Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 65
Текст из файла (страница 65)
(749) Здесь Ф(.) — -матрица фундаментальных решений (переходная матрица), удовлетворяющая однородному уравнению !7Ф(1, 1, !)14(1 — А(1)Ф(1, 1„,) с начальным условием Ф(1, „1„,)=1, где 1- — единичная матрица; и,„= ( Ф(1, т)п„(т)4(т (7.4.1 0) ! — ! — последовательность независимых нормально распределенных случайных величин, имеющих нулевое м. о. и корреляционную матрицу 340 ф, = М (п„„п;„„) —— ) Ф (1, т) Х„(т ) Ф(1, 1) с(т. ! В данном случае процесс»,(1) — — гауссовский и и. в. я(»., 1~».„, 1„,) — - нормальная с м. о. т(11»., „1,,)=Ф(1, 1,,)».„, и матрицей дисперсий (11) О(1~»„„1„,)= ) ф(!, ~)!Ч,(1)ф'(!, )4 . ! Теперь формула (5) примет вид ».
(1) = ) Ф (1, 1„)».„, р (1, ~ + О, »„! ) Л., ! = Ф (1, 1„!)». „' где».,! !=) х„!р(1, +О, ».„!)!7»,„!. (7.4.12) Отсюда видно, что предсказание оценки внутри интервалов (1,, 1,) следует осуществлять с помощью формирующего фильтра сооощения, на вход которого подаются оценки».,+. ! е = О, 1, 2, ..., причем исходное состояние фильтра в момент 1„должно быть нулевым. Матрицу Лисперсий ошибок для гауссовского процесса»,(1) находим из (6) с учетом полученных выражений для ш(11»., ! 1„,)!»,(1) и !»(11».„.! 1„,): К(1)= ( Ф(1, т)1Х(,(т)Ф'(1, т) Хт+Ф(1, 1, !)й„' !Ф'(1, 1„,), (7.4. 13) где К„+ ! =) (».„! — ».," !)(»„. ! — »,„' !)'р(1„.,+О, ».„!)г(» С качественной точки зрения ясно, что на точность непрерывно-дискретной фильтрации влияют следующие факторы: !) шум пе.
в канале, обусловливающий погрешность восстановления дйскретных отсчетов».(1„); 2) временной интервал дискретизации А = 1,~ ! — 1„поскольку при восстановлении сообщения между отсчетами оценка будет ухудшаться за счет ошибок статистического предсказания, причем ошибка растет при 1, изменяющемся ! от 1, к 1,~„и достигает наибольшего значения в конце интервала дискретизации; 3) эта ошибка также возрастает с увеличением интенсивности формирующего шума п,(1). 7.5. ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Рассмотрим вариант передачи информации с помощью импульсных сигналов, характерный для импульсных систем связи и импульсной радиолокации.
Передаваемые сигналы модулируются значениями непрерывного сообщения». (1) в дискретные 341 моменты времени, т. е. сообщение по-прежнему описывается уравнением (7.4.2), а принятое колебание на интервале (!„(„„) имеет вид ри(!)=8(!»т)+По(!) !т~~!<~ +тт<!т+1 ° (7.5.1) Здесь я(б».,) — импульсный полезный сигнал произвольной формы длительностью т„, зависящий от».„— значения сообщения» (!) в момент времени !„, 9=1, 2, 3, ...
Требуется получить оптимальную оценку сообщения». (!) в непрерывном времени по наблюдению с',"". Известна и другая постановка задачи', когда к(!) получается по наблюдению с'о до момента Процедуру получения оценки».(!), как и выше, можно разбить на два этапа; формирование оценок а„в дискретные моменты времени !„ и получение на основании априорного уравнения (7.4.2) экстраполяционных оценок в интервалах [!„ 1„ !) между соседними импульсами.
При этом методика предсказания остается прежней и, например, для линейного априорного уравнения (7.4.8) она определяется выражением (7.4.12). Второй этап отпадает. если уравнение сообщения задано в дискретном времени (7.1.11). Первый этап решения задачи сводится к фильтрации в дискретном времени последовательности ».„, описываемой априорным уравнением сообщения (7.4.2), по наблюдению отрезков реализации с(!) при !н[ко („~11, 9= 1, 2, 3, ... Рекуррентное соотношение, определяющее апостериорную п. в.
Р(»., ~ с'; ), является очевидной модификацией формул (7.2.7) и (7.2.8), описывающих точный алгоритм нелинейной фильтрации в дискретном времени. Действительно, единственным отличием, обусловленным наблюдением отрезка входной реализации Р,'"1, содержащей импульсный сигнал х(!, ».„), является использование не функции правдоподобия Р(с„ ».„), а функционала правдоподобия р(с"," !».„). В итоге аналогами формул (7.2.9) и (7.2.10) или (7.4.6) и (7.4.7) будут выражения Р(».,!»'; 3)=сР(».!Е,';)РФГ !»,), (7.5.2) р(».,1Р';)=) р(»,„. ! / с,';)р(».„!»с,,) с!»., (7.5.3) Для одномерного наблюдения вида Г(!)=8(0».„)+по(!), !„<!<!„+т„<!„„ы 9=0, 1, 2, ... (7.5.4) функционал правдоподобия запишется в виде 6- т, Р(~,'.~~ !».
)=с, ехр~ — ~ [Р,(т)к(т, ». ) — -ах(т, ».,Ис!т . (7.5.5) ! ~о ' Миронов М. А., Смирнов В. А., Харисов В, $!. Оптимальная фильтрация квантованных по времени непрерывных процессов О Радиотехника и электроника.— !980.— Т. 25, !Як ! !.— С. 2349--2359. 342 Приближенные уравнения для оценок»., и корреляционной матрицы ошибок оценок моэкно получить, прибегнув к прнблилсенным методам (в частности, аппроксимации апостериорпой и. в. нормальным законом распределения). 7.6. ФИЛЬТРАЦИЯ УСЛОВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ До сих пор шум наблюдения предполагался белым гауссовским. Более общий подход базируется на теории условных марковских процессов (6). Пусть задан векторный марковский процесс !к(!)=(».(!), с(!)).
Нужно получить апостериорную п. в. Р(».(!)!со), если непосредственйому наблюдению доступна компонента с(т), те [О, 21. Рассмотрим решение этой задачи для дискретного времени. Поскольку процесс !4(2) является марковским и он предполагается заданным, то это означает, что известна одношаговая и. в. перехода Р(».„, Г„!».„,, Г„!). Найдем интересую!пу!о нас апостериорную и. в. ненаблюдаемой компоненты Р(»., ! с'о), Запишем частный вариант уравнения Колмогорова — Чэпмена; Р(А„,Р„~Р,;-')=)Р(».„,1„~»х ! 1„,)Р(»т,!Р,;-')7»т ! Представим левую часть иначе: Р(л„г„! г,о ')=Р(Рт!«О ')Р(»,„! Р!!).
Тогда получим общее рекуррентное соотношение марковской фильтрации Р(к, ! 1") =Р '(Я,.! 1о ') ) Р(»т, Р„!»,.— !, 1т — ) х х р(А,, ! со ') Л,, (7.6.1) Для рассмотренного ранее частного случая (7.1.!О), (7.1.! 1) выполняются следующие условия: 1) !'-„зависит только от».„ и не зависит от Р„! т. е. Р(с„~ ст !».„, ».„!)=Р(Р„!».„); 2)».„ при фиксированном»., ! не зависит от ~„!, т, е. Р(»с,)»., „Р,„!)=Р(»., !».„!). При этих условиях Р(».„ст ~ ». ,) Р(ст ~ ».,)Р(».„!».„!) и основнаЯ фоРмУла (!) УпРощаетсЯ: Р(»т! 6о)=ср(1,!»,)) Р(»-,— ! ! 1о ')Р(»,!».— !) с7».— !. (7 62) Расписав ее в два этапа, убеждаемся, что она совпадае~ с (7.2.9), (7.2.10). Однако формула (!) охватывает более широкий класс задач.
В частности, совсем не обязательно, чтобы наблюдение (7.!.10) представляло собой сумму полезного сигнала и шума или чтобы значения дискретного шума по„были некоррелированны. Приведем здесь кратко методику решения задачи фильтрации с небелым (коррелированным) дискретным шумом по„. Примем, что по„, 9=0, 1, 2, ..., есть гауссовская марковская последовательность сл.
в., не зависящая от». (!), с известной 343 — — — а,+ —" — — а — '" '' -— — Ь» --- ' р(г, Х) -1- +33 — - ! Ьлл /р(г. л) + — (сг» Мр~ (а»г) — (а» Мря са»)) х .Олл) '~':(' „'))„„'(Р) — лл,.»л„„( — '))) р г, лл !7.6.5) 344 и. г>. одношгпового перехода р(по, ! по. тг)г п(по. ! гго,,). Примегггггепьпо к (7.1.10) условпуго и.
в, !Л(7.„, г,„! 1,, г, Р,„,), входящую в !1), можно найпг пз и. в. 7г(г»; по. ! г' — л ао.- л) =!Л(р., ! г" — г) п(по~ ! по . г ) путем псрехола от гго,, к новой переменной ",„=к(г„, 1,.) — по,. !г (р.„„-,, ! > „,,:;, ) = !г (!.„! !л„. г ) к (с „— -'(г, '-,)!'.- -- (г.— .7.—.)) Р7.6.3) Подстановка (3) в 11) лает решение залачи фильтрации в дискрсыюьг времени при небелом шуме наблюдения. Пугем предельного перехода при г,— г,, =Л- О из П) можно гючучить интсгродифферецциальное уравнение для апостериорной и. в.
компоненты векторного марковского процесса !Л(!) при известной (наблюдаемой) другой компоненте. Этот переход в принципе выполняется гак же, как и при получении уравнения 17.3.8), олншсо оказывается более сложным и громоздким. Для диффузионного марковского процесса !»(г) с козффипиептамп сноса и Лиффузип (а,(г, 2., »)) (Ь„ (г, ?., ц) Ь,»(г, ~., ») Р (гг»(г, гл, Ы Р ! !7»л,(г, р., с) Ь»»(г, г.
с,) п. в. одиошспового перехода для малых Л является нормальнон: ! Г'р.„— 2,, — а Л !' !д лв„(гдг.,»)!ал ( З~» Р„, а Л] !лц !лл» )-. лл — г а. Л . г где с!е»йрФО. Если подставигь выражение для р(р... »,, ! 7.„г, Р„.,) в (1) и вьгглоггпизь предельный перехол при Л- О, который здесь опущен, то получим следующее иптегродифференциальное уравнение для;шостериорпой и. в. р(г, л) =-!Л(!»(г) ! Ц): гле М, ( !'(г, 1л, Р)) = ( !'(г, 1л, Р) р (О о) »0 . (7.6.сг) Более общая формула для векторных процессов 7. (г) и Р, (г ). получешлая Р. Л. Стратоновичем, приведена в [6, 7). Уравнение фильтрации (5) охватывае.г кроме рассмотренных выше несколько более общих случаев, а именно шум наблюдения по(!) может быгь пе белым, он может быть зависимым с формируюгцим шумом сообщения п,(г), характеристики фильтруемого процесса р.(г) могут зависеть от наблюдаемого процесса»(г) и др.
Покажем, что для скалярных процессов 7.(г) и»(г) из уравнения (5) следует (7.3.8), при выводе которого предполагалось, что наблюдаемая компонента Ц(г) имеет вил (7.1.2) и шумы и (г) и п,(г) независимы. Ч юбы подогнать формулировку задачи к з ой, лля которой получено уравнение (5), введем процесс»,=(»(т) с!т, лля о которого согласгло (7.!.2) справедливо стохастическое лифференциальное уравнение "-'"-=. (г, 7.)+по(!) (7.6.7) Наблюдение колебания»(г) эквивалентно наблюдению Р„. Будем теперь рассматривать двухкомпопентный марковский диффузионный процесс !»(г)=(р.(г), Р„). Для процесса Р„находим козфицншпы сноса и диффузии: а (г, 7., Р„)=М вЂ” '=»(г) ! 7., Р„=М гк(г, 7.)+п„(г) ! 7., »,) =х(г, Х), !г»» —— —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
