Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Совместно с выражением ~„=й„', !'," ' уравнения (8)...(10) с начальными условиями й =ш„Ро=131./У„образуют алгоритм адаптивного предсказания йроцесса при выбранной его модели (5). Для инициализации алгоритма при п<)4 полагается Р,„=О для с < О. Это г алгоритм используется и для определения коэффициентов а (задача идентификации модели процесса). Отметим, что из методики получения алгоритма следует, что вектор с" может быть более общим, чем „,,). Например, часто помимо самих наблюдений «„бывает известен полностью или частично содержащийся в пих полезный сигнал к„(предварительное обучение адаптивного выравнивателя, см.
3 13.4). Эти данные можно включить в задачу предсказания, выбрав модель для г„в виде Б,„. г = а'д'+по„г г, (8.6Л4) где дг"=(д„, с„г, ..., ~, а+г, «„„3, „..., х„„+!) и а=(аг, ..., аа, а„.„, ... а,„11 — -214-вектораы. За исключением увеличения размерности векторов Рг и а, дополнительных изменений в алгоритме не происходит.
Уравнения (8)...(10) при болыпих !г содержат большое число операций сложения и умножения. Так, при Т=! число умножений в уравнении (11) для определения а равно !4, в (12) для вычисления вектора коэффициентов число умножений равно (ра+1г) и число дополнительных умножений в (10) для определения нормированной матрицы дисперсий Р„равно р'. Используя особенности уравнений (8)...(10), удалось разработать несколько процедур, отличающихся меньшим числом математических операций для больших р. Получающиеся при этом алгоритмы иногда называют быстрыми фильтрами Калмана. Идейная сторона упрощений при получении быстрых алгоритмов фильтрации связана с исключением из алгоритма матрицы Р,.
В самом деле, в уравнение (8) для оценки входит только вектор К,. Поэтому если удается получить рекурреятную процедуру получения К„без использования Р„то можно существенно уменыцить число операций. Разумеется, в общем случае это невозможно. 41!) Чтобы понять принципиальную возможнос~ь такой процедуры вычисления К, в нашем случае, умножим обе части (! О) на Так как согласно (8.1.35) Р„с" ' =К„то из (10) следусг К,=К„, — К, ф' ')"К„ (8.6.! 5) т. е. вектор К„выражается через аналогичный по структуре векз.ор К„.! =Р„г~" ' на предыдущем шаге.
Поэтому можно допустить возможность выразить К„, на основе К,, и д" Укажем, что в наиболее совершенном из быстрых фильтров— быстром трансверсальном фильтре' --число операций умножения порядка 514, а в обычном («медленном») фильтре Калмана (8)...(10) обгцее число операций умножения равно 2р~+ 3!г. Отсюда ясно, что при 1г>2 быстрые фильтры обеспечивают существенный выигрыш, Г л а в а 9. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 9.1.
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Приведем примеры и задачи, для которых можно получить точные решения уравнения Стратоновича (7.3.8): др(1, ))/д1=7. (р(1, 3.))+ ~р(1, !.) — р(1)1р(1, 3.), где Р(1)=(Р(1, 3,)р(1, 2,)г!'7. Это задача линейной фильтрации, рассмогренная в й 8.1, а также два примера из й 7.7. Приведем еще несколько частяых задач„ допускающих точное решение. Опи имеют самос! оятсльпое значение и, кроме того, являются основой для разных приближенных методов решения (гл. 10).
Предварительно укажем, что решеяие иптегродифференциального уравнения (!) сводится к решению более простого уравнения дк(1, 3.))г71=2, !гя(1, 3.))+ р(1, 3)к(1, 3), (9.1.2) которое яе содержит в правой части интеграла от я (г. 3.) и является лияейным дифференциальным уравнением в частпьгх производных. При этом начальное условие сохраняет прежний вид, т. е. я(0, 3.)=р(0, !.)=ро()с). Решение р(1, 3) уравнения (1) определяезся при извссзпо.г решении к(1, 2) выражением ' С!он1 3.
М., Капагп Т. Гааг ясспга1ае-1сааг-ас!иагеа Тгапасегаа! 19!гога Гог Аг!ароса Г1пеппсд!ГГГ Тгапа. !984.— Уо!. АооР-32, )гег 2.— -Р. 304-- 321. 4!1 р(1, Х)=к(с, Х)Дн(с, Л)с!2, т. е. отличается от н(1, Х) только нормировочным множителем. Действительно, пусть н (с, 3.) есть решение уравнения (2). 11одставнв (3) в (1), имеем — .((..) (н(с, Л)о!Л (1гл(с, Л)г7Л)' 1гк(с, л)ЫЛ л л л Л(!.
Л)н(!. Л) )Л(!. Л)к(с, 'л)о!л (~(л Л)осЛ ((~(л Л)гуЛ)' Это равенство переходит в тождество ж — 1„2-)Л.= — ) г(1, Л)н(с, Л)Ло рг которое следует из (2), если проинтегрировать обе части (2) по Х и учесть, что ) ! (зо(1, л)) Л.снО, Это равенство вытекает иэ условия нормировки для р(1, Л): — р(с, Л)с7Л= !. (р(с, Л))Л.= 2,(п(!. Л))с7)чс к(1, л)с! = — О. х а В некоторых случаях может оказаться полезной замена переменных в уравнении (1).
Тасс, если применить прежнюю замену переменных (3.4.39), то для преобразованной апостериор- ной и. в. у!(р, т) уравнение (1) примет вид др(!з, т)7дт = У. (23(!с, т))+ [Г(т, р) — 6(т)1р(р, т), (9.1.4) где оператор ФПК определен выражением (7.3.1) и Р(с, !Л)=р(г, Х)[с)ср(!)7с!!1 Прямой и общзий методы решения базируются на непосредствен- ном моделировании уравнения (1) на ЭВМ Е 9.6). Однако здесь будут перечислены случаи, когда удается получить аналитические решения. !. Условно-гауссовские процессы. Задача фильтрации для этого класса процессов является небольшим обобщением задачи линей- ной фильтрации с тем отличием, что теперь допускается зави- симость параметров фильтра от наблюдения.
Применительно к формулировке задачи (7.6.9) укажем условия, при которых апостериорная п. в. (7.6.13) будет нормальной: 4!2 !) векторная функция а(с, 1!), определяемая (7.6.!4), линейна относительно 3., т. е. л(с„з))=а„(с, «)+а,(1, «)л; (9.1.5) 2) матрица Х(с„з)), определенная (7.6.15), не зависит от Х; 3) функция Г(с, Л), определенная (7.6.16), является квадратичным трехчленом по Х, т. е. Р(1; 3.)= Ко(1, «)+К;(1, «)Х+(1/2)Х'Кз(с, «)Л; (9.1.6) 4) начальная априорная п.
в. 77(О,Х)=)х!(Хо, К„) нормальная. При выполнении этих четырех условий задача фильтрации сводится к линейной и апостериорная п. в, р(с, Х)=!ч)(Л, К) будет нормальной. На основании результатов теории линейной фильтрации 9 8.1 можно сразу написать уравнения для параметров нормальной и. в. Х(Х, К): л !с!с=ао(1, «)+аз(1, «)А+к [рз(1, «)+ка(1, «)л3, 0!К!с!1=М(с, «)+а,(1, «)К+Кас(1, «)+Коз(с, «)К с начальными условиями Хо и Ко соответственно.
Наиболее важным классом процессов. удовлетворяющих перечисленным условиям, являются условно-гауссовские процессы. Они описываются стохастическими уравнениями, являющимися частным случаем (7.6.9), а именно, для них Рс(!. Ч)=~со(1, «)+асс(1, «)Л, (9.1.9) Р,(1, Ч)=);о(1, «)+Р„ (с, «)Л, ! !(1, Ч)= Рй(1, «) 2. Сведение нелинейной задачи к линейной. Некоторые нелинейные задачи путем специальной замены переменных можно свести к линейным, решение которых известно. Проиллюстрируем это на практически интересном примере фильтрации огибающей н фазы узкополосного процесса'. Пусть узкополосный сл.
пр. з!г! —.-А !!)соз [мог — зр!с)] яабзюдается на фоне БГШ: «(!) = А (') соз (ыо ' — ж (!)! -г по ('). !9.!.10) Узкополосный процесс з(!) можно представить также в виде з(г)=Л, (с)созго„саЗ. (!)йпгоог, !9.1.1 1) где Л, (г! и Л, !!)--квадратурные составвяюгние. Примем, что Л, (с! и Лз!г) — независимые сауссовские марковские процессы, описываемые уравнениями о!Лил!= — ал,чо„(г), г2Лз!с!!= — алз-Ьпзз(!) !9.1.1 2! ' Парамонов А. А. Оптимальная фильтрация узкополосного случайного процесса 0радиотехника. — 1980. — т.
35, йй б. С 70 73. 413 в которых лм и и„— — независимые БГШ с одинаковыми двустороннилги спектральными плотностями Жг/2. При этом из (1!) следует, что процесс г(1) является узкополосным гауссовским. Огибающая А(1) и фаза гр(1) узкополосного пРоцесса свЯзаны с хг(1) и хх(1) известными соозношенивми А (1) = х/Э.(Я+1 1(1), гр (1) = агсгй [хх (1)/Хг (1)).
(9.1.1 3) Огибающая имеет распределение Рзлся, фаза распределена равномерно в интервале [О, 2я]. На основании выражений !12) и (!3) можно получить соответствующие дифференциальные уравнения (3.7.20) для 4(() и гр(1). Например, уравнение для А(1) имеет вид г1А/Аг = — пА + (Мг/4Л ) и пх (г), (9.1.!4) где и,(1)- - БГШ с лвусторонней спскгральной плотностью 1гг/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
