Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Из вида решения (5) следует представление т, (Хо) = Ф,Хо+ т!, (8.2.7) где т,=т,(Хо=О) — м. о. апостериорной п. в. р(Хг!«о, Хо —— 0); Ф,=Ф(г, О). Теперь можно записать явное выражение интересуюшей нас п. в. р(Х, ! «', Х ) = „„, ехр — -(Х, — т,— (8.2.8) — Ф!Хо)' Я (г)(Х! — т! — Ф!Хо) . Входящие сюда «параметры» Я(г) и Ф(г) не зависят от наблюдения и могут быть вычислены заранее из уравнений (4) и (6); параметр т, находится из первого уравнения (4): с1т,)г1г = )А (г) - К(г) Н(г)] т, + К(г) «(г) при начальном условии то— - О.
Для определения Лг().о) исходным является то, что обновляющий процесс г) (г) =«(г)-М (з(г, Х) ! «о) является БГШ (см. 8 7.10), Поэтому для нашего многомерного случая при заданном Хо можем написать 388 Для рассматриваемого случая з,(Ко)=Н(г)ги ()о)=Н(г)(т+Ф!)о). Подставив это выражение в (11) и выделив члены, зависящие от Хо, имеем Л (Ха) = с, ехр ( — (1!2) (Хаю!Хо — 2Хо~аг]), (8.2.1 2) где множитель с, не зависит от )!.о; .г! = ) Ф; Н(г) Л(о (т) Н" (т) ггт, о ! а!= (Ф;Н'(т) Лго '(т) ) «(т) — Н(т) т,] дт. (8.2.14) о Последние выражения можно записать в дифференциальной форме, в частности, Ао,!Аг=Ф;11 (г)П,-г(г)(«(г)-Н(г)т,] (8.2.!5) с начальным условием о,=О при г=О.
Заметим, что «параметр» .в не зависит от наблюдения и может быть вычислен заранее. Если подставить (8) и (12) в (3) н определить нормировочный множитель с(г), то в итоге получим апостериорную и. в. р(Х! ! «о) =с '(г))рр ()о) ехр ( — (1/2) () ох!)а — 2).оок]— (8.2.!6) (8.2.1 3) — (! /2) (Х, — иг, — Ф!Хо]' Я (г) (1!ю — т, — Ф!)о]) г1Хо где с(г) =(2Я) "г~ ! Я(г) !'!~ар,(Хд) ехР ( — (! 12) (7 ох!Хо — 2Хогг!]) г1Хо. Располагая апостериорной п. в., находим оптимальную оценку 3. (г) = ().,р(7.,!«„) А), (8.2.17) Однако более оправданно находить оценку, используя исходное выражение (1) и ранее полученный результат (7): 389 «(г)=М(х(г, Ц!«о, 3.,)+г!(г)=1,()о)+г)(г), (8.2.10) где г) (г) — БГШ с коРРелЯционной матРицей Хо(Г), г;()о)=М(х(г, 3)!«о, ).а).
Из такого представления следует, что р(«о!Хо)-ехр — — («(т) — г,()о)]'Л(о '(т)(«(т)— о (8.2.1 1) — о,() о)] Ж . (8.2.19) Л(с) = Лс = г) Р () с ! его) ( [ ЛгР (Лс ! хч о ° ) о) с/Лг) с/) а = (8.2.18) = ( Р(Ло ! Цо) (ьчг+ФгЛп) с/Лс ц пгг+ ФгЛо(с), хо где Л (с) — апостериорная оценка начального значения процесса Л(с) при 1=0; )оо(С) = (Лор(Ло ! Цо) с/Ло = со ' (С) [Лора. (Ло) ехР ( — (1/2) х гс [)оокг)-о — 2Л оп,1) с/Ло, сп (С) = (Р „(Ло) ехР ( — (1/2) [ЛсхсЛо — 2Лопг1) с/Лп.
Из формул (1б), (18) и (19) видно, что для определения апостериорпой и. в. и оптимальной апостериорной оценки нужно задать априорную и. в. Р„,)сЛ ), вычислить достаточные статистики лг, и и, соответственно из уравнений (9) и (15) и определить (возможно, до получения наблюдения) матричные параметры Ф,=-Ф(с, О) пз (б) и нз (!3) или соответствуюшей дифференци- альнои формы. Особенность алгоритма оценки (18) заключается в том, что наблюдение г,о используется не только для получения текущей оценки Л(с), но и для уточнения с этой целью начального значения процесса Ло, Получим выражение для апостериорной дисперсии оценки. На основании соотношения (1) имеем Ах(с).= [(,'ч — сч)1'., —:„! ' Р(ггм ! -','.) с/Л, = =) Р(ЛО!Цо)',) (сч — с,)(Лг-Л)'сг(Л,!цо, ) 0)с/Лс) с/Ло.
хо г. Полста~и~ Л,— Л,=[Л,— стй(Ло)3+[ггг,(Ло) — Л,), получ~м ) (Л,— Лг)(Лс — Лг)'Р() с!до. ) о)с/Лг —— ([Лс — пс,(Ло)) [Л,— ь — т, (ЛсгД ' Р (Л, ! гш )„) с/ Л, + [си, (Ло) — Л,") [ис, (Л„) — Л1 =- А (С) + +Фг [Ло — Ло(с)) [) с — ) о(с))'Ф~ Здесь при записи последнего равенства использована формула !18). Возврашаясь к (20), имеем /1х (с) = Я (с)+ Ф,Яе (с) Ф;, (8.2.21) где Ксг(с)- — апостериорггая дисперсия оценки начального значения Ло процесса Л(с) при 1=0: )1о(с)=-)'[) сг-~о(с)1[Ло-) о(сЦ'Р(Ло!1о)«Ло= = с, 'с(ЛоЛо ехР ( — (1/2) [Лот ˄— 2Лап,171 Р,„(Л,) с/Лс — )чг(С) Ло (С), с, (С) = [ ехР ( — (1/2) [Лекс) о — 2Лоп 1)г Р;() о) с!) о (8.2.22) 390 Пример 8.2.1.
Фильтрация винеровского процесса. Требуется получить выражения лля апастериорной п. в. р(с, Х), оптимальной оценки Х, и дисперсии оценки яс(с) при фильтрации вннеровского процесса с)Хсгтс=пг(с) с заданной п. в. ри(Х„) начагсьссого зяачення, когда он наблюдается на фоне белого шума: 8(с)=НХ(с)-ьао(с). !8тк26) Запишем уравнения для условных !ггри нулевых начальных условиях) м. о. и дисперсии: ,)и() )У 2Нг — ' = — л(с) [цс) — ниь], — = —" — — )с'(с). ис гга стс 2 )гсо !8,2.27) 391 Полученный алгоритм (18), (19), (9) и (15) определяет оценку 1, через достаточные статистики сп, и гм Однако можно получить альтернативный алгоритм определения Лс без использования статистики лт,.
Это можно сделать путем дифференцирования (18) с последующими громоздкими выкладками. Однако более простой путь основан на использовании уравнения фильтрации Стратоновича дР(с, Л)/д)=2, (Р(с, Л))+(Л вЂ” хт)" Н' Мо '(Д,— Н)о)Р(0 Л). (8 2 23) Здесь оно записано в форме Ито, поскольку при этом существенно упрощается уравнение для оценки Воспользуемся следующим соотношением. Пусть Н(Л)=М(й(Л))=(й(ЧР(0 Л) /Л. Теперь на основании (23) имеем ЛУ/с/с =)/г (Л) Е (р(с, Л)) с/Л+ М (/г (Л) (Л вЂ” гас)") Н'!х/о ' (гг — Н~г). Положим здесь Ь(Л)=Л. При этом М(Л(Л вЂ” Л) ) =М((Л-Л)(Л-Л) ).
Если затем подставить выражение оператора с. (Р(с, Л)) для сообщения вида (8.1.59), то придем к следующей формуле: нл,//)=А(с)Л,+Л„(с)П Н (р„— НХ,), (8.2.24) где Ях(с)=) (Л вЂ” Л,)(Л вЂ” Л,)'Р(с, Л)с/Л определено выражениями (21), (22). Чтобы ограничиться двумя статистиками от наблюдения Л, и гы нужно в уравнении (15) для пс выразить иг, через Л,. Согласно (18) имеем т,=Л,— Ф,Ла(с). Подставив это выражение в (!5), получим цспс/с/с = Ф,"Н')Хсо ' НФгЛо (с)+ Ф;Н'/)/о ' (1 (с) — НЛг) (8225) На основании сравнения двух полученных алгоритмов фильтрации можно заключить, что второй (альтернативный) алгоритм имеет более привычную форму уравнения для оптимальной оценки. Однако он является более сложным в вычислительном отношении. Из второго уравнения при г-«са находим стапионарное значение дисперсии Ко=(НоН«г4Н )гг'. Для новой переменной Л(г)=Л(г) — Ля уравнение примет вид М 4Нг 2Н' К Лг поделив абе части на л'(г) и введя переменную к(г) =! Гк(г), придем к линейному уравнению сгг 4Н' 2Н' Кок-1- —, Н««Но имеющему при началы<ом условии Л(0)=0, т.
е. л(0)= — 1)Лл, решение =(г)=- — (112Кя)(14е'и), и=2НгЛ««)Хо=(Н«Нэг«йо)П*. Таким образом, Л(г)= Л .! К(г)= К й ='К й (г г КН '(Мо). Применительно к данному примеру уравнение !6) шгя переходной функции имеет вид дФ, 2Н вЂ” '=- — — К(г)Фо Фа=1. Но Записываем его решение с Н' Г 1 Фс=ехР~ — ~ Л(т)сгс) =ехР( — и) й(ат)сус)=ехР( — !пайпс)= Но о сЬ юг о Выражения (13) и (14) теперь можно конкретизироваэ.ь: 2Н' Г г 2Н' 1 Н= — (сЬ пт) 'с!т= — — 1Ьоп= — й(г /У Н'1Л'о), Но пНо о 2НГ 1 и, = — ~ (с (т) — Нт,) сгт.
Но ~ сЬ ит о В итоге прилем к следующему выражению для апостериорной п. вл Р(2,!с'.)=(2~Ко) П'/! — -Р(3.)Ц) ~Р~--~~.,— ал — — ) (Ляйсн) ~гйн 2 йос 2(, сЬ пг) (8.2.28) г де апостерио рная п. в. начального значения процесса Х(г) при г = О дастся выражением г р(уо!ч(«)=с '(г)р, (Хо)ехр — ( — — Хо-2г«уо !8.2.29) г с(г)=(Р „(Ьс«)схР2--( 3 г — 2««,уа сгуа. 392 В соотвеэсгвии с !18) получим оптимальную оценку Х (г) = лгс -~- Фс учэ (г) = лг«+ Хо (г ) ГсЬ пг, где ! о(г) =(3.оР(йо(9о) Ж.о Дисперсия ошибки определяется выражениями (21), (22): Л (г) К(г)ЬФгЛ (г) Л йел ! (сЬпг) — гЛ (г) (8.2.30) (8.2.31) Ко (г) = ((оо — уо) ' Р (1 о ! 4 о) ос хо. Даже для рассматриваемого простейшего примера получить аналитические выраясения для Хо(г) и Ко(г) не удается и требуется численное интегрирование. Пример 8.2.2.
Влияние начальной дисперсии. Полученные выше выражения (30) и (31) вьглеляют в явном виде влияние априорного распределения р,„(йо) и наблюдения на оценку и дисперсию ошибки. Для получения замкнутых выражений рассмогрим тривиальный случай. когда априорное ряспрслсленис' является но!эмааьным: рг,(«о)=.Но(гио, 1Эо). В данном случае аностсриорная и. в, !281 будет нормальной: !8 2.32) 18.2.331 йпг ! 4Н'„,/ 1 Н / 1Ь(пгН„(Нл) ай(ясо) 393 р(2о(ч')=Н(ЭЗо(г), Л (г)), где хо(г)=-Ло(г)(о ~-то)рго). Кс«(г)=(гэо -1 с" пг(Л ) Выражение лля оптимальной оценки примет вид ло(г)(о«жгггог гэо) г!о (г) г «1 !«о (г) Х (г) = «я, -1- т, -1- — — -1- — лго. сЬиг (с сбег ) 2эосппг Здесь первое слагаемое определяется в основном наблюдением, а вгорос параметрами априорного распределении для 3 с«. Физически ясно, что при г са множитель то и о, стремится к нулю и, следовательно, 1«(г)- тс Волос наглядно влияние парамегров априорного распределения виляо нэ выражения для К,(г): К (г)=-К йщш(сЬш) г(Н 'г+йаг1Ки) =Ко йссг.ь (1 — !Ьгпг)гго) Ко(йоФКлгЬси) !8 2.34) Кя Ьгэ.
) Ло-.. Ь Есэги начальное значение !.о фиксировано, г. е. 2эо — О, то Л,",(г)=Л„!Ьа!. При полном отсутствии априорной информации о Хо, г. е. при гэо — «со, имеем Л„*'(г)= =К„Г!Ьпг. Естественно, что в обоих крайних случаях, как и при любых значениях гуо. К,(г) Ля при г- ° оэ. Примем в качестве коли честнен ной харакэ ерисэ ики выигрыша эа счет апРиоРной инфоРмации о начальном значении Ко отношение иг=(Н ННо)-, которое показываег, насколько нужно увеличить мощность полезно«а сигнала (величину Н'! в наблюдении [2о] при отсутствии априорной информации (Оо сс), чтобы дисперсия ошибки К,'(г) совпадала с дисперсией ошибки (34) прн наличии информации (Ноиса), Для этого представим Л,"(г) иначе: Рис.
8.7. Зависимость выигрыша в мощности а~да полезного сигнала ог времени лля трех 10 значений начальной дисперсии Лч +»ЭЕ й Са 8+ гй Ы Л ай(аш)= — ' =, 8= —. »э~+Лайн» 1Ьбгйги' »ЭС (82.35) Введенный царамегр б прсдшавляет собой отношение апосгсриоряой дисперсии ошибки оптимальной оценки к априорной днспсрсии начального значения кс. На рис. 8,7 для трех значений б приведены графики, харакгсризующие выигрыш (в децибелах) в мощности полезного сигнала за счет уточнения априорной информации о Кы С увеличением 8 (уменьшением»зе) этот выигрыш возрасгас!. 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
