Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В частности, уравнения фильтрации в непрерывном времени имеют вид дЛ/асс=а(с) — аЛмй(г) !с,(г) — Ч, й(г)=2/у(г)/д/„, (8.1.25) с/Я/г/с = 2аВс — 2аУУ вЂ” (2/Дсо ) /У ~. (8 1.26) Выше указывшюсь, что для упрощения реализации фильтра часто в оптимальном фильтре переменный коэффициент усиления /с(с) заменяют постоянным, равным его стационарному значению /со=2Аи/Л'о=а( /1-!-,у-1).
При этом ясно, что оптимальный !нестационарный) фильтр и квазиоптимальный (фильтр с постоянными параметрами) в стационарном режиме именгт одинаковые характеристики и замена /с(с) на йи оказывает влияние на качество переходного процесса. Для количественного сравнения нужно в дополнение к (21) получить выраженно дисперсии фильтрапии на выходе квазиоптимального фильтра. Введем обозначение е!г)=Л(!) — Л(!), вычтем из уравнения сообщения (24) уравнение (25) для оценки, подставив в него выражение для Ь,(с) из (24). Тогда придем к линейному дифференциальному уравнению да/дг= — (а +/с„,)а+(пг Я вЂ” йово(г)гу Учитывая, что слагаемое в правой части в квадратных скобках есть белый шум с корреляционной функцией (/нг/2+/с(гуо/2)Ь(т), находим дисперсию опгибки фильтрации в зависимости от безразмерного времени х„/2 ! Лгу /2 В, (г) = Р (т) = Вг ех р ! — 2 ( ! -Ь /си/а) т1+ — "- — — (1 — ехр ( — 2 (! -Ь /с„/а/т)) .
2а (1 м /си/а) (8.1.27) Подставив эти выражения, лля относительной ошибки фильтрапин на выходе квазиоптимального фильтра с учетом !23) получим формулу Ь,(т)=В,(т)/В,=Ь(0)ехр( — 2ть/! т9)+Ь„(1 — ехр( — 2г.,/1-! 9Ц, Ь(0)=Рг,/Р,. (8.1.28) Отсюда видно, что в стационарном сосгоянии (т со)Ь,(ю)=Ьп.
Результаты вычислений по формуле !28) приведены на рис. 8.2 (пприховые кривые). Видно, что при одинаковых других параметрах длительность процесса установления в квазиоптимальном фильтре больше, чем в оптимальном, причем это различие возрастает с увеличением отношения сигнал-шум, хотя разность между нременами установления слабо зависит от отношения сигнал-шум. В случае необходимости переходный пропесс при включении квазиоптимального фильтра можно сохранитсь изменяя значение коэффициента усиления /с по программе. Квазиоптимальньсй фильтр оказывается более чувствительным к дисперсии начального значения Вг,.
Если коэффициент усиления й в квазиоптнмальном фильтре выбран отличным от /си, то дисперсия фильтрации возрастает. На основании формулы (27), в которой йо заменено на й, нетрудно показать, что в этом случае прн Рг„=0 дисперсия ошибки равна Она состоит из суммы двух составляющих; дисперсии В'„(т) дигсамической осиибки (получаемой при по(с)=0) и дисперсии Вг(т) йулюктуаяиопппй сосгггпоггяюи/ей !получаемой при п,(с)=-0). Относительная ошибка фильтрации в стационарном состоянии определяется выражением гуг-гйгу, а+но(! 49/2 —,/~ +9) 4 Вг(!+й/а) „(! „.н( /!+, ) где Вл 1 Рг 2нг(!.! д/2 гг/! +с/) и-В -! (,Т вЂ” 1) "- — (! ( ! — Ц Ошибка Ь,', имеет минимум при и=1. Заниженные значения /с по сравнению с /сп более существенно влияют на дисперсию фильтрации (рнс.
8.3), чем значения /сжйп На рисунке штриховыми линиями показаны графики относительных дисперсий динамической Ь',и и флюктуационной Ьги ошибок фильтрации для 9=10. Сравним дисперсии ошибок оптимальной фильтрации в непрерывном и дискретном времени. Применительно к нашему примеру выражение для относительной ошибки дискретной фильтрации согласно (9) приводится к виду бс — вь .в =а,аа аа ---вю ав аг аа аа га асс аа аз— а,г ' а а! аг ад аа ад Аа аг аа аг г аа« ас а,у ав а*!а аг аут) аа ( а,5 асс аз аг ' а а! аг ад аа аа ва аг аа ба ! ка , соааа «л а! «л.а'г Рис.
8.4. Зависимость относительной дисперсии ошибки фильтрации от шага дискретизации по времени Ь„, «-(е~ '-1) (ив! !! „Р (8.!.30) Р; Рс(пс.+()х-сЯ с«-Рс„) ссС)(4!2)(б„с+Ех'х — 1)+ехм или для малых «Л«<1 ь„=(б„, + 2«с))/[1+ 2по (1 «- б„, а)4)1, (бл.з!) Стационарное значение Ь„можно получить из (3!), положив Ь„=Ь„, =Ь„" и решив полученное квадратное уравнение относительно Ь„". Получим б,",=Ьв, где би определено выражением (23), На рис. 8.4 для 4=2, 10 и 30 приведены значения Ь(т) и б„, рассчитанные по формуле (30), а также б(с) при трех шагах дискретизации по времени «А= 0,05; 0,1 и 0,2.
Приведем без вывода основные результаты для многомерной линейной фильтрации. На практическую необходимость рассмотрения таких задач указывалось на с. 331. В методическом плане получение соответствующих алгоритмов ничем не отличается от проделанного выше вывода для скалярного случая. При записи условных многомерных нормальных и, в., которые фигурируют в уравнениях линейной фильтрации, следует воспользоваться формулами (1.4.21) и (1.4.22), а для м.
о. и корреляционной матрицы многомерной нормальной п. в., получаемой в результате перемножения двух нормальных и, в.,— формулой (1.4.24). Многомерная дискретная фильтрация. Пусть уравнения наблюдения и сообщения являются частными случаями уравнений (7.1.10) и (7.1.11): г,„= Н,Х„+ и„+ по„, (8.1.32) ).,=А„!) „!+их„. (8.1.33) Здесь ̈́— (т х и)-матрица; А — (и х и)-матрица; и„— т-вектор; по„и п,„— последовательности взаимно независимых векторных ВГШ с нулевыми м.
о. и корреляционными матрицами Ъ„и ф„ размера т х т и и х и соответственно. 374 Уравнение для вектора оценок в этом случае имеет вид ) „=А„,) „с+К,(~„— п„— Н„А„,) „!), (8.1.34) где к„=к„н'„у, '. (8.1.35) Корреляционная матрица ошибок удовлетворяет рекуррентному уравнению К„!=[А„сК„сА„с+с(с„1 с+Н'„т"„сн,. (8.1.36) Основная трудность при реализации алгоритма (34), (36) связана с большим объемом вычислений, требуемым для обращения матрицы в (36). Даже при использовании наиболее эффективных из известных методов при обращении матрицы размера и хи требуется порядка из операций умножения. В приложениях часто встречается случай, когда число каналов наблюдения т меньше размерности вектора сообщения и.
Для этого случая более простой является модификация алгоритма (36), основанная на использовании следующей леммы об обращении матрип. Пусть К, 1Ч и Н вЂ” матрицы размера и х и, т х т и т х и соответственно, причем К и Х положительно определены. Тогда справедливо тождество (К-'+Н )з)-ся)-с=К вЂ” КН (НКН +)ч()-'НК. Обращение обеих частей равенства (36) и применение к правой части леммы обращения матриц дает к„=й„-к,н„(н„й„н +у„)-'н„й„, где Й„=р„'сК„,А„, +с(с„. В выражении (37) теперь фигурирует операция обращения матрицы лишь размера тхт, При одноканальном приеме (т=1) операция обращения матрицы вообще отсутствует.
Для получения формы алгоритма, требующего минимум вычислений, в выражении (35) для коэффициентов усиления К„ используем соотношение (37): к„=к„н„у„-! =Й„н„у„-с-й„н„(н„й„н„+у„)-сн„й„н„у„-с= =й„н„(н„й„н„+у„)-! ~(н,к„н„+у„)у„-'-н„й„н„у„-с~= =Й„Н„'(Н„Й,Н„'+У„) ', (8.1.38) где учтено, что выражение в квадратных скобках есть единичная матрица 1. После подстановки выражения (38) в (37) получаем итоговый алгоритм линейной фильтрации в следующем виде: 375 Ой!.4!! г = 4 227 о!)791Ь1, .1 =- Л 9ггзо / 27ог 1-1-4)(гз)2 )"2 1.1-1682)(гз)2 ) !ч-4аг(гз)~) 14 (8((гзг)2)(14.)3 7' ) (8 1 41) Х„= — 2, иг) г-гугг,-г 2, (З,л„.
-1 =1 !8.!.43! 7., =-Аэ., гэ-пг,, «,=-НХ, Ьпо, гдс л= ", А= . Н== (8 1.40) (8. 1.44) Л=(аг...а„, (1, ... (3„,3. (8 1.45) Так как он постоянен во врсмсни, то (8.!.Огбг) Лом =Л,. Из (43) получаем модель наблюдения (8.1.47! 377 376 ).„=-АО !)., г+К,(сΠ— и„— Н„А,,А, !), В„=(( — К,Н„) Й,„ Й„=А„' гй„. ГА„!+ФО, К„=-ЙОН„(Н„В„Н„+Ч„) - !.
При многомерной линейной фильтрации как в дискретном, так и в непрерывном времени аналитические результаты для корреляционной матрицы ошибок фильтрации К(Г) и матричного коэффициента усиления К(1) получают довольно сложным и громоздким математическим путем, и поэтому обычно их рассчнгывают с помощью ЗВМ. При аналитическом решении часто ограничиваются получением стационарных значений К„и Ки.
При этом матричное разностное или дифференциальное уравнение для К„ переходит в алгебраическое уравнение и задача сводится к решению системы ал! ебраических уравнений. Таким путем в литературе были получены выражения для К„и Ки при числе каналов приема и < 2 и размерности вектора сообгцения ьч ( 3 для случая, когда векторные коэффициент.ы А, Н, У и ф постоянны (не зависят от времени). Примср 8.1.2.
Комплсксированис измерителей. Рассмотрим простейший пример комплсксировання двух измсритслси: измсритсля координаты лг(г) движущегося объскта н пзмсритсля ого скорости 12(г)=10., (г))нг, считая залапнымн уравнсния лл (л213 АПП 2(1=-84 ггпл„п'1„1= — Л ~ ~ Л72 ! ! Ро г 0 Лгог гугг2 Ч=-йч 'и, п'„' =- 2Л 27 = —, ГЭ 2=- —. 02 В данном случас первое уравнснис (40) задает модель динамики движсния объекта. т. с. изменение н лнскрстном врсмсии координаты лг(г) и скорости лг(г). Согласно второму уравнению осущсствлястся одноврсмсннос измсрсняс как координаты объекта, так и ого скорости, прн гсм ошибки измерений описываются независимыми днскрстными Б1Ш гго,„и но,„с диспсрсиялги 2ЭО, и Поз.
Прпмснснис обшей методики решения матричных уравнений вида (36! к дннноллу примсру привалит к слсдую!пнм окончательным рсзультатам для стационарной матрицы ошибок фильтрации': — = — 2(ъга-лг'-~ га)28 — — 2~ (3 'ажгг — -) — 1, Гзог гз г 3, 3) ' Ейя!гапй В. Лпайпса1 8!Оаг)у 8!а!с Бо1пбоп Гог а Ка1гпап Тгасулпй Ей!ого!ЕЕЕ Тгапз.- — 1983.— Чо1. АЕ8-19, 11з б. - Р. 815 — 819. г= ч (лгтаг г — г а] О. — —, = —, ((3 лг а — 1). 12ог)Л " Гзога Здесь использованы слслующнс обозначения: Стапионарныс значения коэффициентов усилсния опрслсляются выразксниямн 71„= к„(тзгг„к! 2,1Л = -зяггг(2эог ГЛ), глггЛ 7!121(27011Л) А22 '1 ~~22)(2701(Л )' Отметим, что, хотя исходная модель системы !40] солсржнт четыре независимых параметра (Л'„22~1, Поз и Л), нормированныс выраягения !4!) н (42) для В„и Ки зависят только от двух параметров г и з. Физичсскос обсуждение рсзультазов будет дано позже, в примере 8.1.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
