Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Ь-г 351 При е- 0 имеем !!т ехр( )=1 и из условия нормировки к о йш С',(е)=- !. То~да из соотношения (2!) следует -о !ип р(»„+с, О=Э,[8,'+')= !ип р(»„+е, О=Э,[Ц '), :о хо что и доказывает справедливость равенства (20). Тепсрь нужно связать р(»„+е, О=Э»[Ц '), которая по смыслу являсгся экстраполированной в точку»,+с вероятностью, с текущей ,шосюриорной вероятностью р»(»„— е)=р(»„— с, О=Э»[Ц ') при а О. Для вероятности р(»„+е, О=Э, ! Ц "') с учетом (16) и всех возможных переходов в состояние Э, из разных состояний Э», »'=1, К, имеем к 1лп р (»„+ е, 0 = Э; ! Ц ') = !ип ~' я „.р (», — е, 0 = Э [ Ц ') = к-о .-о»=» =- ~ я„1ип р(»,— е, О=Э,[Ц '). е о Учитывая (20)„окончательно получаем к »7; (»,, + О) = ~ »7. (» — 0)»хл. (7.7.22) »=» Уравнения (18) и (22) дают полное решение задачи ф»лльтрации дискретного процесса О(»). На их основе в 8 9.4 будет решена задача различения двух зависимых сигналов, описываемых цепью Маркова. 3.
Фильтрация интенсивности пуассоновсного процесса. Из возможных разя»лчных формулировок задач фильтрации, связанных с целочисленным иуассоновским процессом Л»(») и его обобщениями [4), рассмотрим простейшую. Пусть параметр интенсивности пуассоновского процесса зависит от времени, является марковским процессом с априорным уравнением »»р(», ).)!»»»=Е (р(», Х)»! (7.7.23) и подле7кнз фильтрации по наблюдению процесса Л»(»). Особе»»»»ост ь залачи состоит в том, что из-за отсутствия алдитивного БГШ нужно по-своему вычислять функционал гравдоиодобия.
Обозначим точки, в которых процесс Л»(») имеет положительные скачки, через»„»...., »,, ... (рис. 7.3). Разобьем временную ось на достаточно малые интервалы времени длиной Л, содержащие не более одного скачка. На основ иши определяющих свойств пуассоиовского процесса для функционала правдоподобия имеем 352 р(Л»['-'! 7,) = ~ (1 — )Л+о(Л) при Л»(»+Л) — Л»(»)=0, (7.7. 24) [).Л+ ~(Л) при Х( + Л) — К(») = 1. Первое из этих равенств справедливо для всех интервалов Л, пе содержащих скачков, т. е. для всех»н(»„, »,„,), 1=1, 2, 3, ..., а второе — для интервалов, содержащих по одному скачку. Интервалы последнего типа устремим к нулю так, чтобы они все время содержали скачки, а оставшиеся пусть стремятся к нулю произвольным образом.
Учтем, что в уравнение фильтрации (7.3.8) ну7кно подставлять Г(», Х)= 1пп Л ' !пр(Л»,"~[1)= 1пп Л '!п(1 — )Л)= л о л-о = !пи Л '( — ХЛ)= — Х, »н(»„, »„„). л-о В результате получим др(», х)/да=А(р(», Х))+().— Цр(», Х), »е(»„, »„,). (7725) В точках» по формуле Байеса с учетом (24) имеем р(»„+О, ~)=-~(») р(»,— О, 7) р,'»у(»+0)=р»(» — 0)+ + ! [),) =6(») р(»,-0, )))Л или р(»„+О, Х)=Хр(»„— О, Х)ф(»„— 0).
(7.7.26) Уравнения (25) и (26) в принципе дают решение задачи. Отметим, что из методики их получения следует, что если параметр интенсивности наблюдаемого пуассоновского процесса Л»(») имеет внд » = » (», 14(»)), где !л — марковский процесс с априорным уравнением »»р(», Я~»»»=7 „( р(», 14)), (7.7.27) то уравнения оптимальной фильтрации для процесса !2(») имеют вид г»р(», И)7»»=7.„(Р(», П))+Р~(.у'(» !4))— .» (» 14)1Р (»~ 1л)~ »н(»ы»лл») (7.7.28) р(»„+О, (к)=»(», »л) р(»,— О, Я7»»[(», 14)р(»,— О, 1»)»7»!Л. (7 7 29) Процедура получения оптимальной оценки в соответствии с (25) и (26) оказывается довольно трудоемкой и сложной. Она включает выполнение следующих этапов: 1) приняв р „(О, Х) за р(» +О, Х), вычисляем оценку Х(»,— 0); 2) по формуле (26) р(», — О, Х) пересчитываем в р(»,+О, )); 3) используя р(», +О, Х) в качестве начальной для апостериорной п.
в., заданной уравнением (25), определяем р(»,— О, Х) и соответственно Ц»2 — 0). ! 2 — 2247 4) повторяя эту процедуру й раз, получаем выражение апостери- орной и. в, в любой момент времени. Такой путь крайне трудоемкий, и его реализация в аналитической форме возможна только в самых простых случаях (например, когда 3. есть случайная величина). В других случаях нужно применять приближенные методы решения. Рассмотрим указанный случай, когда 7.
(1) = 3. есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале [О, Л]. Поскольку ).=сопз1, то Е,(р(0 х))ьлО и уравнение (25) имеет решение !. ! Р(!, !)=р(!!0. !) *Р !(1( ) Ш вЂ” Е(! — !)), !„0„. (7730) Подставив сюда (26), имеем !.
! р(!, !)=р(!,— а !) р!(1()! — !(!-,)), .-(„о) 1„<1<! (7.7.31) Так как в интервалах [1„,, 1а] и [1ы й„] эволюция апостериорной и. в. описывается одним и тем же уравнением (25), то согласно (30) можем написать р(, -с, !) = р(, , ~ ю, !.) ( ( 1 а) !* -! (ь,-ь ,)). Подставив это выражение в (30), получим ! р(0 а)=р(1„, +О, ),) ехр ]' 7.(т) сй — 3.(1 — 1„!)1 х ! 3,-(„о) Продолжая последовательно указанную выше процедуру и по- лагая 1 =О, в итоге придем к гамма-распределению р(0 Х)=1[(3.1)"!'л!]е "'.
(7.7.32) Пользуясь этой формулой, находим оценку по минимуму среднего квадрата ошибки и ее дисперсию: Х(1)= )р(0 3)(73.= — —, К(! )= ).хр(0 Х)Л.— 3. =, . (7.7.33) о о Оценка по максимуму апостериорной п. в. и дисперсия ошибки равны 3.„,„(1) =-7 ) 0 Я„,„(1) =(1+2)!!'. (7.7.34) Можно убедиться, что алгоритмы (25), (2б) остаются в силе, если требуется фильтровать 3.(1) по наблюдению пуассоповского процесса Л)(1) на фоне БГШ: 354 с (1) = ~ 8 (1 - 1а) + по (1 ) что эквивалентно наблюдению процесса Р(1)=Л1(1)+п(1), где п(1) — винеро вский процесс.
Это объясняется тем, что изменения процесса Л1(1) однозначно снязаны со скачками Р,(1). 7.8. ФИЛЬТРАЦИЯ ДИСКРЕТНО- НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ В формализованной постановке задача сводится к совместной фильтрации дискретного 0(1) и непрерывного векторного 7 (1) процессов, от которых зависит полезный сигнал 3(0 0(1),3.(1)) по наблюдению Р,(1) в к(0 0(1),3.(1))+п,(1). (7.8.1) В дальнейшем процессы О(1) и 3.(1) предполагаются марковскими и независимыми.
Априорное задание дискретного процесса 0 (1) примем таким же, как и в (7.7.15): он представляет собои модернизированную однородную цепь Маркова с заданной матрицей вероятностей перехода П=(пп), 1,7'=1, /с, причем смена значений допускается только в фиксированные моменты времени 1„=1о+пТ, 3) = О, 1, 2, ..., разделенные постоянным интервалом времени Т. Непрерывнозпачный процесс х(1) считается марковским диффузион- ным; априорные сведения о нем заданы известным уравнением ФПК (3.7.2): — р(3., 1) = — ,") — [ал(3., 1) р(3., 1)]+ +-' ,') ' [бп„()„1)р(3., 1)]=~.(р(), 1)).
(7.8.2) а. =! На практике такая формулировка задачи возникает при об- наружении сигнала или различении сигналов одновременно с оценкой неизвестных параметров полезных сигналов, Изложим решение задачи'. При постоянном значении дискрет- ного параметра 0(1)=9! апостериорная п. в. р)(О л)=р(О 9,, )) опре- деляется уравнением Стратоновича (7.3.8): д (7.8.3) к где Р;(б А)= — Л(о '[с(1) — л(0 9(, Х)]'; Р(1)= , ') Г(О Цр,.(О 3)40.
! 1х ' ТВХОВОВ В. И., СМВрнпа В. Хп ХарИСОВ В. Н. ОнтНМаЛЬНаа фНЛЬтралпв ДИСК- ратно-непрерывных пропсссовО Радиотехника н злсктроннка.— 1978.— Т, 23, )4! 7.— С. 1441 — 1452. 355 Правило «пересчета» п. в. р,.(1, Х) в точках !„возможной смены значений дискретного параметра О(!) было установлено ранее и дается формулой (7.7.22): р,.(г„+О, ).)= 2 плр,(!„— О, х). (7.8.4) 3=1 Уравнения (3), (4) дают принципиальное решение задачи фильтрации смешанных, дискретно-непрерывных процессов, так как они опрелеляют алгоритм последовательно! о вычисления совместной апостериорной п. в.
Укажем лва возможных обобщения уравнений (3) и (4). Во-первых, при получении этих уравнений предполагалось, что моменты времени <„„к = О, 1, 2, ..., возможной смены значений дискретного параметра известны. На практике как правило, эти моменты времени известны не точно, т. е, 1„= 1„+ Т+т(!), где т(1)--- случайное запаздывание сигнала. Если включить запаздывание т в вектор случайных параметров ), то в более общем виде можно записать !„= <„()). При этом полученные результаты останутся справедливыми, если при выводе во всех уравнениях иметь в виду, что <„ является функцией непрерывных параметров 1.
Во-вторых, уравнения (3), (4) легко обобщаются на случай, когда сигнал принимается на фоне диффузионной помехи <,(О х) и белого шума и (~). Если включить параметры помехи х в вектор "х и понймать Г,.(0 7)= — 7<7о ' ~Р(Г) — х(0 Э„Х) — ~(0 7))1, ю для апостериорной п. в. будут также справедливы уравнения (3), (4). Можно показать (7), что вероятность ошибки оценки дискретного параметра О(!) на к-м тактовом интервале минимальна, если вычислить апостериорные вероятности р,(1)=(р!(1, )) <1О (7.8.5) состояний 9,. и выбрать в качестве оценки 0(ч) то значение Э дискретного параметра, !щя которого апостернорная вероятность р,(1„1 — О) в конце к-го интервала максимальна.
Математически такой алгоритм оценки дискретного параметра можно записать (7.8.6) 0(к)=шах ' (р!(!...— О), т. е. О(к) равен тому значению Э<, для которого р,(<„< 1 — О) максимальна. Уравнения (3), (4) с учетом (5) и (б) дают решение задачи оптимальной фильтрации дискретного параметра 0(1). Однако 356 — р(0 ).)=А (р(0 Х))+(Г(0 ).) — Г(<)3 р(0 )), где к Г(К 7.) = ~ Г<(0 7.) р (О 9, ~ ).). <=1 Для нахождения условной апостериорной вероятности р(0 Э,.! Х) нужно в (3) подставить (7) н (9). Получим --' р (О Э $ х) = р (1, 9, $ )~) (Г(0 7) — Г(0 )Ц+ + — '(~. (р(0 7.) р(0 9, 1).))-р(0 Э, ~).) Е(р(0 ~)) ), 1 ~ (г„, !„ „ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
