Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 63
Текст из файла (страница 63)
(7,1.7) здесь г, — вектор-столбец наблюдений размерности еп; в (е, «.) — сигнал, являющийся векторной функцией-столбцом размерности т, непрерывной по всем аргументам; пь(Е) — вектор-столбец гауссовских белых шумов размерности т, имеющих нулевые м.о, и матричную корреляционную функцию М (пв(е!) по(ег)) =1х!ьб(е2 — Р!). (7.1.8) Матрица !х!ь является симметричной, ее элементами являются двусторонние спектральные плотности соответствующих компонент (включая взаимные спектральные плотности).
Аналогичный смысл имеют величины, фигурирующие в уравнении (7): «.— вектор-столбец размерности и; п(е, «.) — -векторная функция- столбец размерности и, непрерывная по всем аргументам; п,(е) — -вектор-столбец белых шумов сообщения размерности п с нулевым м. о. и матричной корреляционной функцией М (п~ (е ) п1 (ез)) = 1х!х (е «) б (ег е ).
(7.1.9) При дискретном наблюдении аналогами уравнений (6) и (7) будут разностные векторные уравнения ~~=я(Е„, « „)+вь.„ (7.!.1 О) «.„= я (е„«.„,)+ и„„. (7.!.1 1) Здесь пь, и 脄— последовательности векторных случайных велпчин, имеющих нулевые м. о, и матрицы корреляционных функций Ъ„и 3(е, соответственно. Необходимосгь рассмотрения задач многомерной фильтрации возникает в тех часто встречающихся практических ситуациях, когда имеется несколько каналов наблюдения и (или) сообщение 33! где па(!)- БГШ с нулевым м.
о. и односторонней спектральной плошостью Л' . Случайное сообщение Х(!) предполагается заданным стохастическим дифференциальным уравнением, например вида -! — = — Я1, Х)+л,(!), ЦО) =Хе, (7,1.3) где л,(!)- — БГШ с нулевым м, о, и олносторонцей спектралыюй плотностью Л',; Хе — начальное значение (детерминированное или случайное). Здесь и в дальнейшем белые шумы по(!) и п„(г) считаются независимыми. Белый гауссовский шум и,(!), нз которого формируется сообщение 7.(!), будем пазглвать формирующим белым шумом, а устройство, описываемое уравнением (3),— - формирующим фильтром сообщения.
В зависимости от вида наблюдения (2) и уравнения сообщения (3) следует различать два класса задач фильтрации. Липей!лая !рпптрация, если наблюдение (2) и сообщение (3) являются линейными относительно г. и начальное значение имеет нормальное распределение, Если не ограничиваться конкретнымп уравнениями (21 и (3), то к линейной филь. грации относятся ситуации, когда двухкомпонептный процесс (Ц(!), Х(г)) является гауссовским, в частности когда сипгал и помеха являются гауссовскими процессами и опи взаимодействугот аддитивно. Если же по крайней мере олин нз этих процессов негауссовский или их взаимодействие не аддитивное, задача це относится к линейной фильтрации.
Нелинейная фильтрация, если наблюдение (2) и (или) сообщение (3) содержаз нелинейные функции сообщения 7., а также если в задаче линейной фильтрации начальное значение Х не является гауссовской с.в. Принятое колебание «(!) и сообщение Х(г) могут задаваться или обрабатываться в непрерывном или дискретном времени. При этом возможны четыре варианта: 1) наблюдение г,(!) и сообщение 7.(!) заданы в дискретном времени (дискретная фильтрация)! 2) наблюдение г,(!) и сообщение Х(г) заданы в непрерывном времени (непрерывная или аналоговая фильтрация): 3) г,(!) задано в дискретном времени, а Х(г) — -в непрерывном (непрерывно-дискретная фильтрация); 4) с(г) задано в непрерывном времени, а Х(!) --в дискретном (дискретно-непрерывная фильтрация). Если за исходные принять уравнения (2) и (3) в непрерывном времени, то может возникнуть задача перехода в них к дискретному врсмени. Применительно к колебанию вида (2), в которое полезный сигнал и шум входят аддитявно, возможный и сравнительно простой метод перехода к дискретному времени описан ЗЗО на с.
304, а методика перехода к дискретному времени в аналоговом стохастическом дифференциальном уравнении изложена в 5 3.10. В дискретном времени (вариант !) будем считать заданными уравнения наблюдения и сообщения в виде г,„=к(г„Х„)+л „, (7.1.4) З.,=у(г„2., г)+и,„, (7.1.5) где пе„и л,„— независимые дискретные белыс гауссовские шумы. Для вариантов 3 и 4 берутся соответствующие комбинации из уравнений (2), (3) и (4), (5). Уравнения (2) и (3) относятся к частному случаю, когда наблюдения и сообщения только скалярные.
В более общей форме априорные сведения о наблюдениях и сообщениях задаются векторными уравнениями Ц!) =я(Б Л(г))+п,(г), (7.!.6) — =й(д !.)+пг(г). (7.1.7) Здесь Е, — вектор-столбец наблюдений размерности т; я(0 З.) — сигнал, являющийся векторной функцией-столбцом размерности т, непрерывной по всем аргументам; и (г) — вектор-столбец гауссовских белых шумов размерности >и, имеющих нулевые м.о. и матричную корреляционную функцию М (по(гг) по(гг)) =!х(об(гг гг).
(7.1.8) Матрица Х является симметричной, ее элементами являются двусторонние спектральные плотности соответствующих компонент (включая взаимные спектральные плотности). Аналогичный смысл имеют величины, фигурирующие в уравнении (7): ~.— вектор-столбец размерности п; я(0 Х) — векторная фупкциястолбец размерности п, непрерывная по всем аргументам; п„(г) — вектор-столбец белых шумов сообщения размерное~и п с нулевым м.
о. и матричной корреляционной функцией М (п„(г,) и',(!г)) =!4,(0 Х) б(г, — 1,). (7.1.9) При дискретном наблюдении аналогами уравнений (б) и (7) будут разностные векторные уравнения г,„ = я (г„, З..) + и „ (7. 1. 10) ~",=я(г,. «» — г)+ "1 (7.1.1 !) Здесь по, и пг„— последовательности векторных случайных неличин, имеющих нулевые м. о.
и матрицы корреляционных функций Ъ „ и ф„ соответственно. Необходимость рассмотрения задач многомерной фильтрации возникает в тех часто встречающихся практических ситуациях, когда имеется несколько каналов наблюдения и (или) сообщение ЗЗ! является векторным или многокомпонентным, описываемым не одним, а системой стохастических дифференциальных уравнений. В качестве конкретных примеров можно привести пространственную (многоканальную) обработку сигналов, совместную обработку результатов измерения одной и той же величины несколькими измерителями (например, определение высоты полета летательного аппарата с помощью радиовысотомера и барометрического высотомера, определение координат с помощью радиотехнической системы и инерциальной системы), совместную оценку координат, скорости и ускорения летательного аппарата и др.
Первые основополагающие результаты по теории линейной фильтрации в дискретном времени принадлежат советскому ученому А. Н. Колмогорову (1939 г.), а в непрерывном времени —— американскому ученому Н. Винеру (1942 г.). Законченные результаты по теории линейной фильтрации гауссовских процессов в дискретном и непрерывном времени получили американские ученые Р. Е. Калмап и Р. С.
Бьюси (1960, 1961 гг.). Фундаментальные результаты по теории нелинейной фильтрации принадлежат советскому ученому Р. Л. Стратоновичу, который разработал теорию нелинейной фильтрации марковских сл.пр. (6)'. Изложим общую методику решения задачи фильтрации в четырех указанных вар!лаптах, начав с первого (уравнения наблюдения н сообщения заданы в дискретном времени) [6,7)'. 7.2, ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Исходной для решения задач линейной и нелинейной фильтрации сообщений является формула Байеса.
Запишем один из вариантов этой формулы применительно к уравнениям (7.1.4) и (7.1.5). Допустим, что апостериорная п. в. р(Х„г (Ра ') для момента времени 7,, найдена. Здесь Рп ' обозначает последовательность наблюдений Рп, 5з, „,, с„г для моментов времени 1, гм ..., 1,, Найдем апостериорную п. в. р(3.,( га) для сугедУюп1его момента вРемени пп Вычисленное затем по фоРмУле 1,=) З.,р(7.„! ~„) 77., = М (7., ! Р,",) (7.2.!) условное (апостериорное) м. о. определит алгоритм формирования оценки З.„оптимальной по критерию минимума среднеквадратической ошибки, а апостериорная дисперсия ' Парван работа опубликована в 1959 г. -' завзг!пай! А. П. Бгос1газ11с Ргасеззез апг! Рйгеппй Тйеогу..-- !ЧХ.: Асадвппс !'гсзз, 1970.— 376 р.
Снайпер Д. Л. Метол уравнений состояния лля непрерывной опенки а применении к георни связи. Пер. с ан~л.7Погг рел. В. Б. Силина. - Мз Энергия, 1973. 103 г. Ярлыков М. С. Применение марковской ттнрии нелинейной изильтраггии в раливтахнике.— Мз Сов. ралио, !980." 358 с. Я„=((3.,-3.,)'Р(3.,!Ц) 17.т †точнос полученной оценки. На основании правила умножения вероятностей для условной и. в. р(3, с„1сп ') можем записать выражение р (Х,„~,. ! Ц г) = Р (3., ) Ра г) р (г,, ) Ц ', 7.„) = =Р(5 !у' ')р(3,1ув ' 1) (7.2.3) Поскольку в (7.1.4) сигнал г(Б, 3.,) является детерминированной функцией аргументов и и „, тг=О, 1, 2, ...,— последовательность независимых с. в., то величина с„при фиксированном З.г зависит только от пп„и не зависит от предыдущих значений дискретного шума. Поэтому р(ск !1о — 3 ) р(1 !7 ) (7.2.41 Учитывая.
что совокупность с. в. (гп ' '. ~0) есть просто сп„ можем написать (7.2.2) = ( Р(7.-Г!Рв ')р(7,,!Рп ',Зт-з)013.,-Г ЗЗЗ уз(7„! 1о 1 ) — уг(3. ! 1о) (7.2.5) Из выражения (3) с учетом равенств (4) и (5) получаем ггужный вариант формулы Байеса: Р(3,!1')=р(З.,!1: ')р(1,~7.,)!Р(1,~1' ') (7.2.6) Значения сообщения Х в р(~„)Ро ') не входят, и поэтому сомножитель 77 (г„)Р~ ') можно учесть в апостериориой п. в. с помощью нормировочной постоянной с: (7.
~1о) ср(3 !1о- )р(1 !З.т) 17.2.7) Условная п. в, р(г„(Х„) в правой части этой формулы представляет собой текущее значение функции правдоподобия; опа находится из уравнения наблюдения. Для этого применительно к (7.!.4) в нормальной и, в. р(пп„) нужно перейти к новой переменной г,„=у(1„, Х,)+па„. Условную плотность вероятности 77(~ !1„й ') — п.в. экстраполированного значения Х, в отсутствие отсчета наблюдения Р„можно вычислить по формуле р(3.,!10-')= ) р(3, !110.-')р(7.„!3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
