Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Таким образом, метод текущей линеаризации приводит к алгоритму расширенного фильтра Калмана, уравнения которого имеют одинаковый внд (11), (12) как в форме Стратоновича, так и в форме Ито. 463 Однако алгоритмы видоизменяются, если в них производится переход к другой форме. Пусть, например, в уравнениях (11), (12), понимаемых в смысле Стратоновича, для скалярного случая (т = 1, л = 1) осуществляется переход к форме Ито. Согласно формуле перехода (4) для уравнения (11) получим дополнитель- ный член с(с 2 д (с, Л)') а (2 д (с, Л)')Х, ! д«(с, Л)дсз(с, ~) 21 с'со дЛ ) аЛ( схсо дЛ ) 2 сзса дЛ дхс В результате имеем другое уравнение для оценки (11); '— ,=я(0 Л)+я — ' д(с) — (с, Л) — зк"О;~) "('~).
(101.!3) Уравнение (12) при этом останется прежним. Полученный таким путем алгоритм (!3), (12) в форме Ито отличается от (11), (12). Такой же по характеру результат получаешься при переходе от уравнений (11), (12) в форме Ито к форме Стратоновича: — =8(с, Л)+Я вЂ” Ц(1) — 4(с, Х) — -Я; — — '. (10.1,14) Здесь появилось дополнительное к (11) слагаемое. В итоге приходим к новому алгоритму фильтрации (14), (12). 2. Расширенный фильтр Калмана в дискретном времени. Вывод алгоритма расширенного фильтра Калмана в дискретном времени аналогичен приведенному выше для непрерывного времени. Прн линеарнзации уравнения динамики фильтруемого процесса (7.1.11) выберем точку разложения 1*=с«, с Тогда Х,=Ао +А,)«, с+ил„, которое аналогично (8.1.33) при Ао„=й(с„, Х„с)-А„л„ А,=дй(с„, Л„ с)ссдХ'. Прн линеаризацни уравнения наблюдения (7.!.10) обычно полагают )«*=я(с„, х„с), что соответствует раз- ложению в точке экстраполироваййой оценки.
При этом уравнение (7.1.10) переходит в соотношение д,=Но„+Н„)«„+во„, которое аналогично (8.1.32) при Но.=я(с„, 8(с„, с«„с)) — Н„й(с«, 1„с), Н„=дз(с„, й(Л„с))7с)Л'. На основании (8.1.34) и (8.1.36) записываем алгоритм фильтрации 1„=8(с„, Л„,)+К„Н„Ч„-с(~„— (с„, 8(с„, Л„с))), (1О.!.!6) К, '=(А„к„сА;+фД '+Н„'Ч„сН„. (10.1.!6) При малой размерности т вектора наблюдения Цс) более удобным для расчета К„является алгоритм, аналогичныи (8.1.39): 464 (10.1.17) (10,! . ! 9) — =-!х),(с, Х)+ --„' — К+К для с=с« Л(с„+0)=л(с„— 0)+К(„+0) "("' .'')) Ч,'р„ — з(с«, Л(!« — 0))1, (10.! .20) К- (г„+О)=к- (,-О)+ д'(',",(,':"))~ Ч„- '«(' л!' )) (10. ! .21) Эквивалентная форма, удобная при лссл, записывается, как и в линейном случае: «с« ~ «с= «о„-«с- «о,-сс) ~~'-'-' .",' — «с] ' » дх* д«(с,, Л(с,— СС)) — ( ) д«(с„, Л(сг-В)) Алгоритмы для дискретно-непрерывной фильтрации: Л„=Л„+К« -'--' -'- ~ Хо '(с) ~~(с) — з(с, Х«)) й., (10.1.23) к„-'=к;.'+ -'" (с)О 1~„-'( ) "~'," сс, (10,!.24) 465 К„=- ʄ— Й«Н'„(Н„Й«Н'„+ЧД Н,Й„, где К, = А «К, А '„+ ф, Если выбрать другие точки, в окрестности которых производится лнпеарнзация, то можно получить другие алгоритмы.
Несколько таких алгоритмов получено в [7, ~ 2.3). 3. Расширенный фильтр Калмана прн непрерывно-дискретной н дискретно-непрерывной фильтрации. Поскольку соответствующие алгоритмы получаются так же, как в двух предыдущих вариантах, приведем здесь выражения для окончательных алгоритмов. При непрерывно-дискретной фильтрации они имеют внд: для се (с,,„с ) сс'),/й=й(с, Х), где 2,.=а(1„Х„,), й,.=ф„+[да(1,, 2., 1)/д2.') х х К, л [дй(/ 2 л)/д/„'3 В рассматривш,мом случае отличие от обычной фильтрации в лискрепюм времени закллочается в том, что наблюдение и полезный сигнал входят пол интеграл. В общем случае для уравнения (24) не существует 'жвивалентной формы типа !22!.
10 1 2 ДРУГИЕ ЛЛГОРИТМЫ ЛОКЛЛЪНОЙ лЛПГ1РОКОИМАЦИИ При применении локальной аппроксимации основной путь получения алгоритмов фильтрации, отличных от расширешлого фильтра Калмана, основан ца поиске приближенных решений уравнения Стратоновича в виде разложения логарифма апостериорной и. в. р(/, Х) в ряд Тейлора относительно приближенной оценки 2. (/), соответствующей максимуму апостериорпой п. в. Для скалярной задачи (ш= и = !) это означает, по решение ищется в виде Р(д /)=-ехр(с(/) — л; — '-;) [Х вЂ” 2.(/)) '), (10. 1.25) Г=а 1 где с(/)=!пр(1, 4(/)); /с — -порядок аппроксимации (/>2!; 2,(/)=плах ' р(д /), /л,(/)== — д7'!пр(д 7)/д2.'!л л Член с /л, (/) отсутсгвуез, так как при указанном выборе х имеем /Ч(1)=- — д!и/л(1, 2,(/))/д/ =О.
При А-=2 полу шем гауссовскую аппроксимацию, а при /;> 2-;шпроксимацню плотностью, отличной от нормалылой. Параметры распредсления (25) /л(1) и /0(/), /=2, А, находятся подсгаповкой (25) в уравнение Стратоповича (7.3.8) и приравлппгапием коэффициенгов при одинаковых степенях разности 2.— 2.(1). Счраничимся здесь рассмотрением нескольких вариантов гауссовской аппроксимации (/с=-2). Вывод алгоритма при /г=-4 (учитываются аснммегрия и эксцесс распределения) приведен в [7, ~ 3.2). Запишем (25) для веплесз венного процесса при лР = 2 в обычном виде р(, Ц = - р,( .( ) — [2.— 7.( И'/2/1(/)).
(10.1. 2б) Произведем некоторые преобразования в уравнении Стратоновича '."',"..!= .' [а(/, ~) р(/, ~))+' ",[/Ул(п 2.)Р(/, ~Д+ (10.1.27! +Щ/, Х) — Г(/))р(/, 2), 446 где Г(1, 2л=(2/л~о)Р(/)к(/ Ч (1//Уо)44(/, Х), Г(/)=(Г(д Цр(0 2)л//л. (10.1. 28) Чтобы после подстановки (26) в (27) и приравнивапия коэффициентов при степенях (2.
†(/)) получилась замкнутая система, нужно предварительно разложить также функции и(/, Х), /5/л(п /) и Г(0 /л) или к(/, Ц в ряды Тейлора. Как это часто бывает при использовании приближенных методов, можно получи~ь несколько различаюп1ихся алгоритмов в зависимости от того, как осущесгвляются эти разложения. Рассмотрим несколько вариантов. 1. Будем подставлять в (27) разложения коэффициентов а(д Х). /ул(0 лл) и Г(0 /л) до второй степени (2.— Х(()). Для сокращения записеи используем обозначения вида Я, х =(+)"с+1 "а'/„3'=!'(/.
2), Г = дЯ, 2)/дХ, ./-=д /(/, ~л)/д2 .=/-2, а производные по времени обозначим точкой сверху. Тогда из (27) получим С+ — 2.+ —,/4 = — „— и+ где+ — пкв р + -- — „',~~Л~.,+ У; +-/Ул -р ~~У+Г-е-!--Гг.'~ — Г()) = = — (а'+а5а)Р— а+а'С+-ака — -/Л +-/тЛР+-(Ж14Ф 4)Х 2 )~ Л / 4 2 х — -'р +-(лч,ч//,":~-игал! -'- — -7!/л+~ Г+Гс+-Г"а' — Г(1) р= К ) 4 (ллз Я) хе'+сопя!(с) /х Здесь было учтено, что — ср/Я=р'(б Л).
Приравнивая коэффициенты при е и а', приходим к следующему алгоритму: ~И ! [алл!Ь Ч 52~У,(Ь Х! ~ Глз'(Ь 2'! '10. 1.30) ЛУ Ь 42~~ 2. В (7, ч 3.2) алгоритм получен несколько иначе: сначала в (27) берутся производные д,(с Х) гд(с, Х) Сд',~.,(с, Х), С с Сс(с, Х) — — — ' л(с. х) — сс(с„ч ',' -+- — ' — ' — „' — ' р(1, Х)+- -' — " ' х дс сзХ с'Х 4 скс З дь "!' ~)+ ' Лс(1, Х)-' д('; Ц+ Р(1, Ц вЂ” Я(1)ЗР(1, )) (10.131) и лишь затем подставляются разложения коэффициентов в (31).
Например, теперь га(с, Х)1д). и'+и"с+сс"'с~!2. Реализация этого способа приводит к алгоритму дх, -, Зс Хс,(с, Х),, Гдн(с, 8) ссссс(с. 8) ! спас(с. 8) с!с 4 ди ~ дк сзьс 4 сзпс ~ССС С, - Г дя(С. 8) 5с м~,(С, Х) ) Гд К(С, Х) с'Х" Заметим, что в отличие от алгоритма (29), (ЗО) в (32), (33) входят дополнительныс члезсы с производными от а(1, х) и Л',(1, У) третьего и четвертого порядков. Хотя ссаличие этих дополнительшсх членов как бы свидетельствуег о большей точности второго метода, однако нет оснований утверждвз ь, что он корректнее первого. Подставив в (32), (33) и (с, 7) =д(1, Х)+(114) (с)Лсс (1, Х)ссз).) и (28), получим уравнения, выраженные через параметры исходных уравнений набзподения н сообщения: ссс).
- С дЛ',(с, >.) ( 2 дс(с, )) Ря(с, 8)! сС1 ' ' З дь — — =8(1, Х) — — — ' ' +Я(1)с) — (а(с)-х(с, Ц вЂ” — -- — -',, -~, (10.1.34) Ил с с дк!с Х) Зд Яс(с 8) с с сз Г('Л) д 8(с х) 1Я2 (10.1.35) где 3. При получении как алгоритма (29), (30), так и (32), (33) использовалось разложение в ряд функции Г(1, Х).
Однако Г(1, Х) согласно (28) можно трактовать лишь как удобное промежу.сочное обозначение и вместо нее можно разлагать в ряд сигнал к(1, Х), Если использовать разложение з(1, Х) в ряд до квадратичного члена, то в итоге придем к тем же алгоритмам, что и при разложении Г(с, Х), например к (34) и (35) при втором методе. 4бх (10.1.37) Однако если ограничиться линейным разложением х(1, ).) и других функций, входящих в (27) или (31), то в результате получим вместо (34) и (35) следуюсций алгоритм: '"=,(с, Х) "."')+Я(1) ' ~Г(1) х(1, Х)~сх"-), ( ~) ~~(х') Рз(ей) ' Сравнивая (36), (37) с уравнениями расширенного фильтра Калмана (11), (12) для скалярного случая, видим, что они практически совпадают. Отличие заключается в том, что в (36) имеется дополнительный член — (112) б(Лс„(1, ).)1'07)..
Оно связано с 'тем, что при получении алгоритма расширенного фильтра Калмана предполагалось Лс„(1, 7) Лсс(1, У)=сопя!(сх), а при выводе (36) использовалось линейное разложение для Лс,(1, Х). В качестве вывода из предыдущего рассмотрения укажем, что можно предложить много различных алгоритмов, базиру- ющихся на локальной гауссовской аппроксимации. Наиболее простой и важный из них — расширенный фильтр Калмана, являющийся базовой структурой дчя остальных алгоритмов, в которых к пей добавлены те или иные дополнительные члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
