Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Г)У (7.2.8) Действительно, на основании условия согласованности плотностей вероятностей и правила умножения вероятностей имеем р(3,!1' ') = ) Р(7 -г 7.,!1' 'ИЗ- — = дифференциальном уравнении сообщения (7.1.7). От о означает, что р(», 3.)Щ ') на интервале (»,. м»Д удовлетворяет априорному уравнению (1) с начальным условием р(»„,, 7. ) сов ') в начале этого интервала. Поэтому для малых Л можем написать (1»Л) ГР(»~-1+Л 7" 34о ) Р(» — » ° 7.!чо )1 ~" (Р(»я — 1 ~ 11о» или р(»,, +Л, 7 11о ) Р(» — ).!1о- )+7 (Р(»я — ),! 1о ))Л (7З 6) Подставив (5) и (6) в (2) и учтя лишь члены порядка Л, имеем Р(».,+Л !1о)=-сз~р(»я»,3.!1о +ТА(Р(»,— »,7110 '))Л+ +Р«,— ° 3-~1о )г(», 3)Л1.
(7.3.7) Чтобы определить постоянную сз, проинтегрируем обе части этого равенства по всем возможным значениям 3.. При этом учтем условие нормировки п, в., а также тождество 1» (Рр (" — » 3'1(вО )» с»)с:О в которое следует из дифференцирования по времени очевидного равенства (Р (» 3)»»7„— 1 В результате получим„что с точностью до членов порядка малости Л справедливо соотношение с =~1+Л(р(», )„)» (», 3.~1о-') Ц Л ( Р(»„. 3.) р (», 3.
~ Цо ) »3. Подставив это значение с в (7) и перегруппировав члены„получим Р(»,, +Л, 3 !1') — р(», „3!1" ')=-(.(Р(»,— 3.!1о '))Л+ +[К(»„3) — ) р(»е, 3)р(»,-» 3 ~Цо )о»3]»»(», .м "~1о )Л. Поделив обе части этого выражения на Л и перейдя к пределу при Л- О, получим уравнение фильтрации в непрерывном времени — 1. ( Р(», 3)), 1Р(», )) ) Г(», 3)р(», 3) с(31Р(», 3). (7 3.8) где р(», 3.~~о) обозначено через р(», Х) и Г(», ))=-Я" (», 3)ХО'МН112)я(», ))1. (7.3.9) Это стохастическое интегролифференцнальпое уравнение в симметризованной форме является частным случаем уравнения фильтрации Стратоновича (6). В качестве начального условия берется априорная и.
в. начальной координаты сообщения )с(О)=. = )'о. 336 л»в,а) »ела» л»ея1 х»ся Рис. 7.1. Эволюция во времени впостериорной плотности вероягностн р(О, ),) =р,„(О, 7.,) =р,„, (~). (7.3 10) В правую часть уравнения (8) непосредственно входят априорные сведения о сообщении Х(») в качестве первого слагаемого; второе слагаемое учитывает результаты наблюдения. В отсутствие полезного сигнала или при очень большом уровне шума Г(», Ц=О и уравнение (8) переходит в уравнение ФПК. Уравнение Стратоновича (8) при ф»лльтрации в непрерывном времени полностью описывает эволюцию апостериорной п. в.
фильтруемого сообщения и тем самым в принципе решает задачу фильтрации. Качественный характер изменения апостериорной п. в. Р(», Х) во времени показан на рис. 7.1, »де Х(») — оценка истинного значения 7 (») в наблюдаемой реализации ~(»). Располагая р(», е.), можно найти оптимальну»о текущую оценку ь(») цо любому критерию (в частности, по минимуму среднеквадратической погрешности или по максимуму апостериорпой п.
в.). Однако непосредственная практическая реализация получающихся алгоритмов как в дискретном, так и в непрерывном времени обычно оказывается довольно сложной, и поэтому часто приходится прибегать к упрощениям. Точные решения возможны, например, в случае линейной фильтрации (гл. 8) и в некоторых других ситуациях (гл, 9). На с. 334 указывалось, что для приме»шмости теории марковской нелинейной фильтрации необходимо, чтобы объединенный процесс »»с(»), 3.(»)) был марковским или представлял компоненту марковского процесса большей размерности.
Из методики вывода уравнения Стратоновича (8) следует, что оно останется справедливым для дискретного марковского процесса Х(») с конечным числом состояний п и для дискретно-непрерывнозначного процесса 337 ).(«). При этом нужно лишь в уравнении (8) априорный оператор ФЙК Е(р(г, Х) заменить соответственно на оператор Колмого- рова — Чэпмепа (3.3.14) (7.3.1 5) 6 1, ( р(г, ))) =Т«(р,(г)) = ~" а,г(«)рг(«) (7.3.1 1) « =.! или оператор Колмогорова — Феллера, который для скалярного дискретно-непрерывного процесса Х(~) имеет вид (3.8.б) Е гр(«, ),))=Е(р(г. Х)) — д(г, ~)р(«, ~)+ ) р(«, 1')и().', ).)«ГХ'.
(7.3.12) Небольшое отличие в исходной постановке задачи фильтрации в этих двух случаях заключается в том, что вместо дифференциальных уравнений сообг«гений сразу задаются дифференциальные уравнения для их априорных п. в. Получим запись основного уравнения фильтрации (8) для скалярного диффузионного процесса ) («) в форме Ито при прежнем наблюленип (7.1.2), воспользовавшись некоторыми результатами э З.б. Для этого в разложении (5) и в разложении для сз нужно дополнительно учесть квадратичные члены. Вместо (5) воспользуемся теперь разложением р(Е, ! Х) =: с, [1+ р(«„~ ) Л+ (1«2) Г'(Г„Х) Лч~, (7З.!3) где Г(г,„х)= (2««то) [с„з(г„, Х) — (1«2)з~(г„, Х)3. Поскольку в дальнейшем осуществляется переход к пределу при Л- О, то важен учег порядка величин относительно Л, Заменим в (13) функцию с "(г„, Х), а в гтоследугощих выражениях с~ их матема«ическими ожиданиями. Допустимость это~о основана па ф«рмуле (3.5.15), из которой следует е'Л' з(г ))=А,Лз2(«,.,) )12.
(7З. 14) Тогда М(с ~(«„, Х)) =(4)А«о~)М «з~(«„, Х)с~ — зз(«„Х)с,+ +(1«4)з («„, Х)) (2)с«Л)з («„Х) и р(1,. ! Е) =с [1+(2! ~с„,ь («„Х) Л). Теперь для нормировочной постоянной с получим выражение сз=[1+(2)Ао)М(«,,)Я '=! — (2~«Р«о)~„х(«,)А+ +(2/Жо)зЦ„'кхв («,) Л'=! (2)А«о) Ц„о(«,) «У+(2/Лго) зз(«,,) Л, где («) = ( («, ~)р(г, Ч Ц-') И. зэк Подставив найленное значение с, в (7). перегруппировав члены и перейдя к пределу при Л- О, ил«осто (8) получим уравнение непрерывной фильтрации в форме И«о — „— ' — =-1 ,'р(г, )),'+ — [ц(«) —.с(г))[з(г, г) — з(«Цр(г, )) (73,16) Анало«этого уравнения в векторной форме имеет вид ""!' — )=~(«г(«)))+[~(«) — 8()Т)'1.'[ ( )-'( Пр( )) (7.3.! 7) 7.4. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНАЯ ФИЛ ЬТ1'А ЦИ Я Прн рассмотрении смешанных вариантов фильтрации (третьего и чствергого) требуется получить оптимальную текущую опенку сообщения ) (г) в непрерывном времени при разных формах задания наблюдения и сообщения.
Пусгь принятое колебание задано в виле «7.1.10), а сообщение в виде (7.1.7): ;„=я(«„, х„)+ио„, !7.4.1) Г),!««« = я(г, ).)+и, («). (7.4.2) Залача фильтрации в такой постановке возникает при дискретизации принятого колебания (пш«ридигер, в впалого-цифровом преобразователе с болыпим числом уровней) и необходимости воссгановления переданного впало«.ового сообщепия ).(«), Процедура получения оценки разбивается па две части: 1) в лнскретные моменты времени г,„к =-О, 1, 2,, можно осуществить учет наблюдений, как и в задаче с лискретным временем: р(г,,+О. ).)=с„р(«,— О, ).)р(с,„!).); (7.4З) 2) в шггервалах между наблюдениями производигся предсказание па основе априорного уравнения ФПК о«р(г, Ц)с«=А(р(г,))), гп(г„, г,), с начальным условием р(г,, +О, ).), получаемым в результате решения первой части задачи. По апостериорной и. в.
р(г, ) ) оп редел чегся оценка ). («) в каждый момент времени. Если лля процесса ).(«) известна и. в, перехода л()., «!).„„«,,), то для г н (г,, г„) имеем гг(г.))=-)л(), г!),— «„,)«(«„,+О,).,— ) «)., « Г7.4.4) Опенка х(г) по минимуму среднего квадрата ошибки равна ).(«)=)).р(г, ))«Г).=(пв(г!),, «,,)р(«,,+О, 1.„,)«Г), (7.4.5) где т(11»,, ! 1,,) — условное м. о. процесса» (1), ш=гп(1,!».„„1, !=)»и(»., 1!»„т, 1,— !)п»,.-3. Дисперсия ошибки находится по формуле В(1) =( [»,— ». (1)) [» — ».
(1)) "р(1, ».) Л = )3[( ) ( )3 Р( * ) (7.4.6) = ( Р (1!».„„1,, ) р (1,, + О, » „,) Ю.. ! + + ( [т — ». (1) ) [ш — ». (1))' р (1, . ! + О, »., !) с7».„ где !»(11»., !„1„!)- — условная дисперсия процесса»,(1), 1»(1~»,-о 1, !)=) [» — щ) [».— П)'к(л,!~3 -1, 1, !)с1»" Таким образом, алгоритм фильтрации состоит из выражения (3), учитывающего наличие дискретных наблюдений, соотношения Р(1,— О, ».„)=) Я(».„, 1„1»! „1,,)Р(1„, +О„»,„!)17».„н (7.4.7) связывающего соседние точки наблюдения, и формулы (5) для определения оценки». (1) при 1е (1, „1,).
Огпибки фильтрации вычисляются по формуле (6). Для выполнения вычислений необходимо знать р(~„~ ».,) и а(»., 11».', 1'). для наблюдения (1) функция правдоподобия р(г,„1».„) записывается просто. Применительно к многомерному процессу». (1) часто воз- никают затруднения в определении п. в. перехода л(»., 1~ »,, 1 ). Однако эта часть задачи легко решается для часто встречающихся в радиотехнических приложениях случаев, когда сообщение описывается линейным стохастическим дифференциальным ура- внением !7».7!11 =А(1)»,+п,(1). (7.4.8) Общее решение этого уравнения для интервала [1, „1„) при начальном условии».(1„. !)=»,(1„. !) известно: »(1)=Ф(1, 1,,)» (1„,)+и, „,, 1„,(1(1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
