Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 70
Текст из файла (страница 70)
о., являющееся оптимальной оценкой».„г; Я„г- — апостериорная дисперсия. Условную ч. в. Р(».„г», г) находим из уравнения (2), согласно которому ».„ ггри фиксированном значении Х,. г представляет Збб собой сумму неспучайного слагаемого (), г».„г и гауссовского шума п», с нулевым м. о. и дисперсией 2»„,. Поэтому р(».„!».„г)=с ехр( — (».,— ()„г».„г)~/2Х>,„3.
(8.1.4) Подставив п. в. (3) и (4) в (7.2.8) и выполнив интегрирование, получим Р(».,)со г)=с ехР( — (»,„— )) г». г)г/2(()г »Я г+Х» Ц (8 1 5) На основании указанных выше пояснений записываем выраженве условной п. в. р (с „!».„) = ся ех р ( — (г,, — и, — Н„Х,) г/22»о, 3. (8.1.6) Основная формула (7.2.7) после подстановки в нее выражений (5) и (6) принимает вид Поскольку показатель экспоненциальной функции есть полипом второй степени относительно».„, то условная и. в, р(»,,!со) является нормальной. Согласно методу математической индукции она будет нормальной при любом гг, если начальное значение ». фиксировано или распределено по нормальному закону.
Параметры нормального закона (7) — м. о. х„ и дисперсию /1, — проще всего найти, если стандартное выражение нормальной п. в. записать в виде — »гг (ь») (2ягх) ехр — — — = Сехр — — +».— . 2»г ~ ( 2Г»»г г Отсюда видно, что м. о. ». есть коэффициент при».//1, а !/гх— коэффициент при — ».г/2. Руководствуясь этим замечанием, из (7) получаем »„= ()„, »,, +/;„(Е,— „-Н„()„, »,,), (8.1. 8) г г гг» (8.1.9) 9„"- »гг„ганг»,„гэо,' = Н» (Р»//» о» ) (8.1.10) Уравнение (8) определяет алгоритм формирования оптимальной оценки, а уравнение (9) — эволюцию апостериорной дисперсии.
Эти уравнения принято называть уравнениями фильтра Калма»»а. Схема такого фильтра изображена на рис. 8.1 для и„=О. Заметим, что в уравнение дисперсии (9) входят только известные функции времени г; в отличие от (8) оно не содержит наблюдения г,.
Поэтому уравнение (9) может быть решено заранее, до начала работы фильтра, вследствие чего функцию гх(г,) и коэффициент /г(г„) следует считать известными функциями времени. Зб7 Ь г — — — — — — — — — ! А , формодращии рольтр ! Рии 8.!. Схема фильтра Калмана Предположим, что наблюдения отсутствуют, т. е. Н(1„) ьвО. Тогда апостериорная п. в. совпадает с априорной и из (8) имеем л.„= ()„, Х„ (8.1.11) Это есть уравнение экстраполированной оценки на один шаг, т. е.
прогноза Х, по априорным данным; его можно было бы получить осреднением обеих частей уравнения (2) по априорному распределению Х и н,. В данном случае фильтр Калмана вырождается в фильтр, который обведен на рис. 8.1 штриховой линией. Это фор инрующий фильтр для передаваемого сообщения (2). Следовательно, априорные сведения о сообщении «заложены в конструкцию» оптимального фильтра.
Этот результат имее~ общий характер. На входе фильтра Калмана из принимаемого колебания вычитается его предсказуемая часть и„+ Н,()„, Х,, Из этой разности с весовым коэффициентом к„и из априорных сведений ,1, ! формируется оптимальная оценка Х,. Процедура получения оценки является рекуррентной (т. е. повторяющейся), очень удобной для реализации на ЭВМ. Полученный фильтр оказывается нестационарным (с изменяющимся во времени коэффициентом усиления 1т„), причем нестационарность остается даже в том случае, если величины (), Р„ Н, и и Р являются постоянными. Это обусловлено процессом установлейия дисперсии хт„.
В тех случаях, когда р, Р,, Н, и и Р— постоянные величины и существует предел Я„= 1пп Я„ х м оценку часто формируют в соответствии с уравнением ) „= (6.„„+ НЯ„(РьЯ,— и„— Н()Х„,). (8.1.12) Полученная таким путем оценка, вообще говоря, является неоптимальной. Однако во многих случаях будет иметь место ее асимптотическая (при 1„- со) оптимальность. Фильтр с постоянными параметрами, реализующий алгоритм (!2), называется квизионтимальным, или стационарным. В практической реализации он много проще нестационарного. Укажем, что уравнение оптимальной линейной фильтрации (8) можно моделировать не только с помощью линейного Збз фильтра с обратной связью (см.
рис. 8.1), но и с помощью фильтра разомкнутого типа. Для этого перепишем (8) в виде )„=()', 1);, 1+Н„(й„!Ро.)к„— и„), ()'. 1=(). 1~1 — (к„~ро,)нт ) (8.1.13) Уравнению (13) соответствует моделирующий линейный фильтр разомкнутого типа. Заметим, что при линейной фильтрации в уравнение для дисперсии (9) наблюдение Ц (1) не входит. Поэтому средний квадрат ошибки при оптимальной линейной фильтрации совпадает с апостериорной дисперсией. В теории нелинейной фильтрации такое совпадение в общем случае не имеет места. Аналоговая фильтрация.
Получим уравнения оптимальной линейной фильтрации в непрерывном времени, совершив предельный переход при Ь- О в соответствующих уравнениях с дискретным временем. Для этого следует вспомнит ь методику перехода от аналогового наблюдения к дискретному (6.1.11), согласно которой Рь„-— Н 12Л. Сообщение предполагается заданным линейным стохастическим дифференциальным уравнением ЫХ/в!1+ а (1) Х = н„(1), (8.!.14) общее решение которого для момента времени 1„при начальном значении Х(1„,) дается выражением х(1„)=х(1„,)ехр( — ) и(т)г1т)+ ) н,(т)ехр( — ) и(в)!(в)х1т. (8.1.1 5) При достаточно малом постоянном шаге дискретизации по времени Л=1„ — 1, , =сонэ! и гладкой функции а(1) это решение можно записать иначе: Х„=[1 — Ли(1„,))Х„, +л,„, (8.1.16) лх„) и, (т) ехр — и (1„, ) (1„— т) в(т. ! Полученное разностное уравнение приведено к виду (2), только теперь в нем нужно положить В, 1 — Ла(1„,).
Подставив в (8) значения Рь„и ()„,, имеем 1(ь, +а)-х(ь,) ( )1( ) Л +Н(1„,+Л)2Я('-'+') К(1„,+Д)-Н(1„,+Л)(1- — Ли (1„,)) х (1„, Ц. Полагая Л-+О и отождествляя 1„, с текущим временем, получаем Зб9 с/Цс/г= — а(1)Х+/с(г)~Ц(г) — Н(г)Ч, /с(1)=2Н(1)К(1)/Хо (8.1.17) Начальным значением для этого уравнения является м. о, априорной п. в. р,(7. ). Уравнение (17) определяет алгоритм оптимальной линейной фильтрации в непрерывном времени; он имеет ту же структуру, что и при фильтрации в дискретном времени.
Первое слагаемое в правой части учитывает априорные данные о фильтруемом сообщении, а второе — поправку к нему на основе наблюдений. Тот факт, что в структуру оптимального линейного фильтра непосредственно входит формирующий фильтр сообщения (первое слагаемое), в теории линейной фильтрации имеет общий характер. Линейный фильтр может быть выполнен по схеме с обратной связью или по разомкнугой схеме. Как и в дискретном варианте, уравнение (17) нужно дополнить уравнением для определения апостериорной дисперсии Я(г).
Для этого следует в (9) подставить 2>а„— — Ж /2Л, с!>„„=М Л/2 и, имея в виду последующий предельный переход Л-+О, воспользоваться приближенными равенствами рг рг(1 ) р Ла( )з3г 1 2 ( )Л /1(г„, + Лу= гс (г„с)+(Ж (1,)/с/1) Л. После этого уравнение (9) примет вид 1+ — " ' Л = 1+ " — 2сс(г„,) Л + + 2 Нг( +Л)7!( +Л)Л сго Применив приближенное равенство (1+х) ' =1 — х, [х! <!, получим окончательное дифференциальное уравнение для апостериорной дисперсии: '— =-'Н вЂ” 2 (1)й — — 'Нг(1)лг.
(8.1.18) Это уравнение нужно решать при начальном условии Я(0)=23,, где Р, — дисперсия априорного распределения р,(Х ). Спектральную плотность Ф, шума ц,(1), из которого формируется фильтруемое сообщение (14), можно выразить через его дисперсию. В частности, при а=сопя! имеем М =4а2>„. В данном случае (18) несколько упрощается: Ж/с/г = 2а0, — 2аК вЂ” (2/М„) Нг Я г. (8.!.19) Уравнение (18) является частным случаем уравнения Риккати С/х!/,~ П(Г) ! ь(1) с!+С(Г) с!г 370 Извес>но. чн> решение его не можес быть выражено в квад- ратурах, за исключением нескольких частных случаев.
Поэтому его обычно решаю г численным>л методами с помощью ЭВМ. Однако„если известно час>нос решение (например, стационарное Рся), 1о с помощью замены сс (с) = !1„(с)+ сс„оио сводитсЯ к уравнению Бернулли сас> /с/г =- [ 2с [!) Яя+ Ь (с) [Кс>+ с (с) К Й, ко~орое интегрируется. Кроме этого подсгановкой /!(1)=Р(с)/6(с) уравнение Риккати сводится к системе из двух линейных уравнений: с/Г(с)сс/с ==(1/2)Ь(с)Е(с)+ с>(с)6(с), с/6(с) с/с=! — 1/2)/>(1)6(с) — с(с)Цс). Приняв начальное значение 6(0)=-1, получим Е(0)=7!(О)=/7> . В рассматриваемом примере Н=сопз1 и все коэффисгиессз[ы в уравнении Риккати (19) постоянны, что позволяет получить его аналитическое решение.
Перейдем в (19) к безразмерному времени г = ас, введем относи гельную апосгериорную дисперсию фильтрации сообщения 5 (1) = /! (1)//3, (8.1.20) и отношение сигнал-шум в принимаемом сигнале с7=Нг!>,,с/с/ Л7,'=4//г О,/~а/с/„, гле Л/, - -энергетическая ширина спектра сообщения. Тогда уравнение (19) примет вид (1с'2)с/д(с/1= 1 — 5 — (1,4)с78г (8.1.21) Решение это~о уравнения с разлелякицимнся переменными известно: 8(1) =7!(1)/2>с=( 2/с/) Ы+ссс1!>( 1~/1+с!+сро)+ 6 (8.1 22) где постоянная интегрирования ср находится из начального условия и определяезся из равепс>ва с11> срл= — (! +(1/2)98(0))(! +9) При детерминированном начальном значении Х„имеем Ял — — О, 8(0)=0 и ср =-агс1!> [ — (1+с/) "г); если же принять А(0)=сзг, т.
е. 8(0)=1, то ~р =агс1)> [ — (!+с//2)(1+Ч) "г). Из (2!), положив с/8/с/1=0, находим стационарное значение относительной дисперсии фильтрации 8„=/1„//7„=(2/д)( ~!+с! — 1); би е27 "г пРи сг>>1. (8.1.23) Зависимость 8(1) от времени для трех значений с/ изображена па рис. 8.2 (сплошные кривые). Видно, что длительность установления стационарного режима фильтра сильно зависит от отношения сигнал-шум; чем больше отношение сигнал-шум, тем меньше длительность перехолного режима, 371 гг / Заметим, что ! м/сна= /149, ! йу (/! 1)г (/) ь !) ~! >, фу 85 84 й/ ДУ 55 Рис. 8.3.
Чувствительность дисперсии ошибки фильтрации к изменению коэффициента усиления фильтра Рис 8.2. Относительная апостериорная дисперсия ошибки фильтрации при трех отношениях сиг- нал-шум /Ул + /с суо В,'(т) = — — (! — ехр( — 2т(1-Ь/с/а]1). 4а(1м/с/а) (ЬД.29) 372 Пример 8ВЕ1. Сравнение характеристик оптимального н квазщягтнмального фнтьтров. Пусть наблюдение и сообщение заданы уравнениями У(с)=л(с)+по(с); дл/дг=а(г) — ал-ьпг(г), л(0)=7, (8.1.24) Для данного примера остаются в силе уравнения дискретной (8), (9) и непрерывной !17), (18) фильтрации, а также решение (22), нужно лишь в них положить а(с)=а=оопп, !/(г/=1, и(г)=0, ()=ехр( — аг(), Вг„=В,(1 — ()'), Вг=-гчг/4а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
