаемыми в результате различных упрошений. При этом возникает задача количественной оценки потерь, обусловленных неоптимальностью фильтруюших систем. Хотя в принципе это можно сделать с помощью статистического моделирования на ЭВМ (см. 8 9.6), однако получение характеристик оптимальных устройств таким путем обычно оказывается весьма трудоемким. Один из путей преодо.пения этих трудное~ей состоит в определении нижней границы для дисперсии ошибок оценок оптимального фильтра.
Если такая граница получена и дисперсия ошибки для квазиоптимального фильтра близка к этой границе, то тем более она близка к дисперсии ошибки оптимального фильтра. При этом использование квазиоптимального фильтра будет обосновано. При оценке не изменяюшихся во времени параметров ~акая нижняя граница определяется неравенством Рао — Крамера по матрице Л, задаваемой (6.4.10). Теперь требуется распространить это неравенство на более общую задачу фильтрации сл. пр. В принципиальном плане здесь нет особой сложности. Например, при фильтрации в дискретном времени достаточно объединить совокупность временных отсчетов фильтруемого процесса в вектор во=() о, ) г, ..., 2.ч) и использовать неравенство (6.4.11) для ошибки оценки э~о~о вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
