Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

~о Из первого выражения при рк=ро находим порог 1„, а второе выражение позволяет затем вычислить рр. Очевидно, что оптимальная обработка (26) эквивалентна р(1(~о))" р(1о), (6.5.28) Оо где у (х) — любая монотонная функция. В том случае, когда отношение правдоподобия !(Ц) принадлежит к экспоненциальному семейству функций, в качестве ~р(х) целесообразно взять натуральный логарифм. При этом устроиство обнаружения упрощается, Критерий Вальда. Последовательный наблюдатель.

Приведенные выше два правила решения были основаны на предположении, что объем ч+1 наблюдаемой выборки Ц фиксирован. Однако если стоимость или время, затрачиваемое на получение одного измерения, значительны, то может оказаться выгодным оставить вопрос о числе измерений открытым и считать число измерений достаточным лишь тогда, когда наблюдатель убедится в правильности одной из гипотез. Соответствующая процедура, позволяющая определить необходимое число наблюдений, была разработана Вальдом и называется последовательным наблюдателем или последовательным испытанием.

Если раньше использовали только две подобласти в пространстве наблюдения: область принятия какой-либо из гипотез и область ее отрицания, то при последовательном испытании вводится еще одна промежуточная подобласть, в которой окончательное решение не принимается, так как проделанные испытания еще не могут в достаточной с~слепи оправда1ь принятие одной из гипотез и необходимо производить дополнительные измерения.

При последовательном испытании принимается одно из трех решений: !) принять гипотезу Н,; 2) принять гипотезу Н, или 3) произвести следующее измерение. Очевидно, что на любой стадии испытания принимаемые решения будут зависегь от результатов уже выполненных измерений. Методика проведения последовательного испытания качественно состоит в следующем. На основании каких-либо 327 соображений выбираются приемлемые значения ошибок первого и второго рода и и )3. По результатач первых <с наблюдений формируется отношение правдоподобия ((со). Полученное значение сравнивается с двумя порогами а и 7<. Если 1(со) > с<, то принимается гипотеза Н, и испытание прекращается.

При ! (Ц) < б принимается решение в пользу гипотезы Но и испытание также прекращается. Если же гг < /(Ц) < а, то делается следующее (<с+ 1)-е измерение, вычисляется новое отношение правдоподобия н повторяется та же процедура сравнения с порогами. Так продолжается до тех пор, пока не будет принята одна из гипотез. Пороги и и 7г должны выбираться так, чтобы вероятность того, что 1(г„')~сс, когда справедлива гипотеза Н, была равна а, а вероятность того, что при гипотезе Н, велйчина I(~'„')<6, бьша равна (1. Определение этих постоянных представляет собой трудную математическую задачу.

Однако Вальд показал, что они подчиняются следукгщим неравенствам: а < (1 — Щг'<х, гг ) (3 г(1 — а). (6.5.29) причем для многих практических задач здесь можно брать знак равенства. Основное преимущество двухпорогов<гго последовательного решения по сравнению с однопороговылл (например, по критерию Неймана - Пирсона) заключается в том, что среднее число измерений (время наблюдения) существенно уменьшается. Для независимой выборки критерий Вальда является оптимальным в том смысле, что минимизирует средний объем выборки (среднее время наблюдения).

Однако в отдельных случаях время принятия решения может оказаться недопустимо большим. Этот недоста'ток может быть устранен модификацией алгоритма. Гл а в а 7. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ 7.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ В достаточно общем виде задачу фильтрации можно сформулировать так. Пусть непосредственному наблюдению доступны реализации сл.пр.

~(г), являющегося детерминированной функцией от полезного сигнала з(г,7 (г)), некоторой детерминированной функции н(г) и помехи л(г): с(г)=Ф(к(г,Х(с)), н(г), л(г)). (7.1.1) 328 г,(г)=з(г, ).(г))+гг,(г), (7.1.2) 329 Полезньш сигнал з(г, 7<(г)) является функцией времени г и многокомпонентного сообщения 1 (с) = (Х< (г), ..., )с„(г)), представляющего собой векторный сл.пр. Относительно располагаемых реализаций сл.

пр. г,(г) можно различать два случая: 1) сл. пр. с (г ) задан (известен) на фиксированном интервале времени (О, Т)' 2) имеется текущее наблюдение в интервале от 0 до г. Первый случай встречается в задачах разведки, научного эксперимента и дрл получив данные, мы можем потом обрабатывать их так долго, как это необходимо. Во втором случае обработка должна осуществляться по мере наблюдения ~(г). В дальнейшем будет рассматриваться преимущественно второй случай.

Предполагаются известными следующие априорные сведения о наблюдаемом процессе с(г): 1) известен конкретный вид детерминированной функции Ф( ), т. е. способ комбинирования сигнала и помехи; 2) сигнал х(г, 3.(г)) является известной детерминированной функцией аргументов г и Х; 3) известны все необходимые вероятностные характеристики случайного процесса ).(г) и помехи л(г). Априорные сведения о ).(г) и л(г) могут задаваться в разной форме: или в виде многомерных п.

в. или в виде дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями (детерминированными или случайными). Располагая этими априорными сведениями, а также доступной непосредственному наблюдению реализацией процесса г,(г) на текущем интервале времени (О, г), необходимо для каждого г сформировать апостериорную вероятность или и.

в. сообщения ) ((), позволяющую получить его оценку 2.*(г) по любому критерию. Иногда задачи решаются в более общей постановке: цри наблюдении с(г) на текущем интервале (О, г1 находится оценка Х~(г+т). Когда т=О, имеем задачу текущей филылраггии, при т ) 0 — задачу экглграгголггггисс (фильтрации с упреждением или предсказанием), а при т<0 — -задачу игггггергголзггсии (фильтрации с запаздыванием). Задача фильтрации является важнейшим разделом теории оптимального радиоприема сигналов, а также автоматического управления (теория следящих систем).

В радиотехнических применениях наблюдаемый случайный процесс с (г) часто можно трактовать как принимаемое колебание, з(г, Х(г)) — как полезный сигнал, случайный процесс «параметра 2(г) как информативное (представляю<нее) сообщение или совокупность информативного и других (сопутствующих) параметров, от которых зависит принимаемый сигнал х(г, ) (г)). Под помехой л(!) можно понимать собственный шум приемного устройства и другие помехи, воздействующие на вход приемного устройства. В дальнейшем часто рассматривается наблюдение в виде где п„(е) — БГШ с нулевым м.

о, и односторонней спек~ральной плотностью Л' . Случайное сообщение «.(Е) предполагается заданным стохастическим дифференциальным уравнением, например вида '— "=д(Е, Х)+еЕ,(Е), «(0)=«„ (7.1.3) где п„(Е) — БГШ с нулевым м. о. и односторонней спектральной плотностью АЕ„«.„— начальное значение (детермини!эоваиное или случайное). Здесь и в дальнейпЕем белые !пумы пь(Е) и п1(Е) считаются независимыми. Белый гауссовский и!ум п,(е), из которого формируется сообщение «.(Е), будем называть формирующим белым шумом, а устройство„описываемое уравнением (31,— формирующим фильтром сообщения. В зависимости от вида наблюдения (2) и уравнения сообщения (3) следует различать два класса задач фильтрации. Линейная фи,птрация, если наблюдение (2) и сообщение (3) являются линейными относительно «. и начальное значение «.ь имеет нормальное распределение. Если не ограничиваться конкретпымп уравнениями (2) и (3), то к линейной фильтрации относятся ситуации, когда двухкомпонептньш процесс (г,(е), х(е)) является гауссовским, в частности когда сигнал и помеха являются гауссовскими процессами и онн взаимодействуЕот аддитивно, Если же по крайней мере один из этих процессов негауссовский или их взаимодействие не аддитивное, задача не относится к линейной фильтрации.

ОелЕонйнах! фильтрация, если наблюдение (2) и (или) сообщение (3) содержаз нелинейные функции сообщения «., а также если в задаче линейной фильтрации начальное значение «. не является гауссовской с.в. Приня!.ое колебание !,(Е) и сообщение «.(Е) могут задаваться или обрабатываться в непрерьЕвном или дискретном времени. При этом возможны четыре варианта: 1) наблюдение г,(е) н сообщение «.(е) заданы в дискретном времени (дискретная фильтрация); 2) наблюдение Р,(е) и сообщение «.(е) заланы в непрерывном времени (непрерывная или аналоговая фильтрация); 3) г,(е) задано в дискретном времени, а «,(е) — в непрерывном (непрерывно-дискретная фильтрация); 4) с(е) залано в непрерывном времени, а «.(е) — в дискретном (дискретно-непрерывная фильтрация).

Если за исходные принять уравнения (2) и (3) в непрерывном времени, то может возникнуть задача перехода в них к дискретному времени. Применительно к колебанию вида (2), в которое полезный сигнал и и!ум входят аддитпвно, возможный и сравнительно простой метод перехода к дискретному времени описан 33О на с.

304, а методика перехода к дискретному времени в аналоговом стохастическом дифференциальном уравнении изложена в ~ 3.10. В дискретном времени (вариант 1) будем считать заданными уравнения наблюдения и сообщения в виде 1 х(Еч «"ч)+ееьи (7.1.4) «.,=я(Е„, «.„!)+и „ (7,1.5) где пв„и 脄— независимые дискретные белые гауссовские шумы.

Для вариантов 3 и 4 берутся соответствующие комбинации из уравнений (2), (3) и (4), (5). Уравнения (2) и (3) относятся к частному случаю, когда наблюдения и сообщения только скалярные. В более общей форме априорные сведения о наблюдениях и сообщениях задаются векторными уравнениями Р(Е)=в(Е, «.(Е))+п,(Е), (7.1.6) — =я(е, «.)+п,(е).

Характеристики

Список файлов книги