Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 94
Текст из файла (страница 94)
(10.3. 40) Воспользовавшись сопряженным оператором, можем написать )»(», ~) 1. (р(», 2)) и =) р(», )) Ь (»(», Х)) а. Из условия (36) следует, что )» (», )) д(») р(», )) (). = Г(») М (» (», ))) =0. С учетом этих равенств из (40) получаем общее уравнение для параметров аппроксимирующей и. в. при интегральной аппрок- симации в непрерывном времени Ъ/д»=и-2(») М (1.' »»(», ).))+П-'(») и и М (» (», 2.) /2(», Х)) . (10.3.4! ) Здесь м. о.
берутся с п. в. р(2,; сс(»)) и $," ' ) — оператор ФПК в обратном времени; Применяя различные аппроксимирующие п. в., из (41) можно получить разные алгоритмы. Выбор аппроксимирующей п. в. для конкретной задачи обычно обосновывается физическими соображениями. Пример 10.3.2. Аппроксимация Т-распределением. Анализ работы системлс ФЛП при наличии гауссовского шума показывает, что фазовая ошибка хорошо описывается Т-распределснием вида (9.2.29): р(ср; а)=(2х1с(Л)1 ' ехр(Л соя(ср — ис))„фа)сл-п, т+к), где 1„(т) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, а=(лс, Л)'— параметры распределения, ЛВО.
Данная п. в. отражает специфику задачи фильтрации фазы; она периодична с периодом 2х, стремится к нормальному закону Л»(лс, Л ') при больших Л, при Л 0 она переходит в равномерную п. в. Получим алсоритм инте»ральной аппроксимации с использованием Т-рас- пределения. Для этого предварительно вычислим отдельные сомножители, вхо- дящие в правую часть уравнения (41); 496 ( Ляп(ср — т) ) д!п1„(Л) 1,(Л) Ь(1, ф)=с (соз(ср — сл) — »(Л)) ' дЛ 1е(Л)' где»е(х), 1,(х) модифицированные функции Бесселя; д)2'(с, ф)1 ГЛ соз(ср — т) — яп(ср — т)) Гл»(л) 0 да ). ( — яп(ср — т) с»»'(Л)/с»Л ) ~ 0 с»»" (Л)/ссл ~' где был использован известный интеграл 1 1,(х) 2я1е(Л) »с(х) соахсхр(лсозх)ссх= — = 1" (Л) дз , (Л яп (ср — лс)) Лс дз(й) д д Лс )Л яп(ср — т)( 4 дср' 4 д 4 (соя(ср — лс) д,рз 2А (Л яп(ср — т) яп(асс+ос-ьф — т) »у () соя (ср — т) — »(л)1 язв (ые с ч- т ф ф — т)1 2А ~ Л соа(а»„с-1-т) М(яп'(ср — т)) о Лс ( з!п(ы сфт) М(созз(ср — т) — » (Л)) 2А (,Г(л) соз(ы„»+т) Л»„~ (1 — 2(л)/Л) зш(ыес-Ьт) ' 2 1,(л) у(л) зак как яптхехр(Лсозх)с»х= гх»,(Л) ) л»,(л) л ' Подставив найденные выражения в (41), получим алгоритм интегральной Т-аппроксимации в задаче фильтрации винеровской фазы радиосигнала: 21т/с1»=Л '(2А/)уе) ~(») соя(яе»+т), (10.3.42) с»л/с»С= — (»»,»4)3(Л)(с»/(Л)/с»Л) '+(2А/Лсс)~(»)яп(с»о»фпс).
(!0.3.43) Для сопоставления с другими алгоритмами решения данной задачи положим т=ср и К=!/Л. Тогда можем окончательно записать дф/А»=К 2АЛ».'Р(~)соа(~,»~.ф), с»К/с»с=(р» /2)/с(К) — К 2АЛ»а ч(с)а(п(яес+ф), где,гс (К) = (К'/2)»" (1/К) ~сЦ (Л)/с»Л)эл = цк. Можно показать, что /с (К)-»1 прн К-»0. (1О.3.44) (10.3.45) 497 (! а !е ) г,р (10.3.46) 1,5 10.4.
СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ФАП На частном примере фильтрации винеровской фазы радиосигнала (пример 10.!.1) проведем сравнение качества работы алгоритмов, полученных разными приближенными методами аппроксимации, с точным результатом, который основан на решении уравнения Стратоновича '-"-~-,'-)=--,'-~,'ф — ~+Е~( ° )-Р(~Н~( ) Е(1, гр) = 2ААг " г «(Г) ып(го„у+ гр). Рнс. 10.13. Зависимость дисперсии стационарной ошибки фильтрации винеровской фазы от отношении сигнал-щум для разных алгоритмов: у — расширенный фальк р Калмана, 2 — локальна» гауссоаскак аперокснмаинл, 3 — ингегральнаа ге у омк и аппроксимапна, К вЂ” т-аппроксамапиа, 5 в сочное решение Выше для данного примера были получены алгоритмы расширенного фильтра Калмана (10.1.41), (10.1.42), локальной (32), (33) и ныл егральной (34), (35) гауссовских аппроксимаций и интегральной Т-аппроксимации (42), (43).
Работу всех этих алгоритмов можно моделировать единой структурной схемой ФАП (рис. 10.12). Она содержит пере- множитель, усилитель, подстраиваемый генератор (ПГ) и устройство оценки коэффициента усиления К, который для различных алгоритмов определяется по-разному. Проще всего он вычисляется для расширенного фильтра Калмана. Поскольку в уравнение (10.1.42) для тт(г) наблюдение «(г) и оценка ф(1) не входят, то тт(г) можно определить заранее. В дополнение можно отметить, что Л(г), а значит, и К(г) быстро стремятся к постоянным стационарным значениям. Следовательно, алгоритм расширенного фильтра Калмана реализуется простой схемой ФАП с постоянным коэффициентом усиления. В остальных алгоритмах коэффициент К(г) зависит от входной реализации «(г) и должен определяться специальной схемой оценки, что усложняет их реализацию.
Однако при этом получается более высокая точность фильтрации фазы. Для сравнения точности фильтрации фазы четыре указанных алгоритма моделировались на ЭВМ, включая также точный алгоритм, определяемый уравнением (46). Методика моделирования уравнения (46) подробно изложена в 9 9.6. При этом оценивался средний квадрат ошибки фильтрации фазы, приведенной. к интервалу ( — н, я): с!'=М(~ р(1)-ф(г) !'). (!0.4.1) гу! Рис.
10.12. Общая структурная схе- ма ФАП 498 По окончании переходного процесса приведенная к интервалу ( — я, к) ошибка оценки гр(г) — ф~~) является стационарной и эргодической. Поэтому оценку з можно получить по одной реализации «(1) большой длительности, подаваемой на все алгоритмы. Результаты моделирования трех алгоритмов в дискретном времени были представлены на рис.
9.21 (кривая 1 — точное решение, 2 — Т-аппроксимация и 3 — расширенный фильтр Калмана). На рис. 10.13 представлены зависимости г3з от отношения сигнал-шум 9=4А з!АУ АУ для всех пяти алгоритмов: расширенного фильтра Калмана (кривая !), локальной (кривая 2) и интегральной (кривая 3) гауссовских аппроксимаций. интегральной Т-аппроксимации (кривая 4) и строго оптимального (кривая 5), Величина г! представляет собой отношение энергии радиосигнала с винеровской фазой за интервал его корреляции ткси4/Агн к спектральной плотности шума Аго.
Стремление всех кривых к пределу у!з = из / 3 при д = 0 объясняется принятым критерием: в отсутствие полезного сигнала приведенная ошибка для всех алгоритмов распределена равномерно в интервале ( — к, н), т. е. имеет дисперсию нз)3. Сравнение результатов позволяет сделать следующие выводы.
!. В области больших отношений снгпал-шум все алгоритмы имеют точность, почти совпадающую с потенциальной, причем для всех значений г! алгоритмы интегральной аппроксимации 499 и(15!/е/-1!/с//л ) Рис. 10.!4. Вход в синхронизм; 1 — !захнронснмнннн, г- рноннрннньн фнныр Кнн манн го 1,0 г !о ' ч !о ' о за-' о !о' ра-' з,г !о-!о=рг гуг расположены ближе к «потенциальной» кривой, чем алгоритмы локалы!ой аппроксимации.
2. Наиболее точным из всех приближенных алгоритмов во всем диапазоне отношений сигнал-шум является алгоритм интегральной Т-аппроксимации. Его точность практически совпадает с потенциальной. 3. Наихудшая точность в области малых отношений сигналшум у квазиоптимального локального алгоритма; она заметно хуже, чем у расширенного фильтра Калмана. Учитывая простоту реализации алгоритма расширенного фильтра Калмана, следует признать, что применение алгоритма локальной гауссовской аппроксимации в задачах филь~рации фазы радиосигнала нецелесообразно. Приведем результаты, характеризующие режим входа в синхронизм, лля двух алгоритмов (рнс. 10.14): Т-аппроксимации (кривая 1) и расширенного фильтра Калмана (кривая 2) в зависимости от безразмерного времени о=АР„г/2. Они получены сгатистическим моделированием с осреднением по многим (н=10ч) реализациям.
При 1=0 фаза радиосигнала равномерно распределена в интервале ( — я, н). Видно, что алгоритм Т-аппроксимации имеет существенный (почти на порядок) выли.рыш по времени входа в синхронизм по сравнению с расширенным фильтром Калмана. Этого следовало ожидать, так как в режиме входа в синхронизм имеют место большие начальные ошибки. Такие условия допускаются при Т- аппроксимации (она включает как частный случай равномерное распределение при 1=0) и не соответствуют условиям локальных аппроксимаций (в частности, расширенному фильтру Калмана).
500 !0.5. СИНХРОНИЗАЦИЯ СКАЧКООБРАЗНЫХ СИГНАЛОВ Получим алгоритмы синхронизации с использованием интегральной гауссовской аппроксимации для частного случая скачкообразных сигналов широкополосных фазоманипулированных (ФМ) радиоси~налов, широко применяемых в радиотехнических системах для повышения помехозащищенности, точности определения дальности до объекта и скрытности. Пусть принимается аддитивная смесь полезно~о сигнала з(! — т(1)) с неизвестной случайной задержкой т(!) и БГШ н (г): ~(1)- ( - 11))+" 11).
(10.5.1) Передаваемый сигнал представляет собой фазоманипулированное колебание вида .е(г)= 2 (!агесг'!! — /сТ1оо(!). (10.5.2) е=! где о (!) — высокочастотное колебание с амплитудой А; гесг'(х)-— импульс единичной амплитуды и фиксированной длительности: ) 1, /с Г - ! . (/с+ 1) т, '(0, ! .Ат, Я-+1)т; 1е! — известная на приемной стороне последовательность значений 1 и — 1 (например, псевдослучайная М-последовательность); т(г)- — марковский процесс, описываемый, например, моделью вида с/т/с/!=Я, )+и,(/) (10.5.3) н,(!) БГШ. Требуется оптимальным образом следить за случайной задержкой т(г). Для решения задачи нельзя воспользоваться алгоритмами локальной аппроксимации, связанными с разложением сигнала в ряд; применительно к скачкообразным сигналам они оказываются неработоспособными.
Это связано с тем, что в эти алгоритмы входят производные от сигнала по оцениваемому параметру бо(! — т) дт и сззч(! — т)/дтз, ко!орые представляют собой дельта- функции, возникающие из-за скачкообразного характера сигнала. Умножение с(!) на дельта-функцию в дискриминаторе системы слежения за задержкой эквивалентно точечной выборке из наблюдения с аддитивным БГШ. Вследствие бесконечной дисперсии последнего полезная информация о сигнале теряется'. Поэтому часто применяют различные аппроксимации производной с)о(г — т)/дт, например, заменяют ее конечной разностью ' Величава А. Ин Иванов А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
