Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Так как шумы по(г) и п,(г) независимы, то Ьл» вЂ” — Ь»л — — О. Полсгавив найденные выражения коэффициентов в (5), получим др(г,л) д - ! д' — — = — — (а р(г, Ц]+- —, !! р(, Х)]+ дг дт ' 2дХ' . + — Р(г) (4(г, г) — лл(г)] — — (ка(г, 7) — Я~(г)] р(г, Х), (7.6.8) где использовано обозначение (7.3.15). Нетрудно убедиться, что это уравнение совпадает с (7.3.8). Приведем без вывода уравнение оптимальной фильтрации Стратоновича в непрерывном времени для многомерных марковских диффузионных процессов. Пусть г1(г) = (Р (г), 7.
(г)]' — (пг+!с !'-мерный марковский диффузионный процесс, удовлетворяющии стохастическому уравнению (7.6.9) бч )„(1) 1' (с Ч) п (1) где кп --размерность процесса «(1); 1с-- размерность ).(|). Векторные процессы «(1) и ).(~) имеют коэффициейты сноса +- ~ „'Ч- (С'(1, Ч))1, (7.6.10) где использовано обозначение (А3, для 1сго столбца матрицы А. Матрица С(0 Ч) выражается через матрицу б|(б Ч) коэффициентов диффузии процесса зф) (спектральных плот11остеи| белых п1умов п (г) и п (|)): О(д Ч) С'(«Ч)=Л|(9 Ч), (7.6.1 1) ~|Ч,(0 «) |Ч„ (0 Ч)) (7.6.12| ~,1чхс(1 Ч) 1чх(1 Ч)! Предполагается, что матрица |Ч (««) не зависит от ). и невырожденная. ТогДа УсловпаЯ п.
в, Р(б ))=Р().(1) ~ «о) УДовлетвоРЯет слеДУ- ющему интегродифференциальному уравнению Стратоновича: л л —.и — = — ',, — [а,(0 Ч)Р(0 ),)3+- ~ — „— 1ЯО(Д Ч)Р(0 ~))+ + (г (б ).) — Р(~)) р(6 ).). (7.6.13) Здесь а(~ Ч) = ах(1 Ч)+1'|ц(1, Ч) ~1 с — — а (6 Ч) — — 2 — —.'- — х Ч)3+ 1 ' (' ))1о| (С «)3 (7614 17 Ег Л'(Г Ч)=~1~(~ Ч) 1'1 (1 Ч) 1'1 (с «) 1ч (Л Ч) (7.6.1 5) ~( ))= 1(1 Ч)|ч ( «) — () — -' (6Ч)— ~ ~ Ч 10.
ч) н '(1, гц ~„, ',=1 ах, ' 1 б(ас(с Ч) '.. (С «1) гб) (, «)~ (7.6.1 6) -1=1 дбг Ясно, что аналитическое или численное решение уравнения (13) для многомерного случая является гораздо более сложной задачей, чем в одномерном случае (7.3.8). Зчб 7.7. ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНЪ|Х ПРОЦЕССОВ Приведем решение задачи оптимальной фильтрации для простой н модернизированной цепей Маркова и для пуассоновского процесса. 1. Фильтрация цепи Маркова. По наблюдению г (~) 0(1)+ по (1) (7.7.1) нужно выполни~ь опснмальную фильтрацию слу гайного двоичного сигнала 0(~), который в любой момент времени может принимать лишь два значения: 0(г) — -- Э,=-1 и 9(!)=Э,= — 1, причем вероятность перехода Э, -+Э за малое время Л1 равна ВЛ1 и вероятность перехода Э,— Э равна кЛ1.
Для такого сигнала априорные вероятности р, =Р 10~с~=1) и рг=р [О(1)=- — 1) определяются уравнениями типа (3.3.20): с/р1|й= — 17р 110= — рр, +тр, р, (!)+р (~)=1. (7.7.2) Введем случайную величину =(1) — м(9(г)) — — р,(с) — р,(б), где р,(г)=Р(0(с)=1 ~ «'), .р,(г)=Р(0(б)= — ! ! «~) — апостериорные вероятности. Для нее на основании (7.3.8) получим уравнение —, =2( |гр1+~Рг)+~Р1 (1) — Р(с)) Р1 +~Р (~) р(гЦ Рг г где Р,(1)= — ~ «(1) Э,.— — ЭД; ГЯ= ~ Г1(1)Р,. ~а 1 1 Учитывая, что р,=(1+г)|2, р,=.(1-с)а, (7.7,3) после неспожных преобразований получим -1 -( р) (+ц)-+(-1,)«()(1 — ). (7.7.4) Случайный процесс г(|) сам по себе является марковским.
В этом можно убедиться, записав уравнение (4) в форме Ито. При этом добавочный член равен 2 ,(к) '1)=- (1 — с-)=,,(с)= и, следовательно, уравнение (4) в форме Ито имеет вид Ыкг== ((ч — 11) — (к+0)г] г)1+(2Щ (1 — аг) ~«(б) — ") а11. Воспользуемся известным результатом (7.10.4): сл. пр, «(|)= =«(1) — с(1)=«(() — М («(~)), называемый порожда1оигилл или невлзкой в момент времени 9 является БГ|В п(1) с нулевым м.
о. и постоянной спектральной плотностью Л1 /2. Для наблюдения (1) имеем М(«(1))=М(0(1))=з, т. е. «(1)=«(г)--г(1). В результате приходим к марковскому процессу 2/" а = !к(9 — р) — (р+ 9) г| сй+(2/Ж„) (1 — а2) и(! ) г/1 с коэффициентами сноса и диффузии а=9 — 1т — (и+9)а, 6=(2!йв)(1 — г2)4. Соответствующее уравнение ФПК для плотности вероятности имеет вид = — — (((9 — Ц) — (9+0)-1Р(6 х))+ д~ дК 1а2'~ 2 о Стационарное рещение этого уравнения известно (4): Р„(а) =,, ехр Л'„" "„, 2/х (7.7.6) Для компактности записей последующих выражений введем новую перемешгую я2 равенством (! — га) ' =сЬ2(2р/2)=-(1+сЬ 42)/2.
(7.7.7) Тогда стационарная плоз.ность вероятности причет вид (6) р„(2!2)=С(!+сЬ2р) ехр — --'(р — 9)(я2+аЬ 1р) — —" (и+9) сЬ(р, (7 78) где С- — нормировочный множитель, С ' = (!+сЬя2) ехр — —" (р — 9) (я2+аЬ1р) — — ''(и+9) сЬ <р г/1р= =2К,( — ' 'Р )-~ /-К,,( — '' 2 )2 (7.7.9) К,(я) — пилиндрическая функция мнимого аргумента. Йсли в качестве оптимальной оценки принять оценку по минимуму среднего квадрата ошибки 6(1) = М (0(1)) ==(г), то дисперсия ошибки оценки Я(1)=-М((0~~) — я(1Ц') =М(0'(1))— — 2М(0~~) х(1))+М(ек(1)). Учитывая, что 0 (1)=12 М(М(0(1) г(1)! «4))», — — (г'(1)), имеем А(1)=М(! — ~(1)).
Для стационарного состбяния после перехода к новой перемейной 1р получим 348 (7,7.10) Р, =- — — ! аЬ (р ! ехр — — ' (р — 9) (1р+хЬ 1р)— с ( — ~' (р+ 9) сЬ <р йр. (7.7.12) Эта формула для симметричного случая (р=ч) упрощается: (7.7.13) 2 2 !12По/2) ГК2(12Х22/2) З-К2 (12Х2о/2)) 349 0 А„= М = 2 С ехр — — ' (р — 9) (д+ аЬ 1р)— 1з-с122р) ~ ( 4 — ' ( р+ 9) сЬ 1р 2йр = 4К, — ~12 2Л,2'ЦЧ + К2 22 2/1222 -1- К, 2 2/1222 В симметричном случае (В=я), когда моменты времени смены состояний описываются законом Пуассона, формулы (8) и (10) упрощаются.
В частности, гк,(р,у,/г) ко(я242/2)+ к2(в29222) В рассматриваемом примере можно найти вероятность оценки 0 (1) в каждый момент времени по максимуму апостериорной вероятности О" (Е)=шпак 2 (р,(1), Р (1))=вднх(1). Ошибку оценки е(1), которая может принимать два значения 0 и 1, можно определить выражением (~) = (1/4) (О (1) — 0*(1)) '. (7.7.1 1) Вероятность ошибки е(1), принимающей лишь два возможных значения 0 и 1, равна Р,=М(е(г)) =(1/4) М(М([0(1) — 0*(1)1~ ) «о\в)к' = =(1/4) М(1 — 2М(0(г) ! «ое) 02'(1)+1)«,— =(1/2) (1 — М(г(1) аапг(1)Д=(1/2) (1 — М (!г!) ).
Но ! х ) = (СЬ 19 — 1)/(СЬ 1!2+ 1). Поэтому -7 (7.7.! 6) Ре Р,5 Ш где Ьл — символ Кронеккера. Иначе говоря, в точках о=О, 1, 2, ..., вероятность перехода имеет разрыв: !нп р(!', 1„+е ! ь 1„— е) г ял, с>0. е 0 10' глч ж' кл гл' и' Рис. 7.2. Вероятность огиибочно«о приема симметричной пепи Маркова (кривая !) и летермнннрованиых бнполярныл сигналов (кривая 2) е«ех ал-! е ев г Рис. 7.3. Целочисленный пуассо- новский пронссс (7.7.14) 350 Если вместо симметричного процесса 0(1)=+1 рассматривать аналогичный процесс с двумя состояниями О(1)=+А, то вместо (13) придем к формуле 1 лехр( — !/л) 2А~(1)р) 2Е 2 2~~~~(!)д)ч-кД1)чЯ ж, Ф~ Так как средняя длительность пребывания процесса 0(1) в состояниях +А равна )г ', то величину Е=А х/)т моно!о трактовать как среднюю энергию одного элементарного «импульса», а параметр д---как отношение сигнал-пгум.
Зависимость Р, от «7 представлена на рис. 7.2 (кривая 1). Для сравнения приведена кривая 2, построенная по формуле (9.3.18), характеризующая потенциальную помехоустойчивость приема про- тивоположных детерминированных сигналов. Виден существенный проигрыш в помехоустойчивости (вероятности ошибки) симметрич- ной цепи Маркова по сравнению с биполярными детерминирован- ными сигналами. 2. Модернизированная цепь Маркова. Пусть процесс 0(1) может принимать К значений 9„..., Э, однако в отличие от обычной простой цепи Маркова 6 3.2) смена этих состояний может проис- ходить только в фиксированные моменты времени Г,=г +кТ, к=О, 1, 2, ..., разделенные постоянным интервалом времени Т. Значения дискретного процесса на разных интервалах представляют собой цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода П=(ян) и вектором начального состояния Р = (ро), «= !,К.
Такой моделью можно описывать передаваемые сигналы цифровых систем связи. Заметим, что для рассматриваемого процесса 0(1) вероятность перехода в непрерывном времени имеет вид Р(1', 1+ « ! 1, 1) =Р(0(1+т)=Э; ! О(1)=9 ) = ( 7 Ь ь 1,< 1„1+т< 1, ( .7.15) (7.7.15 Ял, 1 и 1+т лежат в соседних интеРвалах, Конкретизируем основное уравнение (7.3.8) применительно к процессу О(г) при наблюдении Г(1)= «(1, 0(1))+но(1).
(7.7.17) Выделим е — окрестности (1„— с, 1„+е) возле каждой точки раз(,- .. . щенной смены состоянии. Рассмотрим раздельно интервалы 1„— с, 1„+ к), в которых процесс О (1) может менять значения, и интервалы (1„+с, 1,,— с), «г=О, 1, 2, ..., где процесс остается постоянным. В интервале (т„+г., 1„„— с3 процесс О(1)=сопвг и Е(р(1, О)) =О. Поэтому апостериорная вероятность Р,(1)=Р(0(1)=9,-) удовлетворяет уравнению РЯ~6 -Р«()- (Жр,(1), Р(1)= — — (~(1) —.«(1 9«)1 ° Р(1)= 2 Р(1)Р«(1) (7.7.19) с «= 1 с начальным Условием Рм(1„+а)Длн полного описаниа пРоцессов нужно получить соотношение, связывающее Р,. (1„+а) и р,.
(1„— е) при е. О. Покажем, что можно пренебречь влиянием результатов наблюдения на интервале (1„— а, 1„+с) при е-+О, если имеет место информационная непрерывность (непрерывность апостернорной п. в. по интервалу наблюдения), т. е. выполняется соотношение р(1„+0)=!пп Р(1„+г„О=э,. ! Ц+')=!лп р(1„+е, е 0 с 0 0=3, ! Ц '). (7.7.20) Действительно, применяя формулу Байеса в записи Р(А ! ВС) = Р(А ! В) Р(С ! АВ)7 Р(С ! В), можем написать Р (1„+ с, О = 3, ! ~'„" ~') = Р (1„+ с, О = 3, ! Ц ', ~',";) = =р(1„+е, О=Э,.! Еь0 ')Р(Ц, '";! Ц ', 0=9,.) С(е), где С(с) = 1 1Р(е, ', '! Р' ') — нормировочный коэффициент. В нашем случае функциойал правдоподобия записывается в виде 1' Сяк С(с) р (ь',"+' ,! Ц' ', О = 3;) = С, (е) ехр «( ( Р«(т) Вт .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
