Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Оптимальные измерители параметров сигнала могут быть реализованы не только в виде многоканальных устройств, но и в виде следящих систем. Проиллюстрируем это на частном примере. Пример 9ЭЬ1. Оценка случайной величины. Пусть требуется оценить постоян- ную во времени, но неизвестную величину Х по наблюдению Цс)=о+по(с).
АпРноРное УРавнение ллк Х имеет вид Л)ссс=О, Х(0)=Хо, где Хо--ноРмально распределенная сл в. с дисперсией Оо. Для данного примера применима теория линейной фильтрациа. В частности, уравнения (8.1.17) и (8.1.18) принимают вид д!. 2 . сгй 2 — = — л(с) [с(с) — ь'1, — = — — й', ) 'со Из последнего уравнения находим дисперсию ошибки фильтрации Л(с)=[с)о +2с)с)о1 Если сзо велико, то Я(с)ждго)2с и прихолим к оптимальному линейному следящему фильтру с)1С'ей= с ' [~(с) — Х(с)). Пример 95.2. Оценки случайной времеииои задержки радиосигнала'.
Пусть передается радиосигнал с(с) =7 (с) созыв!, где /(с) — огибающая радиосигнала (например, видеоимпульс или пачка видеоимпульсов), а принимаемый полезный радиосигнал имеет вид с(с, т) =С (с — т) соз осе(с — т), тле т — случайная, но нс изменяющаяся на интервале наблюленяя [О, т) временная залсржка с известной априорной п. в.
рк(т). По принятому колебанию Цс)=с(с, т)+по(с)=Г(с — т)сок!во(с-т)+ио(с), 0<с<Т, (9.5.1 1) требуется получить оценку случайной времсинбй задержки ' Куликов Е. И., Трифонов А. П. Одеика параметров сигналов на фоне помех.— Мг Сов. радио, 1978.— 296 с. ' Тихонов В. И., Харисов В. Н. Обаелиненная синхронизация в радиотехничесемахбрадиотсхника,— 1984.— Т. 39, % 4.— С. 3 — 1О. Рис. 9.15. Многолюдальная апостериор- ная плотность вероятности имеет вил г (2 Г р(т)=р(Т, т)=СР»(т)ехр — С(!)7(г — т)соаозо(г — т)лг Л'о о Его можно представить иначе: р(т)=Срж(т) ехр (Х(т)созгоо(т — т(т))).
(9.5.13) где Х(т)=(Х,'(т)ч-Хх(т)) "х, т(т)=(1)гоо) агс18[Х,(т)/Л;(т)1, т 2 Г ! соз гоо г) о ~! О! Л~ ~!ы~- о (9.5.14) Функция Х(т) является медленно изменяющейся по сравнению с сох соог. Из (13) видно, что апостериорная п. в. Р(т) является многомодальной (рис. 9.!5). В точках т,, уловлетворяюшнх равенству гоо(тл — 1)=2/гл, 1г=О, 1, ..., она имое г максимумы (пики), общее число таких пиков на интервале иеопрслслснности т равно целой части числа (Т) То)= К, где То — — 2я)що — период высокочас~о~но~о колебания. Применение обычной многоканальной схемы для определения т может оказаться практически неприемлемым нз-за больпюго числа каналов. Если, например, оценивать т с ошибкой порялка ах=то(36, соотвстствуюгцсй фазовой ошибке Л<рс шоат==!0', то потребуется 36А каналов. Непосредственное применение гауссовского приближения Е !0.1) к данной задаче нелопусгимо нз-за многомодальцостн апостернорной п. в., поэтому требуются другие аппроксимации решения уравнения (!2).
Здесь возможны различные физически оправданные и разумные прещюжензля. 450 Возможны несколько вариантов решения задачи, которые используются на практике. Задержку т можно оценивать только по огибающей / (г — т) нли по радиочастотному колебанию сочгоо(! — г). Однако если задержки в огибающей и высокочастотном колебании связаны между собой (в рассматриваемом примере онн лксстко связаны), то для повышения точности определения задержки следует использовать совокупную информацию, содержащуюся как в огибающей, так и в высокочастотном колебании. Так как параметр т нсэнергетический и не изменяется во времени Оут/й=О), то решение уравнения Стратоновича ор(ь т))азу=(р(Г, т) — р(!)) р(!, т) (9.5,12) Рнс.
9.!б. Плотность вероятности в методе дополнительной переменной Рассмотрим метод разделения задержек (метод введения дополнительной переменной) '. В этом методе вместо одной переменной т рассматриваются две переменные (т, т,), причем их тождественность в исходной задаче учитывается в априорном распределении рл„(т т„)=р! (т) б(т — т,). При оценке задержки удобно ввести т, так, чтобы «расщепить» задержки оптбающей и высокочастотного колебания сигнала: ( .)=Л вЂ” ) с по( — .). При этом апостериорную п.
в. можно записать в виде р(т, т„)=Ср„„(т) Ь(т — т„) ехр(Х(т) сов во(т,— т(т))). (9.5.15) На рис. 9.16 изображена поверхность р„~~, т,), которая с точностью до постоянной описывается правои частью выражения (15) при опущенной дельта-функции. Наличие в (15) дельта- функции б(т — т„1 отражено на рисунке секущей плоскостью т=т„. Пересечение этои плоскости с поверхностью р,(т, т ) с точностью до нормировочного множителя совпадает с р (т), т. е.
имеет многопиковый характер рис. 9.15. Поверхность р,(т, т„) более регулярна, чем р(т). Ве зависимость от г определяется медленно меняющимися функциями Х(т), т(т) и р „(т). При обычных формах огибающей сигнала Я) функция р,(т, т,) унимодальна по т. По переменной т„вид р, (т, т,) имеет многопиковый характер, но эта многопиковость строго периодична: р,(т, т„)= =р„(т, т,+Т ), т. е. ее легко учесть.
' Харисов В. Н. Нелинейная фильтрация прн многомолальном апостериорном распределении Отехынчсская кибернетика. — 1985, †6. — С. 147 в 155. 451 лг,=шах ' (Х(т)+!пр „(т)), т,=т(т,). д (9.5.21) Используем для аппроксимации каждого отдельного горба р (т, тд) двумерную нормальную п.
в. с м. о., совпадающим с положением максимума горба. С учетом периодичности р,(т, тд) по тд запшпем д рг(т, тд) С 1 ех(эд( — — (т — ш, т — рн — /гТе) х 1= — д х К ' (т — т„т„— гн, — /с Те )' . (9.5.22) Здесь К вЂ” (2 х 2)-матрица, которая определяется из условия равенства квадратичных членов разложения показателей в (20) и (22), т, е, по обычной методике локальной гауссовской аппроксимации: 452 Суть метода дополнительной переменной состоит в том, чтобы аппроксимировать не как обычно апостериорпую п.
в. р(т) по переменной т, а функцию р,(т, тд) в расширенном пространстве (т, т,), определить параметры аппроксимирующего распределения, по ним найти параметры получающейся аппроксимации для р(т) н, наконец, получить интересующую нас оценку. Будем рассматривать (т, т,) как сл. в., с некоторой априорной и. в. ргр,(т, т =т)=.Срр„(т), (9.5.16) При этом апостериорную и. в.
для наблюдения (11) можно выразить через функционал правдоподобия; рг(т>т)Сгргрд(т'1:т)Р(~чд)тт (9.5.17) Из сравнения (15) и (!7) с учетом (16) и фильтрующего свойства дельта-функции 6(т — тд) следует, что Р(т, тд)=С2Р2(т, т,) б(т тд). (9.5.! 8) Из условия согласованности и. в. получаем основной результат: р(т)=С,рг(т, т). (9.5.19) Априорная п. в. р,„„(т, т,) выбирается из соображений удобства аппроксимации р (т, т ). Например, рис. 9.15 иллюстрирует выбор в виде рг „(т, т,)=Сэра„(т) р,„„(тд), где р,р (т,)-- несобственное распределение т„равномерное на ( — 1ю, 1х). В этом случае (!7) конкретизируется: рг (т т ) Сгрр (т) ехр (Х(т) соз ег„(т, — т (т))~. (9.5.20) Максимум р (т, т,) достигается в точках (т„т„+/ТТ ), /Т=О, +1, +2, ..., которые соответствуют максимумам горбов на рис.
9.!6: К д'!ир,(т, т,)/дт' дг 1пр,(т, т,)/дтдт, — 172 (Х(гя ) +!ар„„(лг )/дтг 0 д 1и рг (т, т,) дт дт, ~ дг 1ирг(т, т,)/17тг ~ =- я, (9.523) О ег ~д Х(лг,) Итоговая аппроксимация для р(т) следует из (19) и (22) после выделения в показателе экспоненты членов, зависящих от т: р(т) Сдр,(т, т)= ,'1 рдгд'(т„)г ). Здесь Р„=СехР( — (/ТТ вЂ” (т,— тд)1' 221 ), д'=дд11+/дгг 2/!12. гдд=фггй11 гтгг)//д н11 (гид+/ТТд)(/!22 д'12)/д +гид(/ 1! /д12)/д ' Выражения для /7, .Од и т„записанные для матрицы К общего вида, в рассматриваемом случае упрощаются, поскольку Я12=0.
Из (24) получаем оценку по максимуму апостериорной п, в.: Т=((гп +/ТТО)Я22+гн~/(115 (Я11+Ягг) (9.5.26) при (9.5.27) 453 Согласно (23) здесь Я„=( — дг *(Х(т,)+1пРр„(пг,)1/дтг) ', Ягг =! /агре Х(гн,). Оценка совпадает с положением максимума пика, ближайшего к положению максимума огибающей. Получение оценки по алгоритму (21), (26), (27) существенно проще прямого вычисления апостериорной и. в, (например, с помощью параллельной многоканальной схемы). Изложенный метод показывает, что априорную жесткую связь параметров т и т, можно на время забыть, решить задачу при менее ограничительном условии (16) и лишь после этого учесть это априорное знание, просто положив т=тд, как это указано в (18) Отметим, что обычная гауссовская аппроксимация 6 10.1), которую удобно применять в расширенном пространстве переменных (т, т,), эквивалентна некоторой сложной аппроксимации (24) в исходном пространстве параметров, которую заранее трудно предвидеть.
При этом также отпадает необходимость вводить в рассмотрение специальные виды аппроксимирующих п. в., обосновывать условия их применимости и разрабатывать процедуры определения их параметров. Хотя выше рассмотрение приведено для частной задачи, однако подобная методика применима и в более обсцих случаях; вводится дополнительный параметр ).„заменяю«ций часть компонент оцениваемого векторного параметра ), входящего в наблюдение, выбирается априорная и. в. р„„()., ).я), удовлетворяющая соотношению типа (16), аппроксимнруется апостериорная и. в. Р()., );), из которой следует аппроксимация для р().) = Ср(7., а).
Эффективйость метода существенно зависит от удачного выбора 9.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ СТРАТОНОВИЧА Алгоритм фильтрации. Рассмотрим задачу фильтрации винсровс- кой фазы ср(1) узкополосного радиосипсала в обычной формулировке: 1;(1)=А сов [соос+ср(с)1+ ло(с), (9.6.1) «1 ср1 с«С = и (1), (9.6.2) где по(с) и п(с) — независимые БГШ с односторонними спект- ральными плотностями Лс и Ж. Будем интересоваться фазой, приведенной к интервалу значений ( — к, н ). Определим стаци- онарное значение среднего квадрата фильтрации приведенной фазы в зависимости от входного отношения сип«ал-шум для оптимального следящего измерителя (ФАП).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
