Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Высказать суждение о необходимости н важности таких допол- нений в общем плане затруднительно; в значительной степени это определяется характером конкретной задачи. Например, при фильтрации гауссовских процессов алгоритмы (29), (30) и (32). (33) совпадазот и имеют вид --= --и).+ — Я(1) ~ч(1) — з(1, ).)) ~'-(™ (10.1.38) — =-, Лсс — 2иЯ+ — (г,(с) — з(1, Р.)3 '; —: — '--'- — Я'. (10.1.39) дс ( ~о „~д,1 Для расспиренного фильтра Калмана уравнение оценки (11) для скалярного линейного случая совпадает с (38), а уравнение (12) для Я(с) принимает вид асЯсссс=Лсхс2 — 2иЯ вЂ” (2!1Чб)Я (дх(1, ))сг)Ц . (10.1.40) По сравнению с этим уравнением в (39) имеется допол- нительный член (первое слагаемое в фигурных скобках).
Позже (с. 499) из решения конкретного примера будет следовать, что этот дополнительный член не улучшает, а ухудшает характеристи- ки алгоритма. Хотя нет веских оснований придавать этому результату общий характер, тем не менее он ставит под сомнение значимость дополнительных членов разложения при локальных методах аппроксимации. К сомнительной значимости допол- нительных членов приводит также сравнение уравнений оценок 4бя (11) нли (г8) с (14). В результате перехода от формы Иго в (14) появился дополнительный член (Яг)2)(<3«(с р)(д)(сз «(с з)<лЗг) который без этого не возникает даже при использовании более общих локальных аппроксимаций (25) с сг>2 и разложений коэффицнеп гов в ряды более высоких порядков.
Пример !О.!А. Свое< ФАП. Рассмотрим задачу синхронизации двух <снеР<ЫОРов, ватника<ощую в сисзсмах радиосвязи. Пусть <ЕНЕратОР на псреда<ощей стороне выраб пывасг гармони <сскос колебание а(1, Ч<) = А зп<(а,1+«<), причем фаза <р(1) ссгь сл. пр., заданный уравнением <С<р Л< (1) <А(л (1<)л (сг)) (''<С2)б(сг 1 )' На приемной стороне линии связи полезный снпвл принимается в смеси с шумом л„(1): ч(1)= '1 «ш(ао< г<Р)" ла(1). Получим квазиоптимальный алгоритм фильтрации фазы <Р(1) на приемной стороне.
На основании Н1) запнсь<ваеч уравнение квазиоптимальной оценки <с<р<<с< =(21 <чо) Я(1) А сох(асс 4 ч<) (г (1) — А з!п(асс+ ч<)1- слагаемое, содержащее ып2(в„<4<р), не играет сущее<венной роли, и его можно опустить. тогда нмсеч ЛЕСА< =(2А ! Яв) Я(1) ~(1) сох(<лес+ <Р), 1!0.1.4! ! Согласно мочу уравнению в составе устройства квазноптимальной фильтрации фазы <р(1) должен быть генератор колебаний А соз(а,1+«<), собственной частоте которого сообщается управляемое отклонение ь<<рс<С1, пропорциональное произведении< л со«(а,11 <р) на <,(1). соотвсзству<ощую систему принято называть фи«своа овтолоагтройкоа !ФАП).
Обь<чно <>на вьшолняезся (для упрои<епия) при Я=совы. Структурная схема ФАП приведена на рнс. 10.1. На основании Н2) с учеюм приближенного равенства А'созг(а 14-Ч<)в А '12 записываем уравнснис для Я(1): Ис<С<.=(<««,,2) . (А '1<У,) Я-'. 1!0.1.42! Отсюда при <СЯ<<С<=0 на«одим стационарное решение Я=(Я Яс)ЗАг)" !10.1 43) Дисперсия фазового рассогласования обратно пропорциональна амплитуде сигнала синхронизации и растет с увеличением спектральной интенсивности шума в канале и интенсивности фазовьы флюктуапий. Если использовать квазиоптимальный алгоритм фильтрации (38), (39), то уравнение для оценки останется преяшим, а уравнение для днакрсии оценки примет вид <(Я)А1 =(А<.12) — (2! ~о) Аой'1(1) з!п(вес+ <Р) где опущен член, содержащий соз(2вес+2<р). Однако если здесь пренебречь шумом в наблюдении Р(1) и положить <Р(1)в<р(1), то это уравнение станет эквивалентным предыдущему. Следует отметить существенное упрощение алгоритма при использовании ие зависящего от наблюдения уравнения для дисперсии.
Иначе говоря, нужно отдать предпочтение алгоритму расширенного фильтра Калмана (!!),(12). Првмер 10А.2. Оценка частоты гармоивческого колебания. Пусть требуется оценить постоянную во времени„но неизвестную частоту гармонического колебания г(1, в)=Асозея по принятому колебанию 9(1)=г(1, <о)+л,(1), <Са)<!1=0. Примем начальное значение частоты в=в при 1=0 нормально распределенной сл. в.
с дисперсией уэс. Для данного примера уравнение оценки (11) будет иметь вид <Св 2А 2А — = — — <Я(с) ~Д(1) — А сок в!) з!пассе — <Я(1) Ц(с) ып ас. !<се На основании (12) записываем уравнение для дисперсии оценки <(ЯС<усв — (А г)А<с)<<Я< решение которого при начальном условии Я(0)=СУ дается выражением Я (1) = ЗСУоузо(( 4 'узес '+ 3!<го). (10.1.45) При очень большой априорной дисперсии Ре зта дисперсия совпадает со значением су'(1)=ЗА< /Агсз, которое получается методом максимального правдоподобия.
Квадрат относительной ошибки оценки частоты равен Я(1<)П,=(1+Аго,сз)ЗМ,) '. (10.!.46) Как и следовало ожидать, дисперсия оценки постоянной частоты стремится к нулю при увеличении длительности наблюдения. Структурная схема измерятеля частоты изображена на рис. 10.2. Ои содержит перемножитель с коэффициентом пересчета ч, усилитель с переменным коэффициентом усиления К(1)=2А«Я(1'у~в!ге, интегратор, управляющий элемент (УЭ) н подстраиваемый генератор (ПГ). По-видимому, теория нелинейной фильтрации (в частности, в гауссовском приближении) является методической основой для синтеза и сравнения аналоговых систем связи с разными видами модуляции, Много конкретных результатов из этой области приведено в [71.
Рассмотрим один из простейших таких примеров. Р к!х! л 470 471 Рис. !О.1. Упро<ценная схема ФАП Рис. 10.2. Структурная схема квазиоп- тимального измерителя частоты г(г)=А зш [ыег-1Ф(г)~, г! Ф)гуг=-лге(г), (10.1.47) 17г 2 (10.1 48) ак ' У г ~ Уу Ига 27777 е (( ) == А з! 11 (его ! л- Ф) л- гго (г ). (10.1.49) (10. 1.
53 ! (10.1.50! (10.1.51! Пример 10плй Кввзиоптимальньгй гврием сигналов е частотной модуляцией. Пуль полезный сиигал, передаваемый по каналу связи, имеет вид где л известная амплигуда сигнала, ы -. средняя часгозв и ф(г) сл. пр., обусловленный полезной модуляцией. Если частотное отклонение Лш пропорционально информационному сообщению х(г) и в качестве последнего принят гауссовский зкшгонепциальпо коррслированный процесс 18.1.14), го можно запнсагь априорныс уравнения гуг!г)г77 =.
Лге. А(Лш)! ей = — пЛогш я(г ). Пусгь принимаемое колебание имеет вид Харггкгерисгикн БПЕ п(г) и л„(г) указаны раисе. Рвссмш.рневсмый пример является частным случаем достаточно обгдей задачи, охватывасмои системой уравнений (3! и (43, причем из сопоставления уравнений (47! и (48! с(4! следует, что в нашем случае п=2,8,(г, "х)=за=.Лег,яг(г, !).= — пхг= — пЛег, Ам =-Аг,»= Лггг — -О, дггг=-дгг2, а из сравнения (49! с (3) заключаем, что т= 1.
Р(г, Х).=(Е(г, Ф)=(2лгдге)) ъ(г)з1п(ыогь'!г) — (172)глягпг (шегл-ф)1. На основании (11) записываем уравасния квагиоптимального прнсмпикш г! Ф г г)г = Лгй г (2г Уе) К г ~ с (г ) А соя (гео ге ф), КЛтрй =- — ггдгй -ь(271ур) Кгг Ц(г ) А сох(ывг 1 Ф). Уравнения для элемегпов кор!жляционной матрицы прн использовании алгоритма расшнрсшпгго фильтра Калмана (12! примут вид г7К...'г)г=2К, ° — (2)Ле) К ги1'соз'(вгегл-ф), г)К~г(г!г=- — цягг.1 Кгг — (2,'ЛЯКггяггА созг(ге„гьф), НК г)гуг=гце)2 — 2пК г — (277!ге)Кгг А созе(гвегч г)).
Если принять соз (ы„гьф)ж !72, то решения системы (51) при г — гсс будут сходиться к постоянныьг величинам, которые можно найти. положен гуК,„'гй=-гуКгг|г7г=ддгггАг=О. Получаемая при атом система алгебраических уравнений имеет относительно К" следующее положительное решение. Кг,=(п'г29)(1 4-2)3 /гг — ь 14 4(3 ггпу) .'14 4(3 гд. (10.1.52) Пря записи этой формулы было использовано равенсгво Лг=.4плу, где 73 -. дисперсия час гог ного отклояения, а гггкхгс следующие обозначения: г г 4=А 72о Уе -отггопгснггс мощности сигнала к мопшости шума в полосе соог>- щения, О=- 7!зги индекс *гастотной модуляции.
Инлекс мо гулы!ив влияет не только па ошибку фильтрации. но и па ширину спектра сигнала. Поскольку частотное отклонение Лы прямо пропорционально сообщению й, то относительная ошибка филырапии сообщения, являгощаяся основной харакгсрисзпшой аналоговой системы связи, одинакова для пих и равна 472 Рпс. 10.3. Занисимость относитель- Рис. 10.4. Квазиоптнмальный приемник ной дисперсии ошибки от отношс- радиосигналов частотной модуляции ния сигнал-шум Ь~=Кгг)73=(1724!3г)(1-~-2(3зугя —.1~ Л-4~к~д)'~ ! 3-4(3 ггш Графики зависимости Ь,' от отношения сигиагг-шум д приведены на рис. 10.3. Структурная схема квазиопгимального приемника, построенного в соотвстсг вин с уравнениями (50), показана на рнш 10.4.
Приемник представляет собой фазовуго автоподстройку частоты, в которой управление частотой местного генератора осущеаялястся по двум параллельным каяалам. Используя известное правило пересчета параллельных фильтров в последовательный, можно убелиться, что последовательный фильтр имеет передаточную функпию К(1-',рг,)7(1 1-РТ,), где р- .оператор дифференцирования. Такой филю р принято называл ь лроггорягюяальао-мппе, риргюпгим.
Итак. квазиоптнмальной системой фильтрации гауссовского зкспоненциазьно коррелированного сообпгсння нз частогно-модулированного сигнала, принимаемого на фоне белого шума, явдяс.шя ФАП, в которой между фазовым дстекгором и управляюгдим злемснгом включен пропорпнонально-ннтегрпрукгщий филыр. Укажем, что формула (53) справедлива только при достаточно больших огношспиях сигнал-шум Ф пока ошибка фильтрации достаточно мала. Известно, Чтп ПРИ СРЕДНСКВаЛРатнЧССКОМ ЗиаЧСНИИ фаЗОВОй ОщнбКИ гггги. „,— .-0,5 ..1 РаД в устройствах типа ФАП ыабггюдасгся существенное расхождение ггсжду теоретическими и зьсперилгептальпыми результагами.
Оно обусловлено персскокамн фазы. На рис. 10 3 пприхояой линией показана граница применимости резульг шов. соотвсзствУющаЯ Условиго О!я. „3=1 Рад'. 10.1.3. АЛГОРИТМЫ ГАУССОВСКОЙ АППРОКСИМАНИИ ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА Алгоритмы фильтрации в гауссовском приближении можно получить ддя уравнения наблюдения более общего вида, чем (7.!.б) или (7.1.!0). Приведем такой алгоритм лпя фильтрации вещественного процесса в дискретном времени. Заметим, что в рекуррентные соотношения (7.2.9), (7.2.10) наблюдение входит только через функцию правдоподобия )г(Ег) Х„). 473 Впд ее можно определить для наблюдения общего характера (в частности, шум канала по.
может быть аддитивным и неадЛитивным, гауссовским и негауссовскнм и т. д.). Допустим, что функция правдоподобия р(~,,!).») найдена и задано уравнение сообщения (7.1.11). Поскольку априорное уравнение сообщения осталось прежним, а параметры )о„и го, экстраполированной и. в. р(Х„)~Гг) находятся из него, то для скалярного сообщения )о» онй определяются соотношениями А =д(Г ) ) )о =()г)о +ф которые также следуют из (15) и (16) в отсутствие наблюдения, т. е. при .о. (г», Х„)=0.
При гауссовской аппроксимации апостериорные и. в. считаются нормальными: р().,(~о)=Ж()», го»), р()о„)до ).=-Лг(Х„, Й„). Вывод соотношений для определения параметров А, и В„аналогичен выводу (8.!.8), (8.1.9). Разложим логарифм функции правдоподобия в ряд в точке 7кстранолированной оценки: +р (7 )„)+(!)2)р (о ) )г Рн= г7')п, (ЦЪ.Уд) '. (10. 1. 54) Подставив выражение (54) и соответствующие нормальные и. в. в (7.2.9)„имеем Лг(Х», Л»)=с, ехр [Го»(Մ— Х,)+ + (1)2) Г«»(). — Х.) ~) ехр [ — ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
