Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. !: Пер. с англ.(Под ред. В. И. Тихонова.— ййг Сов. радио, !972.— 744 с. 400 е';„= — ) 5х(а)г(а — — )' К(!а)5;т()а)г(го. Подставив сюда К()го) из (17), получим (8.3.2!) 2я ог(«) Для рассмотренного выше примера (15), если Х(!) н по(!) некоррелировапны, из (21) имеем г ! г о((вг) К„(«) Ъ ' 17гЯ;(«)-';5„(«) Конкретные выражения г-;„для других интересных случаев приводятся в литературе', 2.
Реализуемые стационарные линейные фнльтрьь Рассмогрим важный частньпг случаи линейной фильтрации, когда процессы 2 (г) и Ц!) стацнопарпы и стационарно связаны в широком смысле, и= — оо, г=б. Уравнение (9) теперь ил!ест вид В„(т)= $)г(и)Вс(г — и)г(и. (8Вь2 3) о Это интегральное уравнение для определения )г(и) называется урггвггснисгн Винера--Хгвгфл. Его решение практически возможно для рациональной спектральной плотности 5,(а): 5 (а) !( г)(В(, г) где А(а')-- полипом от а' порядка т; В(огг! полипом порядка и. Так как предполагается„что процесс Х(г ) имеет конечную дисперсию, то пг <и.
Процесс с рациональным спектром можно сформировать па выходе реализуемого фильтра с комплексной частотной характеристикой К„()а), удовлетворяющей условию К„()в) К, ( !а) = ) К„(!в) )г = 5,(а!), (8.3.24) на вход которого воздействует белый шум с единичной спектральной плотностью. Практически опредслспне К()а) сводится к следгуюп!ему.
Представим числитель А ~а ) и знаменатель В(в ) в виде произведений. Корни А(а ) являются нулями, а корни В(аг) — полюсами рационального спектра 5!(в). Отнесем все нули и полюса, расположенные в левой полуплоскости комплексного пространства (с отрицательными Рис. 8.8. Сгрукгура линейного фильтра с использованием обелягогцего фильгра (8.3.27) 40! вещественными частями), к Кг( 1а). Остальные нули и полюсы будут ! очно соответствовать комплексно-сопряженной функции К„()а).
Наиболее простой метод решения уравнения Винера — Хопфа ~с~овин гш введении обедню~~о фгг гыпрп — фильтра, преобразующего процесс с (г) в белый шум и (! ). Если операция «обеливания» является обратимой, т, е. нз и (г) можно снова получить с-,(!), то в п(г) содержится столько же информации, что и в г,(у). Иначе говоря, такая операция не приводит к неоптимальности фильтра. Обеляющим является линейный фильтр с частотной характеристикой И'()а) = 1/К,()а) (8.3.25) и соответствующей ей импульсной характеристикой гр(у). Обработка наблюдения с(г) сводится (рис. 8.8) к его обеливанию и получению нз белого !пума п(1) с корреляционной функцией В„(т)=б(т) наилучшей оценки процесса Ц!) с помощью линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой К„(!а) илн соответствующей ей импульсной характеристикой Ь„(г ).
Последняя определяется решением уравнегщя Винера-- Хопфа (23), принимающего теперь вид Я„„(т)= ) )г„(гг)8(т — и)г(и=(г„(т) т>0. (8.3.26) о Вид характеристики /г„(т) при т < 0 не влияет на уравнение и в зтой области ее можно доопределить из условия реализуемости фильтра: Ь„(т)=0 при т<0.
Для получения решения осталось определить В»,(т): Вь„(т)=М(7.(!) ) н(и)Ц! — т — и)Ии) = = ( н(и)кхс(т+и)йи= )' н( — с)Вхс(т — Р)Ь илн в частотной области 5л„()в) = И'*()а) 5 ()оз). (8.3.28) В результате получим Ья(т)= ) нг( — с)Я т(т — с)ггр, т>0„ и Ь„(т)=0 при т<0. Однако проще определить непосредственно частотную характеристику К„(1в). Обозначим преобразование от Я,(т) для т>0 через О Я~+()а) = ) Я „(т)ехр( — )вт)с1т = о = ) л„(т) ехр( — )вт)с(т = К„()в).
(8.3.29) о Так как л„(т) — импульсная характеристика реализуемого фильтра, то его частотная характеристика содержит полюса только в левой половине комплексной плоскости. Поэтому К„(уо) можно определить непосредственно по оы(уо). Представим оы()а) в виде двух слагаемых: С о Яы(Уо)= ) ссы(т)ехР( — 1вт) с1т+ ( )сы(т)ехР( — )вт) с(т= о О = о ~~ ()в) + о ~„()в). (8.3.30) Здесь первое, интересующее нас слагаемое Я„„(1в) содержит все полюса, находЯщиесЯ в левой полУплоскости, а втоРое Яы()а)--в правой. Практический метод выделения искомой части о „„()со) основан на методе РазложениЯ ом(1в) на непРиводимые многочлены (см. Ч 8А).
На основании (25) и (28) можем записать К„()в) = 5,'„(уо) = (И~*()в) 9 ()в)1 = ~ЯВ(1в)~К„'(1со)(+. (8.3.31) Оптимальный фильтр в целом представляет собой последовательное соединение обеляющего фильтра Ь'()в) и фильтра с частотной характеристикой К„(1а); он имеет комплексную частотную характеристику К(1со) =- (1(К„(уо)) ~Я,„. (1а11К'„()со)1 '. (8.3.32) Таким образом, синтез оптимального линейного фильтра включает несколько простых операций. 8.4. СРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРОВ КОЛМОГОРОВА — ВИНЕРА И КАЛМАНА — БЬЮСИ Рассмотрим задачу линейной фильтрации стационарного гауссовского экспоненциально-коррелированного процесса )с(с) на фоне белого шума по методу Колмогорова — Винера и Калмана— Бьюси.
Пусть наблюдение имеется на интервале ( — со, с) и задано выражением (8.3.15), в котором Х(с) — не зависящий от ло(с) гауссовский стационарный процесс, имеющий корреляционйую функцию и спектральную плотность 402 Я,(т) = 22,ехр( — а '1т1), Б„(в) = 2и.0„/(аз+ и~). Из (8.3.15) находим спектральную плотность наблюдения 9 („) Нг~ (а)+ъ~ ~~а о'+н'(с~-ч) где д =4Н~су 1иЛ1 --отношение сигнал-псум. Для синтеза оптимального фильтра применим методику Колмогорова - - Винера.
В соответствии с (8.3.24) можем записать ос(в) = К,(уо)К„(1в), где К,(1со) =(По(2)п~( 1а+ и /~ +У "1()а+ а) (8 4.2) — частотная характеристика реализуемого фильтра с полюсом — и 1+д и нулем — и, находящимися в левой полуплоскости. Взаимная спектральная плотность равна 5, (1в)=НК,(а)=2иН23Яв'+и'), (8.4.3) Согласно (8.3.25), (8.3.28) и (2) имеем з„,ц ) 2 ггп„бал„ К ()сн) ()со~-о)( — )сн~-а...~1 -~д) Для выделения реализуемой части разложим 5ы(1в) на непри- водимые многочлены: ()а-ьсс)( — )со-с-о П+4) с,ха/ с)сн+" — )сн-ссс.,Л ~-д Известен стандартный способ определения значений А и В. Например, чтобы получить А, нужно умножить обе части равенства на ()в+и) и положить )в= — и.
Аналогична получают й. В результате придем к выражению (8.4.4) -/ с я ~~ ~ ~ 1 0 ~~ ~ | | ~ ? ~ н ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! ~ ~ ~ ~~ ~ с ~ ~ | Здесь первое слагаемое справа соответствует реализуемой части Я,()со) и определяет поведение Я„„(т) при т>0, а второе — при т<0. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим обратное преобразова- ние Фурье от (4): (2/Л'о) "х 2Нс) ехр( — ит)1(1+ 6+9), т > О, (2/Лсо)с к2Н)2,ехр( — ис /1+9)/(1+ 'Т+9), т<0.
(8.4.5) Импульсная характеристика Ь„(т) совпадает с ветвью для с>0, которая является преобразованием Фурье от первого слагаемого (4). Это слагаемое соответствует корню, лежащему в левой полуплоскости. Таким образом, 403 !/з К„()ол) = <л-., «-ч "'" и по формуле (8.3.32) находим частотную характеристику оптимального фильгра К„(йо) 2 НП„ К()<о)— '<.(1<о) х<„(!л '! од)у~ли г<!.<-ч Импульсная характеристика оптимального фильтра имеет вид /!(т)=- . — '-( у1+д — 1)= — "( гг1 +д — 1)ехр( — с<т %+д), '!" и 2П т>0.
(8.4.6) (8.4.7) 8.5. О ПОНИЖЕНИИ РАЗМЕРНОСТИ ФИЛЬТРОВ Размерность вектора сообтцения (состояния) ). (! ), который подлежит оценке в текущий момент времени 0 является определяющим фактором при выборе быстродействия ЭВМ и требуемой емкости памяти. При болыпой размерности и вектора Соответственно записываем выражение для оценки Х*(!)=) !л(т)г(г — т)<!т= — '~ — — <--) ) ехр( — <гт /1+д)«' '<!т. (848) о Сопоставим эту оценку с оптимальной оценкой, следующей из линейной фильтрации Калмана — Бьюси. Для этого перепишем уравнение для оценки (8.1.17); ~о,/ Поскольку вьппе отыскивался стационарный фильтр, то сюда нужно подставить стационарное значение Я=2<„.
Согласно (8.1.26) в стационарном режиме л<„= 20т( ~ 1+ д — 1)<д. Подставив это значение. получим «',<<(! = — с< гг1+д)".+(2*г!) ' <<( уг)+д — !)Ц(г). (8.4.9) Решение этого линейного уравнения приводит к результату, совпадающему с (8), г.е. ) (<)=1~(!). Таким образом, для гауссовско-марковского сл.
пр. решение уравнения Калмана Бьюси дает оценку Колмогорова — -Винера. Преимуществом методики решения задачи линейной фильтрации Калмана является то, что оценка определяется дифференциальным уравнением. Если даже его решить аналитически затруднительно, то можно решать с пом<пцью ЭВМ. ).(!) и заданном вычислителе оптимальный филыр. в котором обрабатывается вектор всех переменных состояния, может потребовать так много вы'шслительных операций, что придется увеличивать длительность А интервала временнбй дискретизации. Однако при этом, во-первых, увеличиваемся ошибка экстраполяции и, во-вторых, часть доступных наблюдений (!) вообще не используется.
В результате может оказаться, что фильтр, в котором используется вектор меньшего числа переменных состояния и меньшая длительность А, будет иметь лучшие характерист<лки. Основным методом получения таких фильтров пониженной размерности является их синтез на основе упрощенной модели состояния с размерностью г <и. Возможность построения упрощенной модели обычйо базируется на физическом анализе конкретной задачи.
Разумеется, она должна сопровождаться исследованием характеристик фильтра пониженной размерности при воздействии на него реального наблюдения (с вектором состояния ). (г ), задаваемо<-о полной моделью). Для линейных задач, а также для нелинейных в условиях справедливости гауссовской аппроксимации (см.
8 10.1) такие характеристики можно получить расчетным путем. Рассмотрим линейную задачу с уменьшенной размернос~ью вектора состояния <л< ).„!<2г = А„).„+ и, (! ) (8.5.1) и надлежащим образом измененным уравнением наблюдения с(!)=Н,).,(!)+п„(г). (8.5.2) В данном примере структура линейного фильтра пониженной размерности определяется известным уравнениелл <!)., /«< = А„) „+ К „[г (г ) + Н„)., 3, (8.5.3) где К (г)=й.(!)Н™о (8.5.4) --- матрица коэффициец ! ов усиления. определяемая решением уравнения Риккати для корреляционной матрицы ошибок й„(г), <(й„(г)!'<!г=А„й,.+й„А„'+1~„— й„н,' д о ' Н„й„. (8.5.5) Матрица К„(<) для субоптимального филыра поних<енпого размера (3) может быть выбрана отличакпцейся от (4)„в частности, для однородной системы (1) удобно взять К„=-й< яН„'(з „'', !"де й„-- стационарное реше<л<ле уравнения (5). Ошибка оценки связана с ).„(!) соотношением е=)(г) — ) ).„(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
