Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Однако точные решения уравнений нелинейной фильтрации известны в немногих случаях (гл. 9). Существующая элементная и схемотехническая база часто не позволяет пракеически реализовать численное решение зочпых уравнений. В связи с этим возникает необходимость получения хотя бы приближенных ре|пений.
Часто приближепныс решения уравнений фильтрации основаны на аппроксимации решения апостерпорной п, в, р(е, ),) некоторой функцией р(е, Х; ое) из параметризованного класса п е 2'. Чаще всего используюз нормальную п. в. р(е, ).; а)=Ле(к(е), 71(е)), для ко, |рой и'(е)=(~ (е), ЕЕ(е)), — со<7.(!)< со, 0<А(е)<со.
Полученные таким путем алгоритмы для определения параметров ех" (!)=е|кс(!), 71(е)ле называют алгорит нами гауссовского приеуллелесенил. Широкое распространение гауссовского приближения объясняется тем, что для большо|.о класса задач апостериорная п. в. р(Е, ),) при малых ошибках фильтрации (больших отношениях сигнал-шум) становится нормальной и в этих условиях гауссовское приближение соответствует точному решению уравнения фильтрации.
Получающиеся алгоритмы часто называют коазиопепимальными (коеезиллеееейпылеее). Однако в ряде задач апостериорная п. в. существенно отличается от нормальной. Кроме того. при больших ошибках фильтр;щпи (малых отношениях сигнал-шум) могут потребоваться более точные приближения, основанные на физических представлениях или результатах моделирования. В подобных случаях аппроксимацию точного решения р(Е, ) ) целесообразно осуществлять не обязательно нормальной плотностью.
Изложим несколько приближенных методов решения основного уравнения нелинейной фильтрации, 10.1. ЛОКАЛЬНАЯ ГАУССОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ Класс приближенных алгоритмов фильтрации может быть получен па основе аппроксимации (локальной) точного решения лилль в малой области оценочного значения ).(е) фильтруемого параметра. Именно ~акой смысл придается здесь термину «локальная». В противоположность локальной аппроксимации в ч !0.3 будут изложены методы глобальной (интегральной) аппроксимации„которые предполагают аппроксимацию точного решения р(е, ) ) п. в, р(е, 1.; ек) во всей области определения ), по некоторому интегральному критерию.
Обычно локальная аппроксимация базируется на замене и. в. р(е, )) нормальной п. в. Ле(е. (е), 77 (!)). Рассмотрим квазиоптимальные алгоритмы, основанные на таком подходе. 460 10.1.1. РАСШИРЕННЫЙ ФИЛЪТР КАЛМАНА (10.1.2) (10.1.6) (10.1.8) 461 1. Расширеепплй фильтр Калманя в непрерывном времени.
Рассматриваемый квазиоптимальпый (квазилинейный) алгоритм основан на приближенном сведении исходной нелинейной задачи фильтрации к линейной. В 0 8.1 указывалось, что нормальная апостериорная и. в. является точным решением задачи линейной фильтрации. Предполагая, что априорная и. в. начального значения р,„()о) нормальная, для применения теории линейной фильтрации к за- даче (7.1.6), (7.1.7) в этих уравнениях должны быгь выполнены следующие условия: 1) полезный сигнал я(Е, Х) зависит от сообщения ). линейно; «!(Е, Е)=хе(Е)+ 2 Ее|!(Е) ХЕ(Е); (10Л Л) 1=1 2) фильтруемое сообщение ).(е) есть гауссовский процесс, т. е.
и яе(Е, ))= ~ г(ц(е) ) Е(е)+с|(е), Ллц(е)=М„|е(Е, )). 7=-1 Аналогичный вид имеют условия и при фильтрации в дискретном времени. Расширенный фильтр Калмана получается следующим обра- зом. Предположим, что удалось найти некоторую оценку сообще- ния ел*, не обязательно оптимальную. Разложим функции от Х в уравнениях наблюдения и сообщения нелинейно|1 задачи (7.1.6), (7.1.7) в ряд Тейлора в точке Х=) «, добиваясь аналогии с (1) и (2): л,.
(е, ) ) .е,. (Е, 7.*)+ ,"| — |(.г — ) (Х, — )с*,. ), (10.1.3) Е=! | 8|(е, ~) =8,(е, ).')+ „'| дк'~с ) (),е — ).,*.), (10.1.4) |=1 ' | Лл|Е(Е, ).) =Ллц(Е, ).'). При этом уравнение наблюдения примет вид Ц!)=в„(!)+И(е)),+и„(!), (! 0.1.5) где Н(Е)=дв(Е, ХФ)/177.', Бо(Е)=я(Е, Х») — Н(Е))л*. Уравнение сообщения теперь можно записать й 7е(Е=Ао(Е)+А(Е)) +и (!), (10.1.7) где Ао(Е)=ь".(Е~ )л ) дй(Е Е.~)!дЕ |~ А(!)=дй(е )"*)едХ л !1(е)=!Чл(! ес'). Здесь были использованы следующие обозначения: д/'(Х')/дХ— производная от функции /(Ц по Х, взятая в точке матрицы [дя(б 3~)/дХ'1>7=дх>(б ))/д27, >=1, и>; /=1, и.
Такая запись соответствует обычным векторно-матричным обозначениям: да/д)>.' — формальное произведение и> вектора дв на и-строку д)', результат которого есть (п> х п)-матрица. Уравнения (5) и (7) линейны относительно Х, они полностью ' аналогичны уравнениям (8.1.57) и (8.1.59) и, следовательно, описывают задачу линейной фильтрации. Входящие в них функции а„(>), Н(>), А„(1), АЯ и Ф„(1) известны, так как они определяются известнои по предположейию оценкой 3.*(>). Поэтому апостериорная п.
в. будет нормальной и остаются в силе уравнения линейной фильтрации, аналогичные (8.1.61): дК/а=А,Я+А(>) к+В(>) Н (>) х "!Чо'(>)[В(>) ае(>) Н(>)Ц (10.1.9) дВ/п1= ГЧ,(1)+ А(>) В+ВА'(1) — ВН'(>) !5!,, 'Н(1) В. (10.!.!0) Входящие сюда коэффициенты определены выражениями (6) и (8). Чаще всего в качестве Х~(>) выбирают саму квазиоптимальную оценку ь(>), т. е.
полагают Х>'(>)=ь(1). Это допустимо, поскольку 7. (>) вычисляется по прошлым наблюдениям и на текущий момент времени > может считаться известной. В этом случае имеем а»(>)+Н(>) ь(>)=в(>, ) *)+[да(>, 2.')/д) ") (ь — Х') ! .
т =в(>, ь), А (>)+А(1)й(>)=8(б 3 )+[дй(>, 2. )/дА')(А — 2. )!х, у=8(0 2). В результате приходим к окончательному алгоритму расширенного фильтра Калмана в непрерывном времени: >/~/>/>=8(б ))+В(1) [да(>, Х)/дГ1' Х, '(1) [Ц(>) — а(>, 1)1, (10.!.11) дк((, 1) ' — =Х,(б х)+ к ' В+В дв(>, 1.) >( ) да(>, 1) (10.1.12) Уравнения понимаются в смысле Стратоновича. В уравнении для квазиоптимальной оценки (11) множитель да(б Х)/дХ" можно трактовать как коэффициент линеаризации.
Он изменяется во времени н зависит от значения текущей оценки Х(>). Для сравнения можно указать, что, например, при линеаризации характеристик электронных ламп или транзисторов используется обычно статическая линеаризация, при которой 462 коэффициенты разложения нелинейных функций в ряды представляют собой постоянные величины. В отличие от такой статической линеарнзапни изложенный метод локальной >'ауссовской аппроксимации называют 4>еп>одом >пекуи!е>> лппеар»зпции. Заметим, что если алгоритмы обычной линейной фильтрации Калмана- —. Бьюсн линейны относительно >., то уравнения расширенного фильтра Калмана относительно >.
нелннейны. Эта нелинейность обусловлена нелинейной зависимостью з(>, Х) и (или) 8(>, Х) от 2.. Второе существенное усложнение процедуры фильтрации в расширенном фильтре Калмана по сравнению с линейной, как и в других приближенных алгоритмах нелинейной фильтрации, обусловлено тем, что теперь в уравнение для корреляционной матрицы ошибок (12) входит текущая оценка >.(>). Поэтому его нельзя проинтегрировать заранее, а необходимо решать совместно с уравнением (11) в текущем времени. Это усложнение при технической реалж>ации особенно существенно прн больших размерностях и фильтруемого процесса > (>), так как кроме п уравнений оценки (11) необходимо решать в реальном времеви еше из (или с учетом симметрии матрицы  — п(п+1)/2) уравнений (12) для элементов корреляционной матрицы ошибок.
Рассмотрим кра>ко соотношепня между алгорнтмамн работь> расширенного фильтра Калмана в форме Стратоновича и Ито. Если прн линейной фильтрации пе имеет значения, в какой форме рассматриваются уравнения фильтра Калмана Бьюси„ то для расширенно>о фнлыра Калмана это не так. Причина в > ом, ч го в уравнение для оценки (11) в коэффициент при г,(>) входит функция дв(>, ).)/д)., зависящая от Х(>). Выделим четыре варианта: 1) исходные уравнения (7.1.6) и (7.! .7) понимаю гся в смысле Стратоновича н алгоритмы фильтрации записываются в форме Стратоновнча; 2) исходные уравнения и алгоритмы фильтрации понимаются в смысле Иго; 3) от уравнений, определяющих алгоритм фильтрации, полученных в !), осуществляется переход к форме Ито и, наоборот; 4) от уравнений фильтрации, полученных согласно 2), осуществляется переход к форме Стратоповича. Выше в форме Стратоновнча для расширенно>о фильтра Калмана получены уравнения (11) и (! 2).
Чтобы получить уравнения в форме Ито, нужно новторнть предыдущий вывод. После приближенного линейного представления функций, входящих в исходные уравнения (7.!.6) и (7.1.7)„придем к линейной задаче, описываемой уравнениями (5) н (7). В результате вновь получим уравнения (11) и (!2), которые теперь, однако, следует понимать в смысле Ито.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
