Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 73
Текст из файла (страница 73)
При малых шумах в канале измерения скорости (малых ошибках измерения скорости) Лгог- 0 параметр 7 «1. При этом вз (78) следует Вг! (Лго>Мог)'"/2, ВггжЛ/ог/2, >(ггге(Л>гЛ>ог)'"/2. Подставив эти значения в (77), из первого уравнения получим Отсюда видно, что при условви т «1 оценка Лг в уравнение для ьг не входит, т. е. фильтрация скорости в отдельном канале не является необходимой для фильтрации координаты Х,; можно иметь дело непосредственно с самим измерением Ог. В данном случае ошибка оценки поло>кения стремится к нулю даже при наличии шума в канале измерения положения. Разумеется, что такой результат верен лишь прв точном знании начальных значений Хг и Хг при >=О. Если осуществляется только измерение положения, что можно считать соответствующим очень большому шуму в канале скорости Л>ог-!со, то из (78) имеем >(гг =(Л>ог;/Лг>чог/2)и*, >(гг =~ЯЛгог/2, >)гг =(ъг>Л>гЛ>ог/2>Ох)'" (8 1.82) Отсутствию наблюдения по координате соответстнует Лог-гоэ, При этом (78) переходит в Таким образом, наблюдение только в канале скорости прнволит к бесконечной ошибке по координате в отличие от наблюдения только положения, когда дисперсии ошибок по координате и скорости (82) конечны.
383 Ля=2Рг(лЧ,) '( ~1-глЧ, — 1). 0 лг 72 ... 0 р1='(чх!ч~)( у) 4ч~ 1)7(,г 14чх !) нли лля равноточных измерений К» ЛН" Хо '=2Л(!Чо~' Лез'- Лег'). 75 г -- =. — эх-~-2й 2. мо, (~„.— !»). г!г (8.1.84! г!Л вЂ” =2яох — 2пв — 2Л ~ ЗУ»,'. й Отсюда находим стационарное решение 4Р» " 4Р, Ч,= —, Ч =2.Ч,= — -ХЛ'е ил!»... ц Тогда получим Лч=-2Рьч '( ~1-Ьгг .-1). (8.!.85) ! 3 — 2247 Пример 8Л.5. Повьппение точаости фильтрации при совместной обработке нескольких найми»лений (измерений)» стационарный случайный процесс х(г).
залапный уравнением (!4), фильтруется с использованием й наблюдений «, (г) =-Л(г)4л„, (!)., «,(!) =Х(г) .1-п,„(г), тле л„, (г), ..., н,„(г) --независимые друг от друга и Х(г) шумы измерений, молслпрусмые БГТП с односторонними спектральными п!зотносгями Л!еы ..., Г»еы НУжно полУчпть стРУктУ!знУю схсмУ оптимального измеРителн, совместно абрасзазываюп!его ясе наблюлсния, н определить точность филырации. Запишеы наблюдения в вскз орной форме «=Нхшп,(Г). гпе Применим к нанном> час!ному примеру общие уравнения (б1).
Нетрудно убелиться, *мо матричный коэффициент усиления равен С учщом этого выражения первое уравнение (81), опрепсляющее структурную схему оптимального измерителя. принимает вил Разности (»,— Х) суммируются с яссами, обра~но пропорциональными опшбкам измерений. Для лиспсрсии ошибки фильтрации из (б!) прилсм к уравнению л„=- Х лм' 1-! — Е л!о1' — 1 Ввслем отношение сигнал-шум в 1-м наблюлснин 7; и суммарное отношение спо!ал-шУм Чх во всех lг каналах: При равноточных измсреяиях Чх=-йя, н ' Горгонов Г. И.
Оценка точное!и многомерной оптимальной фильтрация ОТсхпнчсская кибернетика. — !972. -»хй 4. — С. 200 †2. Из сравнения формул (85) и (23) видно, что с точки зрения стационарной ошибки фильтрации многоканальный измеритель эквивалентен олноканальному, в котором отношение сигнал-шум Ч, заменено на Чх. Поскольку время установления стационарного состояния зависит от отношения сигнал-!пум, та время усшновлсния в многоканальном измерителе будет мсныце.
чем в одноканальном. нулем характсризова!ь цронгрыш в точности одноканального измерителя по сравнсаию с многоканальным величиной р, =(й, „,)йп)н', гле й, „ - дисперсия ошибки фильтрации в одноканальном измерителе с отношением сигнал-шум Ч,. Величина р, показывает, во сколы»о раз ошибка олноканальпого измерителя больше ошибки многоканального. Получим рх = й( 7! 4Ч, - 1))( Г ! 48Ч, - !). При фиксированном числе каналов измерения проигрыш увеличивается с увеличением Ч„причем ргм4ггй при Чг»»!.
Непрерывно-дпскретиая фильтрация. Приведем алгоритм линейной непрерывно-дискретной фильтрации, когда уравнения наблюдения и сообщения заданы в виде «,=Н,~.»+по», г()./г((=А(!)).+п,(!). (8.1.86) Для всех значений ( апостериорная п. в, р(1, ),) является нормальной. Поскольку для !б(ы-г, ),) наблюдение отсутствует, то, положив в (61) Н=О, получим — =А(г)) (!), — =Хх(()+Ак+КА', (б((» з, !»), (8 1,87) В точках („„у=о, 1, 2,, где имеется наблюдение, нужно выразить ) ((„+0) и К((„+0) через ).((„— 0), К(г'„— 0) и г,„.
Это можно выполнить подстановкой нормальных п. в. с этими параметрами в (7.4.3) или же использованием уравнений (34), (36) прл Х„=сопя(. В результате ).(1,+0)=).(1„-0)+к(1„+о) н„ч„- ' ~~„+о„) (1„— о)1, ((»+0) К (! 0) Н. Ч» Нт или в эквивалентной форме ).()„+0)=Х(1„— 0)+К((,— 0)(Н„К(г„— 0)Н„'+Ч„) '(г„— — Н,). ((,— 0)1, к(1„+о) =к()„— о)-к()„— о) н „(н„к(1„— а) н„+ +Ч„) ' Н,К((,— 0). При цифровой реализации алгоритмов удобно использовать решение (87) на интервале (Ь г, 1„): Х(1„— 0)=Ф(1„, Г„.,)К(1„, +О), (8.1. 88) В(г„— 0)=Ф(Ь, 1„,)К(1„,+0)Ф'(1„, Ь,)+ф„.
Здесь Ф(гг, гг) -матРица пеРехода, котоРаЯ длЯ постоЯнной во времени матрицы А равна Ф (1„1г) = ехр (А (1г — 1,)); в)г, имеет тот же смысл, что и в (36): в(г,= ) Ф(Ь, т)1х)гФ'(Ь, т)Ж. Из последнего представления ясно видно сходство непрерывно- дискретной фильтрации с обычной фильтрацией в дискретном времени. При этом оптимальную оценку в.(1) для гн(1„.„1,), которая требуется по условию задачи, удобно получать по формуле )е(1)=-Ф(д г, !)).(Ь г+О), (8.1.89) которая аналогична (88).
В заключение напомним, что для принятой выше формулировки задачи линейной фильтрации (57), (59) решение (61) является оптимальным лишь при выполнении трех условий: 1) начальное значение фильтруемого процесса ). (О) = 7. фиксировано или нормально распределено; 2) все необходимые параметры, входящие в алгоритм фильтрации (61), заранее точно известны; 3) на наблюдение г,(1) и (или) сооб!цепие 7 (1) не наложены ограничения (например, типа поглощающих или отражающих границ). Методика решения задачи при ненормальном начальном распределении изложена в 9 8.2, при коррелированном гауссовском шуме и (г) — — в 9 7.6. При наличии ограничений следует пользоваться методами нелинейной фильтрации с учетом граничных условий. Что касается отклонений параметров моделей и самих моделей от принятых при синтезе„то возможны разные ситуации.
Если для принятой модели имеют место небольшие отклонения параметров от расчетных, то обычно исследуют чувствительность оптимальных алгоритмов к таким отклонениям. Когда параметры модели довольно сильно отклоняются от расчетных в пределах заданных границ, применяются робастпые методы. В отсутствие априорных сведений о параметрах и сугцественных отклонениях применяют адаптивные методы обработки наблюдений (см. гл. 13). 380 8.2. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕНОРМАЛЬНОМ НАЧАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ Сохранив прежнюю формулировку задачи фильтрации (8.1.57)„ (8.1.59), примем теперь, что априорная и. в. р „(7.0) начального значения 3.0 сообщения р.(1) ненормальная.
При этом полученный ранее алгоритм линейной фильтрации (8.1.61) будет неоптимальным. Можно лишь рассчитыва~ь на то, что такой фильтр окажется оптимальным в стационарном режиме работы„поскольку стационарное состояние устойчивых линейных систем не зависит от начальных условий. Разумеется, что для получения оптимального алгоритма можно воспользоваться методами нелинейной фильтрации и, в частности, уравнением Стратоновича.
Однако из-за сложности его реализации целесообразно рассмотреть более простые, линейные алгоритмы получения оптимальной оценки )в (1) = М гг)п ! со), где )е, = ) (1). Принципиальная возможность ~акого подхода основана на том, что в каждой конкретной реализации Р~, начальное значение Хо постоянно, но неизвестно. Его значение можно оцепить по наблюденику, и, следовательно, по существу задача сводится к фильтрации расширенного вектора (Х(1), Хо), в котором оценка последней, постоянной компоненты ) 0 уточняется в процессе наблюдения '. Представим апостериорную и.
в. Р(Ь А)=-р().,(Ц) в виде Р()сг!1о)=(Р()в. )о! ео)г(А=31Р()гг!аппо ) о)Р()о! ео)гОО (8 2 1) Апостериорную п. в. Р(ХО!г,'0) для )о можно выразить формулой Байеса: Р()ео ! ГО) Ррг(во)Р(Г о ! )го)1Р(Со) =Рр ()ео) Лг()со) (8.2.2) где Л,()ео)=рф,!) 0)(рф)-- отношение правдоподобия для Хо. Подставив (2) в (1), имеем Р () ! со) = )Рр (3 о) Лг (Ао) Р()г ! СО 30) и!)"О. (8.2.3) При таком представлении функции Л,(ХО) и р(Х, ! Р,'О, )ео) содержат всю зависимость от времени г и наблюдения Р,'; они не зависят явно от р „(3 ), отличие которой от нормальной и. в. и определяет особенность рассматриваемой задачи. Перейдем к определению функций р().г ! со, 3 о) и Л,(7.0). Применительно к линейной задаче (8.1.57), (8.1.59) апостериорная ' Вепся "г'. Е., Кого!гав 1.
Евнгпааоп апг1 Сопгго! Гог 13пеаг, Рагпа11у Оьвегяаые в~в!еров гг!!Ь поп-вапвйап 1пгаа! О!вгг!Ьп!!ОпОК!Осьав!!с Ргосеввев апг3 гЬО!г АРР1!саг!Опв.. 1983. 'г'01. 14. Р. 233 -248. 387 п. в. р(Х,~«о, )о) является нормальной Ф(т,().о), Я,), параметры которои определяются уравнениями (8.1.61): „'~ц= (г) (3')+К(г)К() — Н() (7 П=ЕА(г)— — К(г) Н (г)] т, ()о) + К(г) «(г), (8.2.4) Л(г)=1!1 (г)+А(г)я(г)+я(г)А'(г) — я(г)Н'(г)Л1 !Н(г)я(г). Начальные условия имеют вид то(Хо) = 7 р Я (0) = О.
М. о. т, зависит от ).о, а апостериорная дисперсия Я(г) от Хо не зависит. Первое уравнение (4) линейно относительно ги,(Хо). Его решение имеет вид ! т (3о) = Ф (г, 0) Хо+ ) Ф (г, т) Я(т) Н(т) Лго ! (т) «(т) г1т. (8 2.5) о Матрица перехода Ф(г, т) является решением однородного уравнения АФ(0 т))!11= ) А(г)-Я(г) Н(г) Х ! (г)Н(г)] Ф(г, т) (8.26) с начальным условием Ф(т, т) =1, где 1 — единичная матрица и х и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
