Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Такой результат является естественным. Продифференцируем обе части (8) по времени и подставим вместо др(0 ь)/д~ правую часть уравнения Стратоновича (7.3.8): ). "(") Л,= ~Ь (р(0 ).)) Л,+ + ). ! Г(1, ).) — Г(1)3 р(6 7) ах. (10.3.10) Воспользуемся определением сопряженного с Ь( ) оператора 1.+ ( ) для всех допустимых Ь(1.) и р(ь): (11(х)Т,(р())) /) =(р())1 (й()))1/). Известно, что для прямого оператора ФПК сопряженным является обратный оператор: ~. ()=~ .(6 ),',-+-,'~ ~дц(,~)„", 1ГВ 1=1 2=1 В нашем случае Ь(1.)=1.. Поэтому (),.ь(р(6 ))) л.=(р(6 )) Т,'(22) /).= =(р(6 Х) а2(6 А) Л =М (а2(6 Х)), (1О.3.
1 1) так как дХ,./дХ,=817 и дхХ,./дХ,.д). юО. Второе слагаемое в правой части (10) запишем в виде ) 1'(Г(1, )) — Г(1)1р(6 Х)Л.=) (1 — т) Г(0 1)р(0 Х)Л. (10.3,12) и выполним интегрирование по частям: 490 (10.3.! 3) 49! (7 — 1п)Г(О Х)Р(6 Х)Л.=К Г(О 1„)К-1()„щ)р(~ 1),/7„ = — К Г(0 )) — р(6 7.)10.=К (1 х)р(6 )„)а1),= =КМ Таким образом, выражение (12) можно записать в более компактном виде: М ()1Г(0 1)) =шГ(~)+КМ (дГ(6 Ц/дЦ.
(! 0.3.14) Подстановка (11) и (13) в (10) приводит к уравнению йп/ й=М(а(6 ~))+КМ(дГ(0 Э)/д))). (10.3.15) Уравнение для К получается аналогичным путем. В результате дифференцирования (9) по времени имеем — — 1() — т(!)) () — ш(1))'3 р(6 Ц) 4/),+ + ().-ш(1))().— ш(~)) "..'(' ") д)„, Первый интеграл справа равен нулю — (йп/й)) () — т(г)~'р(0 1)Ж вЂ” ) () -ш(~Д х х р(г, 3) Щйш'/й) =О.
Воспользовавп1ись свойством сопряженного оператора, отсюда получим 41К/Ж М(Е ((7.— т)()1 — т)'))+М() — т) х х ().— т)~Р(6 Х) — Г(2))). (10.3.16) Далее поступаем также, как при получении выражения (11): М (Е+ ((7. — т) () — 1п)') ) = М ф — т) а'(О А)) + +М(а(6 ))() — т)')+М()х11(6 1.))= =М(!х!1(1, )))+М(да(6 3)/д2') К+ +К ! М(да(1, 1)/д2.')3'.
110.3. 17) Используя дважды результат (13), имеем М(().— )()- — )')Г(6 Х)-Г(1)3=КМ(д!"().- )'(Г(6 ))— — Г(~)Д/дЦ = КМ (Г(6 7) — Г(!))+ КМ () дГ(6 7)/дЦ ().— п1)') = =КМ(д1Г(6).)/д1.д2. )К. В итоге из (16) придем к уравнению ""=М(1х),(ВЦ)+И М ",(") +М ",(„") К+ (10.3.18) ( дХдХ* ) Уравнения (15) и (18) составляют алгоритм интегральной гауссовской аппроксимации.
Алгоритмы интегральной гауссовской аппроксимации в форме Ито получаются также дифференцированием (8), (9) по» с использованием уравнения фильтрации в форме Ито. Они имеют вид: г»в»'г»»=М (а(», 7.))+И [М»гс»я(», )с)/Ю.')1' х х 19о ' В(») — я(»)), оп М»Р4 (» )))+И М дп(г, Х) +М да[с, Х) И+ ,„„„[я(». )1 ° «(») «) — м ",('') '11; м '(',") к. (10.3.20) В алгоритмы интегральной гауссовской аппроксимации (15), (18) и (19), (20) входит операция осреднения, которая согласно (2)--(5) должна осуществляться с точной п. в, р(», ).).
Очевидно, необходима замена п. в. р(», 1.) на аппроксимирующую п. в. »7(», ).; сг), т. е. в полученных алгоритмах следует понимать М (» ()с)) = ) 7 Я р(», )с; сг) сбх. (1О.3. 21) Подобная замена осуществляется во всех основных подходах к приближенному решению дифференциальных уравнений, т, е. это не является особенностью интегральной аппроксимации. Часто выполнить интегрирование аналитически не удается, а реализация (21) с помощью численного интегрирования также затруднительна. Поэтому применяют приближенные способы интегрирования. Обычно они основаны на разложении осредняемых подынтегральных функций в конечные ряды Тейлора, что справедливо (как и при локальной аппроксимации) в случае высокой точности фильтрации.
Самый простой приближенный алгоритм получается при условии, что подынтегральные осредняемые функции меняются медленно, так что их в пределах существенных значений п. в. Х(», 1.; в, И) можно полагать постоянными. Это, по существу, 492 эквивалентно замене )х)(», ); в, И) на дельта-функцию 8(1 — гп). При этом, например, из (19) и (18) получаем алгоритм фильтрации в снмметризованной форме: йп»г»»=а(», в)+ К [дР(», в)»д).)„ (10.3.22) 19 ( ) '"и('"')И К1дп(»'")1 К"'(' )К (10З23) Для одномерного случая (т=»г=1) этот алгоритм имеет вид г»ьч» й = а (», т) + Л М ((2»Л»о) [Ц (» ) — х (», т)1 .г' (», т)), (1О.3. 24) гИ»г»» = У,(», »и)»2+ 2а'(», пг) Л+»г гм ((2/Аго) [(Ц(») —.г(», т)) х (», т) — х (», т))), (10.3.25) где штрихами обозначены производные по Х.
Помимо такого приближения используются и другие'. Все опи базиру»отса, как и различные алгоритмы локальной гауссовской аппроксимации, на разложении в ряды Тейлора до определенной степени функций, входящих в описание исходной задачи, т. е. 8(», Х) или а(», Х), Ж„(», Х) и х(», Х), или же функций„ входящих в уравнение фильтрации, для которого отыскивается аппроксимация. В последнем варианте в дополнение к указанным функциям производится разложение в ряд функций а'(», ).), х'(», 1.) и х" (», Х). Если применить разложение функций до членов первой степени (при этом х" (», ) ) = О) в уравнениях (24) и (25), то придем к алгоритму расширенного фильтра Калмана г»"»»й=а(», Х)+А(2»дго) [д,(») — х(», Х)) х'(», Х), (10.3.2б) ~Л~ »»=Л~,(», 7)~2+2а (», ~)-И'(2~Ло).
'(», ~). (103.27) При квадратичной аппроксимации появятся дополнизельные члены. Например„ а =М (а(», ~)) = М (а(», т)+а'(», т) () — т)+ + а" (», т) (Х вЂ” т )» 2) = а (», т) + »г а" (», т)» 2. На таком пути можно получить различные алгоритмы. Кратко укажем путь получения алгоритмов интегральной г ауссовской аппроксимации в дискретном времени. Для этого и. в., входящие в основные формулы (7.2.9)„(7.2.10), нужно аппроксимировать нормальными п. вэ р().„) до)=А»(в„, И„), р().„) Ц ')= = А»(Й„Й„), найти в соответствии с методикои интегральной аппроксимации сначала параметры й„, Й„экстраполирующей п. в., а затем параметры в„, И„.
Окончательный алгоритм следующий: ' Лппкнппм А. Н. огоспаппс Ргоссмсг апд Рйгсг»пп Т»гсогу.— »Ч. г'.: Асаг»сппс Ргскя 1970.— — 376 Р. 493 (10.3.28) - ]д'р(~ ! М - Рр(~.!" ) дк„дь; ) " ( дЭ.„ Х К„=Кч+К„ М„(р(д,„(Х„)) М„(р(д.„(Х,)) др(д,(Л„) ~ (Р 9. ( х,)) ] М„ х К, (10.3.29) где й„=м„, (й((„, ) „!)), учтем известный интеграл (10.3.30) ,=а„~а„м„(ык'х!)(м,(р(с~ х,((. (!0.1.12). Однако если пренебречь шумом в наблюдении 9(г) и положизь чз(г)геф(г), то (33) становится эквивалентным (10.1.12).
При этом уравнение для дисперсии (33) не будет зависеть от наблюдения, что существенно упрощает алгоритм. Воспользовавпвись уравнениями интегральной гауссовской аппроксимации (\5), !1Х) и положив в иих ге(г)=ф(в), Р(г, а)=(2А (аг ) Р (в) Нп(га в4а), имеем Аф(дг=(2А(дг ) ЯМ (соз(ыег Ьзэ)), АЯ (г(г = м„(2 — (2 А ( ага) и зч (г ) м (яп (ыо г е ф)). При осреднении с нормальной и. в.
(т(г, як ф, Я)=(2хН) ц" схр( — (ф — ф)з(2Я] К =М, в ((й((„, З.„в) — й ] (й((„, Э.. в) — пв„]')+в(в„(10.3.31) М„, ()(3)) =))'(Х) Ю(вп„в, К„г)г(3., М„( )'(3.)) = ] ('(1) (5((Й„К.) Ж . Можно убедиться, что для линейной задачи данный алгоритм переходит в алгоритм фильтра Калмана. Если выполняется условие малых ошибок фильтрации н применимо линейное приближение 8(з.„в)=(дй(т.. в)(д).;. в](з.„г — т„!), в(3.„) =( ди(й,)(д).;] (3.„— й„), то придем к алгоритму расширенного фильтра Калмана.
При разложении нелинейных функций до второй степени можно получить другие локальные алгоритмы в дискретном времени. Другая совокупность алгоритмов интегральной гауссовской аппроксимации получится, если в (28), (29) перейти от осредпения по экстраполированной п. в.
Лг(й„, К ) к осреднению по аппрокснмированной плотности р(а.„( Ц)= ч'(им К„). Полученный таким путем итеративный алгоритм хотя и сложнее в реализации, однако он имеет более широкую область применения (требует высокой точности оценки пв„, а не экстраполированной оценки й„). Пример 10.3.1. Фильтрации винеровской фазы ралиосагиала. Приведем алгоритмы локальной и глобальной гауссовской аппроксимации для примера 1О.!.1.
поскольку для этого примера и(г, х)=0, лг(0 х)=да то из уравнений локальной гауссовской аппроксимации (10.1.29) и (!0.1.30) получаем дф(дг=(2((че) Я 5(г) А соз(ез г-~-ф), (10.3.32) АН(дг=(ж (2) (2(Мо) НзЦг)А яп(юег4ф(г)]. (!О.з.зз) Уравнение оценки (32) совпадает с уравнением (10.1.11) расширенного фильтра Калмана, а уравнение для дисперсии овпибки (ЗЗ) несколько отличается от 494 соз!гР(х47)] хгп Рз созРь В результате получим Аф(дг= — НехР( — Н(2) (2А ((це) 9(г) соз(ые! э-ф(, ИЯ(АГ.—. (Х!,(2) — Я' ЕХр( — Н (2) (2А ((це) 9(Г) ян(Ы Г 4 ф).
(10.3.34) (1О.ЗД5) д ~ д!пр(1.; а(!)) ~ ( ! ( д1пр(ь; а(г))ар(г, 1) 1 б Учтем, что д ~ д!пр(ц а(г)) ~ дз!пр(хв а(г))да(г) дг ~ да ~ дада' Аг (10З.37) 495 Полученный алгоритм отличается от алгоритма (32), (33) только наличием в правых частях дополнительного множителя ехр( — Н(2). В данном примере, как и в других задачах фильтрации фазы радиосигнала, необходимое осреднение м (('(х)) удается выполнить анщвитически. До сих пор рассматривалась гауссовская интегральная аппроксимация. Однако выбор нормальной п. в.
в качестве аппроксимирующей функции не является заранее предрешенным, В некоторых задачах лучшие результаты могут быть получены при использовании других аппроксимирующих п. в. В связи с этим укажем общую методику интегральной аппроксимации. Примем, что аппроксимирующая п. в. зависит от времени не непосредственно, а только через параметры ев((), т.
е. р((, ); п)= =р 3.; «в(()). апишем условие экстремума (5) для критерия Кульбака: ) 1д!пр(З.; !х(())(д).] р(1, а) с(3.=0. (10.3.36) Проднфференцируем это равенство по времени: Введем обозначения »(», 2.)=д !пр().; ск(»))/дсх; (10.3.38) д ~ д1пр(24 а(с)) ~ ( 2) ц») ((4 ), д 1пР(ь1 а(с)) (!0 339) ) да~ да ) ' ( дада' Используя введенные обозначения и подставляя для др(», ).)/д2, выражение из уравнения Стратоновича, из (37) имеем с/ск/с/» = и ' (») )»(», Х) (Е ( р (», ) )) +(Р (», 1)— — д"(»)) р(», Л)) с()..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
