Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Имея в виду последующее применение методики численного моделирования па ЭВМ, введем безразмерные величины — время т, частоту й н амплитуду полезного сигнала гд О=снос'Лс в=А !,У Лспо. (9.6.3) В новых переменных исходная задача (1), (2) примет вид г, (т) = а соз [йт + ср (т)~ + й (т), (9.6.4) йр)с(т=-й(т), (9,6.5) где й (т) и й(т) — независимые БГШ с единичными односторон- ними спектральными плотностями (Лэо=-!, Л7=1).
Введенные безразмерные величины имеют определенный фи- зический смысл. Безразмерное время т пропорционально апри- орной дисперсии набега виперовской фазы на временном ин- тервале [О, т1. Параметр а характеризует входное отношение сигнал-шум. Действительно корреляционная функция полезного Радиосигнала х(А «Р)=А соз(снос+«Р(с)З пРи винеРовской фазе «Р(с) определяется выражением гс,(Л)=(А з/2) ехр( — Л'Л/4) гозсооЛ, Такой корреляционной функции соответствует спектральная плот- ность с шириной волосы Л«1'2.
Поэтому отношение средней 454 яе ( («р — р +2нк)2) р(ср„~, ! ср„)= ,'«ехр)— (9.6.9) где ср„, ср„, и ( — н, н), Лт=т„,— т„. Выражение (9) является очевидным результатом приведения обычной нормальной п. в. к конечному интервалу. С помощью (7)...(9) можно последовательно рассчитывать апостериорную н. в. фазы для любого момента времени т. 455 Рнс. 9.17. Ступенчатая аппрок- Рис.
9.18. К трактовке снмация фазы в интервале случайной фазы 1 — л, к) мощности сигнала Аз,12 к мощности аддитивного шума канала в полосе частот сигнала равно 9=Аз/Лс'ЛС =аз. (9.6.6) Примем следующую аппроксимацию процесса ср(т). Разобьем временную ось на малые подынтервалы [т„т„,) и будем считать фазу ср на каждом таком подынтервале постоянной и равной значению ср (т) в середине данного подынтервала (рис. 9,17), Иначе говоря, вводится ступенчатая аппроксимация фазового процесса вида ф(т)=ср, при те[т„, т„,). Поскольку фаза на подынтервале постоянна„то уравнение фильтрации Стратоновича для апостериорной и.
в. фазы на [т„, т„,,) примет вид «„к, р1я, 1=ср1к, 1 р(з 1 Ц) 1п -';я,,нз), ч где С вЂ” нормировочный множитель; р(ср„с) — экстраполированная п. в. Она находится путем пересчета апостериорной п. в. р(ср„) на предыдущем временном подынтервале с помощью соотношения к Р(р,. )) р(р,)р(р,"( р,) )ф,, (9.6.8) Здесь )з(ср„, ~ ср„) — п. в. перехода.
Для винеровской фазы, при- веденнои к интервалу ( — я, н), она имеет вид Именно на этих соотношениях базируется численное моделирование оптимального алгоритма фильтрации. Выбор параметров численной модели. Важным вопросом является выбор параметров численной модели, а применительно к рассматриваемому примеру--выбор шага по времени Лт и диск- рета Лиз разбиения отрезка возможных значений фазы [ — к, я]. Этот вопрос решается на основе следующих соображений. Погрешносгь сгупецчатой аппроксимации фазового процесса определяется среднеквадратическим отклонением фазы <р(т) на интервале длиной Лт от ее значезпгя в середине:лого интервала, Известно, гго для винеровского процесса дисперсия прирщцезптя фазы равна 0„=(Я(2) Лт= — Лт(2.
(9.6.10) При рассмотрении задачи (5), (6) в непрерывном времени естественно потребовать выполнения неравенства 0 ««11, (9.6.1 1) где 7! — дисперсия апостериорной и. в. фазы. Согласно (10.1.43) тт =(а У2) '. Поэтому условие (11) с учетом (10) можно записать в виде Лт ««э(а. (9,6.! 2) Если задача решается в дискретном времени, то шаг по времени Лт выбирается исходя из допустимого априорного набега фазы на выбранном интервале. Тогда с использованием (1О) получаем следующее условие выбора величины Лтс Лт = 4.0, (9.6.1 3) где .0„— допустимое значение дисперсии набега фазы. При выборе Лу можно исходить из следующих рассуждений. Шаг по ~р должен быть дост;почно малым, чтобы не вносить заметной лополнптельной погрешности в определение оценки фазы.
Для этого должно выполняться условие (Лйз)з««В, или (Л~р)з ««1 (и 72. (9.6.!4) При моделировании число узлов на отрезке ( — я„ к) составляло от нескольких десятков прн малых а до нескольких сотен нри больших и. Оценка приведенной фазы. При бпйссовской оцспкс фазы по апостсрнорной и. в. необходимо задаться конкретной функцией потерь с(из,ф), где ф=ф(т)- — оценка фазы ср(т). Удобно рассматривать шачение фазы в каждый момент времени как точку на единичной окружности. При этом значения фазы аз и ~р-~-2к/с, где й — целое число, будут эквивалентны (рис. 9.18). То~да можно ввести расстояние д между тр и ф как длину наименьшей из двух дуг, соединяющих точки чз и ф.
При этом функция потерь с (с() должна быть, очевидно, 2л-периодической. Поскольку на- 456 Рис. 9.!9. Периодическая функция по- терь иболее часто в теории фильтрации используется квадратичная функция потерь вида с(зт) =т!з, то в данной задаче рассматривается ее периодический вариант (рис. 9.!9). Известно, что средний квадрат ошибки фильтрации саз дается осреднением функции потерь с(<р,ф) по совместной п.
в. фазы и наблюдения: с,'=() с(~р,ф)р((р, ео)с(ьряо. При выбранной функции потерь апостериорный риск совпадает с дисперсией апостериорной п. в, приведенной фазы к А(ф)= ) с(йз,ф) р(ср) Йр. (9.6.15) — и Оценка ф находится из соотношения ф=ппп А(ф), ф т. е. из равенства (9.6.1 6) (9.6.1 7) Непосредственно раскрыть это равенство не удается, так как нет явного аналитического выражения для функции потерь с(йз,ф). На рис. 9.20 представлена характерная ситуация, поясняющая возникающие трудности. Для выполнения дифференцирования преобразуем (17). Подынтегральная функция периодическая и интеграл берется по периоду этой функции. Поэтому значение интеграла не изменится, если сместить отрезок интегрирования на Рис. 9.20.
Взаимное положеиис функции потерь и апостериориой плотности вероитиости -я' зг !к 457 0 15 Рис. 9.22. Зависимость стационарной дисперсии ошибки фильтрации фазы от априорной дисперсии набега фазы за от ' 0001 0,10 01 09 0,01 458 произвольную величину.
Сдвинув начало отсчета по 1р на Ф, можно написать —; ~ 1р'р(гр+Ф) г! р= — = (р — Ф)'р(1р) А р'= 0ф ! яф льф — льф ( — ) ( ) А +( +Ф вЂ” Ф)'р( +Ф)— — л 1 ф — ( — +Ф вЂ” Ф)'р(- +Ф)= — 2 грр(гр+Ф) г1Ч. Следовательно, условие (17) имеет вид я рр(<р+Ф) й1р=0. (9.6.1 8) — л Оценка <р в каждый момент времени является решением интегрального уравнения (18). Средний квадрат ошибки фильтрации с;", можно найти осреднением т! (Ф), вычисляемой на каждом шаге, по большому числу наблюдений.
Моделирование алгоритма и анализ результатов. В результате моделирования описанного оптимального алгоритма ФАП была получена зависимость стационарного значения дисперсии опшбки фильтрации приведенной фазы от отношения сигнал-шум д=А'/)1!Дг для двух значений максимально допустимой априорной дисперсии набега фазы на интервале й„. Соответствующие графики дисперсий ошибок фильтрации прийедены на рис.
9.21. Кривые т' относятся к рассмотренному оптимальному алгоритму, а кривые 2 и 3 †-к двум приближенным алгоритмам, которые для нашей задачи будут изложены в примерах 9 !0.3. м(1у-у(') м(19-у1,') хЪ кяВ Ю 3 Рис. 9.2Ь Стационарная дисперсия ошибки фильтрации фазы Выбор параметров численной модели оптимальной ФАП соответствовал приведенным выше рекомендациям. В1аг по времени брался исходя из максимально допустимой априорной дисперсии набега фазы на интервале. Для рис. 9.21 эта дисперсия равна 0,1 радз, и 0,0! рад'. По ходу моделирования постоянно контролировалась точность получаемых оценок.
Относительная погрешность результатов составляет 4...6%. Отметим, что хотя исходная задача (1), (2) сформулирована в непрерывном времени, решалась она чисто дискретным методом. Ясно, что численное решение непрерывной задачи можно получитгь задав достаточно малую величину .0 — априорную дисперсию набега фазы на шаге по времени. Этот факт подтверждает и приведенная на рис. 9.22 зависимость дисперсии ошибки фильтрации фазы от диспеРсии набега фазы )9„. Видно, что пРи 19я < 0,01 Рада дискретность метода решения слабо влияет на величину М(~ 1р — Ф1з). Это позволяет заключить, что результаты рис. 9.22 практически соответствуют решению задачи в непрерывном времени. Выше была изложена методика моделирования уравнения Стратоновнча для частного примера„когда фильтруемым сообщением являлся винеровский процесс.
Эта методика может быль обобщена на многомерные модели фильтруемого марковского сообщения. Однако при этом значительно возрастает объем вычислений. Особенно усложняется вычисление интеграла (8), описывающего эволюцию апостериорной п. в. в соответствии с априорной моделью фильтруемого процесса, который теперь будет многомерным. Г л а в а ! О. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ нелинейной эильтРАции В гл. 7, были получены алгоритмы фильтрации марковских процессов в дискретнсм времени (7.2.9), (7.2.10) и в непрерывном времени (7.3.81. В теоретическом плане они даю г полное решение 459 задачи фильтрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
