Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Прнмср 8.1.3. Фильтрации процссса автарсгрессви — скользящего срсднспг. Рассмотрим пропссс авторсгрсссии- -скользящего среднего видя (4.!.31]; который при (),=О. 1'=1, лг, переходит в процесс авторсгрсссии, а прн а;=О, г= 1, и,— в процссс скользящего среднего. Примем.
по диспсрсия дискретного БГШ и, равна сдинипс. Трсбустся получить оптимальныс опенки а,, и т постоянных коэффициентов а„б, и 7. Один из возможных способов рсшспия задачи примснснис алгоритма фильтрации Капмана. Для этого нужно предварительно записать уравнсяис состояния и наблюдения в форме (33! и (32).
Введем з.скущую ошибку оценки с„=! .1- 2 иА„—,— 2 !1,п =1 1 ! И ВСКтарлотапбоц раЗМЕрНОСтИ гг--ггг «„=>.,= — Х агл, 14- 12 В,нГ,-ну,. ! Если входной шум и, известен, то введя вектор-строку (8.1.48) (8.1.49) у,,й,.=)„.-ь 2 аь).„,— Г 8>й (8.!.50) Отса>да с учеэоч (44) можем написать е, й„=- —.", г.„= х, + ~ х,„х,-, — 2.' Р,й, - .
(8.1.5!) (8.1.52) м(з> )- 2 т; Окончательный алгоритм примет вид ггг Ргг Ч Ч(>о)=Чо. (8.1.63) 378 Н =[-х - . — Х, 2 - — х; ...- - а,-.), уравненис яаблюдения можно записать в виде К уравнениям (46), (49) можно применить алгоритм фильтрации Калчана (9 8.6). Однако во многих прикладных задачах входной ьчум я„не известен и сто необходимо оценивать. Иногда применяют следунцций приближенаый подход. На основании (47) имеем Для получения оценки у„воспользуемся тем, что л„— дискретный БГШ с единичной дисперсией. Поэтому М ([у,й,.)х! =7,'=М >;„'). глс М (с>! может быть вычислено по формуле Если в (48) замен>пь истинные значения п„ь >=1, ап их оценками й,;.
получаемыми из (51), то Н„,=[-Х,., — ).„„, й„, й„. „Д. л,, =л„+к„, [).„„— н,л„), (8,1.54) к„„=к„н„[7„'+((„к„н'„), (8.1.55) К„„=[1 — К>чн„)К,. (8.1.56) Выражения (50)...(56) дают полный алгоритм оценивании (идентификации) параметров процесса авторсгрессии .скользяьцсго среднего (43). Можно показать', что при определенных условиях оценка Л, сходится к истинному значению с вероятностью 1. Многомерная непрерывная фильтрация.
При многомерной фильтрации в непрерывном времени наблюдается сигнал ~ (>) = Н (>) 3. (>) + по (>). (8.1.57) ' (*'таире ))., Кгавае Г>. Л., Мооге Л. В. Ыеппйсабоп о( Аюогекгем|тс МомпйАтсгаке Рапппегегз о( типе Бег!ез 17!БЕЕ Тгапа.— -1975. —.т>о!. АО-20, )хя 1.— Р, !04 !07. Здесь Е,(>) — вектор-столбец размерности т, где т-- число каналов наблюдения; Н(>)-- матрица наблюдений размера >и х и; по(>) — вектор-столбец аддитивных БГШ в каналах размерности >и, причем М >по(>) по(>+г)) = !ч)а(>) 8(т); (8.1.58) Хо — -симметричная (>и х>п)-матрица двусторонних спектральных плотное~ей. Сообщение задано векторно-матричным дифференциальным уравнением г7) (>7>=А(>)) +пх(>).
(8.!.59) Здесь ). (>) - вектор-столбец сообщения размерности п; А (>) -- матрица коэффициентов системы (59); п,(>) -- вектор-столбец формирующих БГШ с нулевым м. о. и корреляционной матрицей М (пх(>) пх(>+т)) = !Чх(>) б (т), (8.1.60) где !ь), (>) симметричная матрица двусторонних спектральных плотностей размера пх п.
Система линейной фильтрации, оптимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки, описывается уравнениями 7).( !> =А (>)).+К(>) ~~(>)-Н (>) Ц, к(>)=К(>)Н'(>))ь)о >(1), (8.1.6!) с(К(й=Хх(>)+АК+КА КН'Хо НК где К (>) — — матричный коэффициент усиления) К (>) - корреляционная матрица ошибок фильтрации.
Основная трудность при аналитическом рассмотрении линейной фильтрации связана с решением матричного уравнения Риккати для К(>). Укажем один из методов решения, основанный на подстановке Бернулли К (>) =Ч (>) () — ' (>), (8.1.62) где Ч(>) и (7(>) решения системы из 2>г линейных дифференциальных уравнений, получаемых из исходного уравнения Риккати. Теоретической основой такого представления является следующий результат. Пусть (и х и)-матрицы Ч(>) и П(>) удовлетворяют системе Тогда матрица К(>), определенная (62), удовлетворяет уравнению п>К>>с(>=рг>+ РггК вЂ” КР» — КрггК: К(>о)=Чот>о (8.! 64) 379 1 (8.1.
74) 381 Этот результат следует из непосредственной подстановки: =(г 21~-"+ РггЧ) П вЂ” Ч1-1 [Р11П+ Р12Ч3 (г Ргс+~ггк К~11 К~12К Из сопоставления (64) с исходным уравнением Риккати (61) следует, что векторные функции 13(г) и Ч(г), входящие в (63), должны иметь вид ас1/(г)/г/г — А' Н')х1~ 'Н 1) 1) Начальные условия можно, например, выбрать так: П(го)=1„„„, Ч(го =К(го). еперь решение уравнения Риккати может быть получено в результате решения системы линейных уравнений (65). В приложениях наиболее часто встречаются уравнения (65) с постоянными коэффициентами. В этом случае Ч Р(( ")) ( ( ')Ч()' При этом К(г) =Ч(г)13 (г)=[Ф21 (г — го)1/(20)+Ф22 (г со)Ч(20)~ Х (8.1.67) х[Ф11(г — го) гг(го)+Фсг(г го)Ч(го)(.
Хотя алгоритм (66), (67) предполагает решение уравнения (65) удвоенной размерности, однако его применение в ряде случаев может оказаться вполне эффективным в вычислительном отношении прежде всего за счет использования свойства экспоненциальной функции ехр (г (21+ г,)) = ехр(гпс) ехр(г"гг), позволяющего уменьшить необходимую лли тел ьн ость численного интегрирования. К недостатку метода можно отнести то, что при больших г — го матрица 13(г) становится плохо обусловленной, что может привести к большим ошибкам при численном обращении матрицы в (67).
Часто подстановка Бернулли применяется для получения стационарного решения уравнения Риккати. Если стационарное решение существует и не зависит от начальных условий, то можно положить К (20) = О. При этом из (62) следует, что Ч(го)=0, и из (67) имеем К„ = 1пп К (г) = 1пп ( Ф„ (г — г,) Ф,,'(г — 2,)). (8.1.68) с с Допустим, что удалось получить стационарное решение К уравнения (61), т. е. 300 )М1+Ак„+К„А' — Иссн')х(о 'Нкв=О.
(8.1.69) Будем теперь искать решение уравнения (б!) в виде К(2)=к„+И,(г). (8.1.70) Тогда из (61) с учетом (69) для К,(г) получим уравнение с/Кс/г/2=[А-Кссн'Хо Н1К.+К [А — К.сн'Хо Н ('— (8.1.71) — Ксн™0 Нкс. Знание стационарного решения позволило избавиться от свободного члена. Обозначим В=(А — К„Н')ч)0 'Н) и введем матрицу перехода Г (г) = ехр (Вг). (8.1.72) Будем искать решение уравнения (71) в виде К,(2) = Г(г) 1) -1(г) Г(г), (8.1.73) где 13(г) — неизвестная матрица.
С учетом (73) распишем левую часть уравнения (71): "к,="1)-гг гй1)-11Г +Г1)-1 — 'г = сгг сгг Я ! с11 =ВК,+ГЙ1)-')Г +К,В . 121 Подставив это выражение в (71) и сократив подобные члены, имеем Г(Л3-1/й)Г= — Г1)-1Г Н )х)01НГ1)-1Г. Домножим обе части этого равенства сптпава и слева на 1)г ' и Г'1) и учтем известное соотношение г(1) /й= — 13 '(Л3/г/г)1) Тогда получим гЛ) /г(г = Г'Н')х) о ' НГ. Отсюда 1) (Г) =1)(0)+) Г'(т) Н'Хо 'НГ(т) й.
о Поскольку Г(0)=1, то 1)(0)=К, '(0)=[к(0) — К„3 Таким образом, согласно (73) приходим к окончательному результату Я,(г) = Г(1) ([гт(0) — гт„1 '+) Г'(т) Н'/Чо 'НГ(т)й) 'Г'(г) = о =([Г(г) Гг (О) Г'(г) — Г(г) Я„г'Я '+ с +) Г'(т — Г)Н'Н01НГ(т-Г)Ж) о >О О,> /Хг/г/>=Хг, д) г,>г/>= ог(!). (8.!.75) О,О> О,> гг(!)=хг(!)-~-!го!(!), Цг(!)=7г(!)->лог(!), (8.1.76) О ОО> О,О> Рис.
8.5. Зависимость относительных апостернорных корреляций и коэффициентов усиления от параметра 7 Рис. 8.6. Зависимость относнтелъных коэффициентов усиления от параметра 7 )„ ' 0 0 ' ' " 0 Ч,/2 ' Г~ 0 ! 0 Лм/2 (8.!.77) (8.1.80) г/7 г/г/>=(Л/ог/Л/ог)п'(1г — Лг)4-1г. (8/Е81) (8.!.78) (8.!.79) >!гг пг, /(гоге>гог/2, /(гг= 1~гЛ/ог/2 Пример 8.1.4. Комшгексвроваиие двух измерителей. Рассмотрим решение прсдылущсго примера в непрерывном времени. Пусть координага движущегося объекта Хг и сто скоросгь ).г заданы уравнениями Одновременно измеряются как координата объекта, так и его скорость: глс лш >!) и лог(!) . независимые БГШ (ошибки измерений) с двусторонними спектральными плотностями Л>ггг/2 и Л>ог/2 соотвсгственно.
Рассматриваемый пример является частным случаем задачи многомерной линейной фильтрации, принципиальное решение которой дается уравнениями (61), причем в них нужно положигь Согласно первому уравнению (61) записываем алгоритм формирования оптимальных оценок г/Лг/г>!.=-Лг-Ь(2/Л>ог)>1!г("г — ) г)4 (2/Л>ог)>!гг(ъгг — > ), г/Лг/г/>=(2/Лог) >(гг(ьо! — )г)+(2///ог)>(гг(гг — «г). Решенно уравнения Рнккати для корреляционной матрицы можно получим последовательным применением изложенной выше методики. Однако из-за громоздкоств промежуточных вычислений такое решение здесь нс приводится.
Стационарное решение можно получить более орос>о, осущесгвив в формулах (41) предельный переход при Л О, /)о>Л=Л>ог/2, /)огЛ=Лго >2. В результате получим следующие выражения для элементов корреляционной матрицы ошибок и коэффициентов усиления'. /Ф„Л'„~2 1+7' ((Л/,/2)~П,Но,)" 1-~7( (, 2>>.( ~ 7~74 Я, /гг=Л!г= — —, ( /,/ .,) = '4 ~ Л ' ( Л>г/>уог)г>г 1 -ь 7 (э /ь! / Л! )г>г ! Я- 7)~ (, 2/ ) ' Ига!хаий В. Апа!!!!са) 8!сабу 8!а!с Во!шюп Гог а Сопйпопз Типе Ка)шап Ей!от//!ЕЕЕ Тгапз.— 1985.- т/о1.
АЕ8-21, )г>г 6. Р. 746.-750. ОО> О» г ' ОО> >У > >О > В рассматриваемой аналоговой модели имеются лишь три независимых параметра Лгг, Л>ог и Л>ог (в отличие от дискретной модели, содер:кащей, как всегда, дополнительный параметр Л). Однако элементы корреляционной матрицы ошибок и коэффициенты усиления, нормированные указанным образом, выражены только чеРез один паРаметР 7, пРичем гы, ггг и /ггг, так же как гы и /ггг, имеют одинаковые выражения. Графики этих зависимостей приведены соответственно на рис. 8.5 н 8.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
