Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Случайная величина т! =(Х +Л)г+Хг описывается законом Райса. Поэтол<у вероятность ложной тревоги выражается инте~ралом от п.в. Район, При 0=1 условные м,о. и дисперсии сл.в. Хт и Х„раины: те = М ! Х,. !<р)< =- (2Е Лго ) соа <р, лг, = М г Х !<рг = (2Е/Л/<г) <йп <р, /) =М((Х ги )г!<Ргг — М <(Х гп )г!<р) — /1 — 2Е/Лг Условная (при фиксированном <р) п.в. случаююй величины т) г =-(Хс+Л)'-г- Хг будет также райсовской, но с другими парамет- рами.
Последугощее вычисление безусловной п.в, для т)г сводится к осреднению по случайной фазе <р с п.в. (29). Отме~им следующий факт. Характеристики рассмг<триваемого квазикогерентного обнаружителя радиосигнала с очастично извест- ной» фазой зависят от вероятностных характеристик случайной фазы. Результаты же предыдущего примера показывают, что характеристики оптимального пекогерептно!.о обпаружнтеля ра- диосигнала с равномерно распределенной случайной фазой в ин- тервале !<р!(к не зависят от характера фазы. Случай равномерно распределенной фазы является исключительным; такое распределе- ние наименее предпочтительно (с, 3!4). При фиксированньгх других условиях получаемые при этом значения вероятности правильного обнаружения определяют нижнюю границу.
При любых других распределениях фазы радиосигнала вероятность правильного обнаружения не может быть ниже этой границы. 9.3. РАЗЛ1ЛЧЕНИЕ СИГНАЛОВ Укажем кратко методику решения задачи различения нескольких сигналов в непрерывноьг времени по наблюдению Е,(г)=л,(/, Эп Ъ.,)+!го(г), г'=1,т, 0~/(Т, Рж(Эс. )4)=РР (9.)Рж()ч) 2 Рг (Эс)=!. (93.2) ~=1 Если применяется кризерий максимальной апостернорной вероятности, то в качестве оценочного значения дискретного параметра О=- 19„...,9 ] принимается О=-гпах ' (р(Т, 3,)], 9 где р(Т, Э,) --значение апостериорцой вероятности дискретного параметра О=Э,.
в конце интервала наблюдения Т. Требуемые апостериорные вероятности находим из решения основного уравнения фильтрации, которое для не изменяющихся во времени параметров Э, и Х, имеет вид ЗР(0 Эс, Х,)/сзС=-[Е(0 Эс,)ч) — Е(с)1Р(0 9„),,), 0<с<Т. (9.3.4) Записываем решение этого уравнения ! Р(0 Эс, ),)=с (С)Р„„(9,)Р„„(Х,)ехРЦЕ(т, Э„Х;)сlт~, 0<с< Т', о где сомножитель ехр ( — ] Т(т) с7т), как независящий от Э, и Х,, включен о в нормировочную постоянную с (с ).
Отсюда находим интересующую пас апостериорную вероятность дискретного параметра г р(Т, Зс)=ср„„(3,.)~р, (Х;.)ехр[~Е(т, Эс, Х,)сут|Л.;, (9.3.5) о где с ' = 2' р,„(9,.)]р,„(Х,)ехр [] Е(т, Эс, Х,)с(т|Л, с=с о Для детерминированных сигналов, когда р „(Х,)=б(Х,— )чо), выражение (5) несколько упрощается: р(Т, 9,.)=секр( — Ес1Лсо)р,(Эс)ехр[с(,(Т)1, где т Г т сй(7)= — ~((С) Ус(с, Эп 7.;о)(0 Е;=].,'(О Эс, )чо)й, О о о с '= 2. ехр( — — '~р,(3,)ехр[9с(Т)1. < а/ (9.3.7) 432 где параметры Э, и 2, считаются постоянными на испервале наблюдения 1О, Т], независимыми при с'=!,сп с заданными априорными вероятностями О=шах ' ]д;(Т)], ! (9.3.! О) где величина 9с(Т) определена (7). Структурная схема оптимального различителя ьч детерминированных сигналов, реализующая алгоритм (10), представляет собой т-канальный корреляционный приемник, выходпые сигналы которых подаются на схему выбора максимальной величспсы при с= Т.
Принимается решение о наличии в наблюдении того сигнала, для которого выходной эффект прл с= Т максимален. Пусть это будет, например, сей канал. Тогда 2 9,=9,.(Т)= — "~Г,(С)47(0 3„)чо)сЕГЭ суо о —.~1(~)~у(ц Эл ~у М, 2 о (9.3.1 1 ) Выражение для вероятности полной ошибки при различении нескольких дезерминированных сигналов па фоне белого шума легко получается в частном случае', когда сигналы априорно равновероятны, имеют одинаковую энергию и ортогопальны, т. е. )кс(д Эс 2'о)ху(ц 9,, )уо)ссс= [ (Е при !=у, (9,3.1 2) (О при (~у. Рассмотрим подробнее различение двух сигналов трех видов. Детерминированные сигналы. Прн различении двух детерминированных сигналов требование ортогональности (12) необязательно.
В данном случае из (1!) следует, что решающее правило можно представить в виде ' См. сноску са с. 426. 4ЗЗ На практике весьма часто встречается случай. когда вес лс сигналов априорно равновероятны и имеют одинаковою энергию, т. е. р„„(9; ) = 1йп, Е; =- Е, с = 1, щ. (9.3.!) При этих условиях формула (б) еще более упрощается: р(Т, Э,)=сехр [д,(Т)], г ' = ',>„ехр [д;(Т)1. (93.9) 1 Учитывая монотонный характер показательной функции, правило принятия решения (3) принимает очень простой внл 4(2)=Г'Ие аг'д де 4 уа-г 4(е)= га-' а Рис. 9.8, Зависилзость вероятности полной ошибки р, от коэффициента взаимной корреляйии г, между детерминированными сигналами Рис.
9.9. Зависимость вероятности онгибки от отношении сигнал-шум для детерминированных радиосигналов при ФМ, ЧМ и АМ ь + Р (Ч)иг)1. (9 2.15) 434 435 Рис. 9.7. Оптимальные схсмь. ддя различения двух дстермивпрованных сигншшв с использованием сопзасованных фильтров га) и коррспяторов (о) т Ч ~ 'е(г) [~! (т Эг )ьло) х2 (б Э2 )20) ~2~2 ( )!. в, 0 На рис.
9.7 показаны два варианта реализапии этого алгоритма: с использованием согласованных фильтров и корреляторов. Вычислим полную вероятность ошибочного приема. Пусть присутствует первый сигнал, т. е. Р,(2)=х, (б Э,, ),)+по(2). Тогда сл.
в. т Ч=-Чг= — 1 [аг(Д Эы ) го)+гзо(Г)~[тг(2 Э» ) зо)— о,) о -аз (П Эз„) 20)) й описывается нормальной п. в. Р, (Ч) со следующими харак- теристиками: ,=М(Ч,)=(2цдг,)(! —,), 2),=М/ 2,)— = (4Е)дуо) (1 — гх ), где т Уз= — Яз (уы Эгл )"10) хз (Г, Э2, )ь20) г Р (9.3.1 4) о условно называют коэффициентом взаимной корреляции между сиенпдами. Гаг« га -га -а,а а аа Ъ и г22 «а аа гсузг Если присутствует сигнал 22(б Э, ) 20), то сл. в, на Ч=Ч2 имеет нормальную п.
в, Р,(Ч) с характеристиками тз = М ~) Ч, ) = ( — 2Е)Х0 ) (1 — г, ), 02 = М (Ч 2 ) — т 2 2= =(4Е)%0)(! — гл), Вероятность полной ошибки определяется формулой Г Рг Ррг(Э2) Р(Э2 ~ л91)+Ррг (л92)Р(Э2 ! Э2) [ Р2 (Ч) г~Ч+ Значение порога гз можно найти из условия минимума полной ошибки. т. е. из уравнения г!Ре г!!2=0. Для априорно равновероятных сигналов 6=0. Выполнив вычисления, получим р,=1 — Ф(.,~(Е~Л'0)(1 г'.)) где Ф(х) — интеграл вероятности (1.1.11).
.«, (1)=А сох <Ш, 0<! < 7'. з (1) = — А„, сох вд Для таких сигналов гх=- —.1 и пз (!6) ил<еем р,=1 — Ф(хг 2рг'~'<5) График шой зависимости представлен на рис. 9.9. Частотная манипуляция (ЧМ). При ЧМ используются сигнальг .«г (1)=А сох(вг( — <р,), 0<<< Т. з (1) = А„, соч (вг1 — <Рз), В данном случае при <рг =-<рг имеем Гх=-Чгн(Вг <Ог) 77(В Вг) Т. Этот коэффициент минимален и равен гх= — 0,21 при (<о,— в,) Т=1,5п. Однако на практике обычно выполняется не- равенство (в — в,) Т))1.
Поэтому гз=О и из (16) получаем Рв=1-Ф(7Е(<до) (9.3.20) Эта зависимость изобрах<ена на рис. 9.9. 43б (9.3.17) (9З.18) Следовательно, при известном отношении сигнал-шум 2л<А( вычисление вероятности полной ошибки для детерминированных равновероятных сигналов с одинаковыми энергиями сводится к определению коэффициента взаимной корреляции между сигналами. Так как интеграл вероятности Ф(х) является монотонно возрастаюшей функцией аргумента, то при одинаковом отношении сигнал-шум наибольшей помехоустойчивостью (меньшей вероятностью ошибки р,) обладают сигналы, для которых коэффициент взаимной корреляции минимален.
Коэффициент взаимной корреляции г, может изменяться от — 1 (ПРН кг = зз) до + 1 (ПРи лг = «г). ЯснО, что Одинаковые сигналы (г,=!) невозможно различить и поэтому р,=1 — Ф(0)= — 0,5. Наоборот, если сигналы одинаковы по форме и противоположны по знаку (г,= — 1), то их различить легче, чем любые другие два сигнала (например, ортогональцые гз=О). Сказанное иллюстрирует рис.
9.8, на котором представлены результаты расчетов по формуле (16). Кривые. характеризующие зависимость вероятности полной ОШИбКИ Ре От ОтПОШЕНИЯ СИГНаЛ-П1УМ ПРИ ОнтИМаЛЬНЫХ МЕтОДаХ приема детерминированных сигналов, в радиосвязи принято называть кривыми погленцнплыгпй логзгехоуелгог)чг<восггги. Получим их для простейших радиосигналов, применяемых в цифровой связи. Фазовая манипу.шция (ФМ).
При фазовой манипуляции использую гся сигналы Р = 1 Ф(0 5 '72Е1А<о). (9.3.22) График этой зависимости приведен на рис. 9.9. Сравнивая графики рис. 9.9 для ФМ, ЧМ и АМ, видим, что при одной и той же энергии элементарных сигналов (а не средней энергии) из трех рассмотренных видов манипуляции наибольшей помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция и наименьшей — амплитудная. Радиосигналы с равномерно распрелсленной фазой.
Запишем принимаемое колебание в виде «(г)=<ь,(г, х,)9(1 — 0)зг(г, хг)з-лс(г), 0«цт, (9лс23) глс случайный параметр 0 принимает лишь лва значения: 0=1 (прнсутсгвуст сигнал г, (г, 1.,)) с априорной вероятностью р„(1) нли 0=0 (присутствуст сигнал .«г(г, Хг)) с априорной вероятностью ри(0)= ! — рж(1). Пусть сигналы имеют вил а(<) =6(<)соз(ы,< ьф,(г)ляг<). 1=1, 2, (9.3.241 глс <в,--ггссущис частоты; 6(<) и ф,(с) — функлин, отображающнс законы амплигулнои и фазовой (частотной) молуляпии; яь — начальньге фазы, прслставляющис собой нсзависимыс сл, в., рас равномерно на интервале ( — л, л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
