Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 69
Текст из файла (страница 69)
р„(е, Л) и р, (е, Л, О) полагаются нормальными. 7.10. ПОРОЖДАЮЩИЙ ПРОЦЕСС Пусть задан стохастический процесс г,(с), е е (О, Т). )Торо«»сдающим процессом п,(с), ен(0, т), называют такой белый гауссовский шум, по которому процесс г,(с) может быть вычислен на основании п,(с) посредством детерминированного и детерминироваепю-обратимого преобразования. Если преобразование линейно, то с (с) будет гауссовским. Основной смъкл введения порождающего процесса заключается в том, что л,(с) и г, (е) содержат одну и ту же «статистическую информацию», поскольку возможен переход в реальном времени от одного процесса к другому. При этом п,(с) является более простым процессом, чем г,(е), значения которого в разные моменты времени могут быль статистически связанными.
Использование п,(е) вместо г,(с) получило в литературе название метода порождающего процесса. При этом упрощается решение 362 (7.10.4) ряда задач. Частным примером метода являются обеляющие фильтры для гауссовских стационарных процессов. Рассмотрим характеристики процесса л,(е) применительно к задаче фильтрации случайного сообщения 1 (е) по наблю- дению с(с)=«(с, Л)+по(с), (7.10.1) где л (е) — БГШ с нулевым м. о.
и односторонней спектральной плотностью Л' . Пусть У(е) есть оценка полезного сиге»ада «(», Л) по критерию минимума среднего квадрата ошибки при наблюдении Го.. >>(е)™(«(с Л)~~') =)«(с Л)р(с Л)СЛ (7.10.2) где р(»„Л)=р(Е„Л)г1>) — апостериорная п. в., определяемая решением уравнения Стратоновича. Определим порождающий процесс соот- ношением л,(С) =Г,(Е) — «(С).
(7.10.3) Покажем, что п,(с) есть БГШ с характеристиками М (п,(с)) =О, М (п,(С>)п,(»е)) = Асей(»е — С>)»>2. Согласно (3) имеем М (л, (е)) = М (ь(с)) — М («(е)) = М («(е, Л)+ по (е)) — М ( «(с)) = =М (М («(с, Л)1Е',),),,„— М («(е)) =М («(е)) — М («(е)) =О. Представим и,(») в виде п,(е)=-е(е)+по(е), где е(с)=«(е, Л) — «(е). Тогда М (л.,(е)л,(с+т)) =М (л,(с)(е(е+т)+л„(»+т)1) = = м (п,(с)е(с+т))+м (е(»)л,(с+ т))+м (по(е)по(с+т)). Здесь первые два слагаемых в правой части равны нулю. Дей- ствителъно, пусть т>0. Имеем М (п,(е)е(с+т)) = М (М (л,(е)е(с+т))Ц" ),) сг, = =М(М(е(е+т)(Цр )>и. (»))с>=0, так как по определению «(с+т) справедливо равенство М(е(с+т))Е~о') =О.
Вынос и,(») за знак м. о. М( )Е~о'), возможен потому, что при фиксированном наблюдении Р,'о ' шум л,(с) есть известная реализация. Второе слагаемое в (5) равно нули>, т. е. е (е) и п (с+ т) некоррелированны при т > 0 вследствие того, что белый ш) м л (с+ е) не зависит от Л(с) и оценки «(с), определяемой Р,»>.' М (е(с)по(с+т)) =М ((«(С, Л) — «(С)|л„(»+т)) = = м («(е, л)) м (л, (е+ т)) — м («(с)) м (л, (с+ т и = О.
зьз Отметим, что из (6) следует ( — М (е(1)с(1+к)), т>0, Мтп (г)е(1+к)11 = 10, к<0. Таким образом, из (5) с учетом четности корреляционной функции получаем М(п (1)и,(г+т))=М (по(1)по(1+к))=Л1 8( )12 (7.10.8) т. е. шум и, (г) является белым. Доказательство того, что он ~ ауссовский, требует привлечения специального математического аппарата.' Однако путем нестрогих рассуждений можно понять, что одномерное распределение п,(1) нормальное. Шум и, (1) представляет собой сумму двух слагаемых и,(1) =с(г)+п (1), где первое слагаемое с(1) ошибки оценки к(д 7) — имеет распределение р,(е; г) с нулевым м.
о. н ограниченной дисперсией, а второе сла1аемое п,(1) нормально распределено р (и; 1) с нулевым м. о. и дисперсией, стремяшейся к бесконечности. на пРактике (в допРедельном ваРианте) диспеРсиЯ по(1) велика по сравнению с дисперсией с(1). Поскольку е(1) и ио (1+ т) пРи т > 0 некоРРелнРованны, то и. в. сУммы Р, (и,; 1) равна свертке «широкой» нормальной и, в, р (и; г) и «узкой» и. в. Р,(841): Р (По 1)=.(РО(пэ С 1)рк(Е Г)ЕС=РДП,; Г) (7.10.9) Для многомерных п. в, ситуация осложняется из-за зависимости 8(1) и по(1+т) при к<0. Поэтому приходится обращаться к совместной п. в.
Р(ио с)=Р(по~ е)Р.(е). Рассматривая Ь-мерные векторы п,=(ик(1,), ..., П(1к)), п,=(и (1,), ..., по(1„)1, а=(с(1,), ..., 8(г„)), получаем рк(п,) = )р(п,— с1с)р,(е)тЕс=р(п„/ с =О). Здесь Р,(п) выполняе~ роль Ь-мерной дельта-функции. Естественно считать, что р(п,~е=О), имеющая смысл п, в. шума п при нулевой ошибке (8=0), близка к безусловной и. в. р (п ), т. е.
Р.(" )-Ро(".) (7.10.10) Следовательно, многомерные п. в. процесса п,(1) нормальные и п,(1) есть БГШ. Укажем два обобщения полученного результата. Во-первых, резулы ат можно обобщить на случай, когда 1 (1+ т) и по (1) Рис. 7.4. К пояснению порождающего процесса »,0) зависимы, но только при т>0. Это следует из того, что при получении равенства (7) и, следовательно, (8) использовалась только независимость 7,(1) и и„()+т). Данный случай позволяет охватить некоторые системы с обратной связью, в которых текущее сообщение 7 (г) зависит от прошлых значений шума (например, при передаче коррекции ошибки ) (1)=3.(1 — Л) — Х(1 — Л), Л>0, если на передающей стороне известна оценка а(1 — т) с некоторым запаздыванием).
Во-вторых, результат (8) и метод его получения справедливы и для векторных процессов п,(1)=г(г) — в(г). В данном случае если М(по(Г)по(1+7))=Х8(т), то М (п,(г)п,'(!+т)) =)х(8(т). (7.! 0.11) Поясним теперь название «порождающего» процесса ин(г)=с(г) — Е(1). Согласно его определению нужно показать, что и, (1) позволяет вычислить г, (1) и наоборот. Преобразование е (1) — п (1) по существу задано выражением (3). Обозначим Я(1)=Ь(Ц), где Ь( ) для марковского процесса ).(1) есть интегральный опера.гор (2). Тогда преобразование ~(1)- и,(1) записывается в виде (рис.
7.4, а) п,(г)=~(г) — Ь(е) =(Š— Ь)с,. Отсюда следует обратное преобразование (рис. 7.4, б) г,(>)=п,(1)+Ь ф. При этом требуется, чтобы схема рис. 7.4, б не самовозбуждалась. Для этого необходимо. чтобы существовал оператор (Š— Ь) ', обратный оператору (Š— Ь): с(1)=(Š— Ь) 'и,(1). Это имеет место, если ряд (Š— Ь) '=Е+Ь+Ьк+...
сходится, т. е. (Ь1<1, где 1Ь) — -норма оператора (например, если Ь вЂ” матрица, то 1Ь! — наибольшее собственное число). Сходимость ряда просто доказывается для гауссовских процессов при линейном наблюдении, когда Ь ( ) — линейный оператор Вольтерра, ко~орый имеет только нулевые собственные значения'. ' Кайнатц Т. Метод порождающего процесса а применении к теории обнаружения и оценки ОТИИЭР. -1970.- Т.
58, № 5,—.С. 82 — 99. ' См. сноску на с. 364. 365 Г да в а 8. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 8.1. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛ1»НОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Приведем решение сформулированной в !) 7.1 задачи линейной фильтрации. Дискретная фильтрация, Для уяснения методики решения задачи рассмотрим сначала частный случай линейной фильтрации в дискретном времени, когда уравнения наблюдения (7.1.4) и сообщения (7.1.5) являются линейными и заданы в виде скалярных разностиых уравнений: ".г» Н»» и+ ин+но» (8.1.!) »„=-р, г».„г+пг„».(0)=».гг, ,(8.!,2) где Н,=Н(г,,), и„=гг((„) и ()„= !!(г,) — заданные функции времени; но„и гг,„- дискретные БГШ с нулевыми м. о.
и дисперсиями /7о„=А»о/2Л и 7»,„соответственно. Начальное значение».г„яв»гяется нормально распределенной сл. в. с известной априорной п. в. р„„(». ) и, в частности, является детерминированным (нормально распределенной сл. в. с м. о. ».о и нулевой дисперсией). Согласно (2) все значения»., получаются в результате линейного преобразования последовательности независимых нормально распределенных сл. в. и,„, г»=0, 1, 2, ..
Поэгому при нормальном распределении начального значения»,о сама последовательность»., будет также нормально распределенной. Случайная величина с,, согласно (1) есть сумма двух взаимно независимых нормально распределенных сл. в. Н,».„и ло„. Поэтому совокупности сл. в. г,о '=(г,о, с,, ..., г,„„' и (», „со являются совместно нормальными, По правилу умножения вероятностей имеем Р~».
— г!1о )=Р(» — г г»О )/Р(Ьо ). Известно, что условные п. в. совместно гауссовских сл. в, являю~ел нормальными. Поэтому п. в. Р(»., г!Ц ') будег нормальной. Следовательно, апостериорная и. в. на (г — 1)-м шаге является нормальной, т. е. имеет вид Р(».„г(сь ')=с, ехР( — (».„.г — Х„г)'/2/!» г), (8.1.3) где с, -- нормировочная постоянная; ».„г условное м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
