Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В том случае, когда !.„(г) — часть первых компонент ).(<), матрица 3 размера и х г выбирается в виде !'= (1„, 01, где !„-.-единичная матрица размера г х г; 0- — нулевая матрица размера г х (и — г). Можно получить систему уравнений для Рис. 8.9. Зависимость апостсриорных дисперсий ошибок для трех вариантов применения двух фильтров Калмана я( ( л(з и( а(б=х(О( л„((), (8.5 7) (ле сообщение Х(() может быть разным: г(х(г((= (г (().
((о)г(г= г(, г(а)г((= — ()г(-~- и„((), нли г(7)г((= »((), г(нгв=-л„((). (8.5.8) (8.5.9) Зде(ь л,(г) н и„(()--Б!"Ш с одное(ороннимн спектральными п(ютносгямн (5(. и (х(, соответственно. ' Катарннов )О. М., Соколов (т. И., Юрченко Ю. С. Субоптнмальные алгорит. мы линейной фильтрации(('Зарубежная радиозлекгроника. — !987.— 7(е 8.— С. 52- бб. 40б корреляционной матрицы оши- бок В,((). Она аналогична урав(ам пениям анализа чувствительности фильтров Калма на (см.
8 !3.!). Естественны попытки разрал( ря ботать «оптимальные» в том или ином смысле процедуры понижения порядка фильтров'. При рассмотрении такой задачи обычно исходят из того, что заданы (ак (г х п)-матрица П, осуществляющая понижение порядка )т =П)., и структура фильтра пониженной размерности ()),)г)(=А„) +К„~(()+т((). (8.5.6) Оптимизация заключается в выборе А„, К„и гп. Функция пг(() выбирается из условия песмегценности оценки М().„(() — ).„((),! =О, а А„и К„- из условия минимума среднего квадрата ошибки с'(() для заданного временнбго интервала. К сожалению, процедура синтеза оказывается довольно сложной.
Недостаток одних субоптимальных фильтров заключается в том, что оптимальность достигаешься только для интервала фиксированной длины и при изменении с(о оптимальные матрицы А„(() и К„(() должны определяться заново. Для других субоптимальных фильтров матрицу Аг(() приходится считать известной и определять только К„((). Пример 8.5.!. Фильтр Катмана поннженной размерности. Пусп задано аннейное наблюдение На рис. 8.9 приведены зависимости апостериорных дисперсий ошибки Лт! от г= Ж( (г~., г — *г ния; (у((() -априорная дисперсия соответствуюшсго сообщения х((), для трех случаев: !) входной сигнал 9(() с сообщением (8) воздействует ва оптимальный фильтр Калмана (кривая 1); 2) сигнал 9(() с сообщением (9) воздействует на соответствуюший ему оптимавьный фильтр (криван 2) и 3) входной сигнал ч((), определенный выражениями (7), (8), воздейс!.вует на фильтр пониженной размерности, являющийся оптимальным для сообщения (9) (кривая 3).
Видно, что лри каждом фиксированном значении 9 апостериорная дисперсия ошибки наименыпая для кболее гладкого» сообщения [8) и наибольшая для кменее сглаженного» сообшения (9); в случае 3 прн использовании фильтра пониженной размерности кривая занимает промежуточное положение, т. с. апостериорная дисперсия по сравнению со случаем ! увеличивается, но нс очень сугцес! ванно.
8.6. БЫСТРЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА И АДАПТИВНЫЕ ВЫРАВНИВАТЕЛИ В ряде случаев канал связи, через который проходит излученный сигнал, на конечном интервале времени можно моделировать линейным фильтром с постоянными параметрами, имеющими ограниченную полосу пропускания. При прохождении полезных дискретных сигналов через такой канал в принимаемом сигнале будут иметь место межсимвольные наложения (в литературе они часто называются межсимвольной интерференцией).
При обработке в дискретном времени данные можно представить в виде процесса авторегрсссии с,„= ,'! )(ст„(+и„, (8.6.!) (= 1 где ()(,) — импульсная характеристика линейного фильтра, моделпруюгцего канал; у„( — отсчеты полезного излученного сигнала; и„— отсчеты дискретного БГШ. Наличие в наблюдении с„задержанных сигналов приводит к коррелированности значений г,„ я г,„»л, )гу!О, даже в том случае„когда отсчеты процессов я (лт) некоррелированны при разных Один из способов решения задачи приема при наличии межсимвольной интерференции состоит в пропускании последовательности отсчетов ((":,„) через обеляющий фильтр, который устраняет корреляции между значениями выходного процесса (т),,) в различные моменты времени.
В результате прохождения «п(йрокополосного» сигнала (у,) через линейный канал с ограниченной полосой пропусканйя спектр принимаемого колебания (г,„) сужаез.ся. О 6еляю гний фильтр в какой-то мере «восстанавливаетет», выравнивает спектр излученного сигнала и тем самым устраняет межсимвольную интерференцию.
Поэтому такие 407 обеляюшие фильтры часто называют выравнивателями, или эквалай зевами. Общая методика обеливания последовательности значений процесса 1г,„) сводится к вычитанию из ~„, условного м. о. ( ... Ь Ч,.~=с,. — М(8,+~!г,в). Очевидно, что М(Ч„„) =М(М!Ч„,Д;»,,= =М (М (Я,„,!йо ) М (1,!1о»ц=0 Здесь при вычислении м.
о. выделено осреднение при условии наблюдения г, в до момента к включит ельно с последуюшим осреднением по Ц. Рассмотрим взаимную корреляцию различных элементов г)„ и Ч,,,„, р>0, последовательности (ц„): М(Ч,,Ч„,»=М(М(цл)„„,!1 -'»,-..., „= — М юг!„М(Ч !ьо»ы " ' 0 Здесь было использовано то, что при фиксированном Ц'и р>0, значение !1,, известно и его можно вынести за знак выделенного м. о, М! !Ц"" '). После этого получаем М(т),,,я!Ц+в '), которое, как было показано вьппе, равно нулю. Такйм образом, г)„и т1„, „некоррелированны при р > О. Считая процесс стационарным, из свойства симметрии корреляционной функции следует„что этот результат справедлив и при р(0, т.
е. "'1 Л.~! -~я~= (77„, р=о, рФ0. (8.6.3) Спедовательпо, основная задача адаптивных выравнивагелей сводится к предсказанию очередного элемента последовательности отсчетов Ц,, на основе наблюдения прошлых значений. Исходя из соображений простоты реализации адаптивного выравнивателя его структуру чаше всего выбирают в виде Г,„,, = М (~... ! е,", „,, ! = а',4", к > и, (8.6.4) где а„— р-вектор весовых коэффициентов адаптивного выравнивателя; г„— р-вектор последних предыдущих значений последовательное~и 1,„: ь'= Д,„~, ы ..., 1,„, „, ). При этом задача сводится к определению коэффициентов а„, т.
е. к идентификации модели процесса К выражению (1) можно прийти, выбирая определенным образом вид последовательности $„). Примем ее р-связанной гауссовско-марковской, описываемои уравнением 4оя ~„,, =а„'Г "+ пв„~,, где вектор а и дисперсия У„дискретного белого шума пв„~, неизвестны. При такой формулировке задача прогноза сводится к тому, чтобы по наблюдению Ц определи~ь наилучшую оценку а„=М(а!Ц) вектора а.
Действительно, $. ~ ~ = М Я.-~ ~ ! ь о ) = М (М (1. ~ ~ ! ( о а) р,., ! Р в ), — — а,', Р,", что совпадает с (!). Эту задачу можно свести к задаче линейной фильтрации. Рассматривая а как вырожденную последовательность а„=савв!(х), можно написать уравнения наблюдения и сообпгеыия г,„= Н„а„+ вв„, (8.6.5) а,=а„ (8.6.6) с начальным условием М (а„=в) =М (а) =ш„М ((а — ш„) (а— — ш„)'1= 0„.
В (5) введено обозначение для р-вектора Н„=- [~'„' который на к-м шаге известен, поскольку задано наблюдение Ц. Особенность уравнений (5), (6) по сравнению с обычной постановкой задачи калмановской фильтрации состоит в том, что в уравнении сообщения (6) отсутствует шум (ф„=- О) и, кроме того, неизвестна дисперсия У, шума наблюдения; последнее отличие непринципиально (см. ниже). Аналогичная задача была рассмотрена в примере 8.!.3, Уравнения фильтра Калмана для фильтрации а,, в форме (8.139) принимают вид а,, = а„, + К„(~„— а„'., гв '), К„= В„Н"„!(Н„В,, Н '„+ У„), (8.6.7) И„=(1-К„Н,)В„,.
Обозначив Р,=К,,~У„, эти уравнения можно записать в следующем виде: а„=а„, +К„(Ä— 9„), (8.6.8) р ~ю — 1
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
