Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 79
Текст из файла (страница 79)
задача фильтрации А(г1 и гр(1! есть задача нелинейной фильтрации, так как гр(1) входит в уравнение наблюдения (10) нелинейно, а 1шя А(1) нелинейным является уравнение сообщения (14). Решение задачи нелинейной фильтрации существенно сложнее, чем линейной.
Поэтому гораздо удобнее определить сначала апостеРиоРнУю и. в пРопесса Х(!1== Р.,(1), хх(11] пУтсм РсшениЯ задачи линейной фильтрации, а после этого, ьольз1ясь формулами связи (!3), вычислить апосгериорную л. в. для А (1) н гр(1) и, следовательно, лолучпть их оптилгальньгс оценки.
3. Квазислучайные процессы. Назовем квазислучайными такие процессы, которые полностью определяются заданием своего значения в некоторой точке (например, при 1=1 ). Для марковских диффузионных процессов это эквивалентно тому, что процесс удовлетворяет уравнению Л./а=] (1, ).), (9.1.15) особенностью которого является отсутствие БГШ в правой части. Иначе, марковский квазислучайный процесс имеет нулевой коэффициент диффузии ХхшО. (9.!.1б) Действительно, нз условия существования и единственности решения дифференциального уравнения (!5) следует, что задание значения процесса )г(1 )=7.
в произвольной точке 1о полностью определяег его попедение при всех 1 (иричем время 1 может быть как гэ 1о, так и !<го): )" (1)=Ф(1 1о 3-о) (9.1.! 7) где Ф(1, 1о, ао) — -решение уравнения (15) с начальным условием )'о пРИ 1 10 ' Квазислучайные процессы весьма часто используются в практических задачах. На основе их может быть выполнен синтез обиаружителей и раэличителей сигналов 8 9.2, 9.3), измерителей постоянных во времени параметров сигналов 6! 9.5). Кроме того, такими процессами можно описывать поведение реальных по- 414 движных объектов на небольших временных интервалах. Например движение объекта по одной координате иногда задают уравнениями 1 (1 го) (1 — 1о) /2 01 (1 — 1) 0 0 1 г/х/г/1 = о, с(п/с/1 = ам гга/г/1 = О, =Ф(1 1о))"о.
(9.1.1 8) где ).о= [х, оо, ао)' — координата, скорость и ускорение объекта при 1=1о. Такое задание соответствует .гак называемой нолиномиалыгой модели двиэггенил, так как при этом х (1) = хо + по (1 — го ) + и о (1 — 1о ) з/2. Уравнение фильтрации Стратоновича (1) для сообщения (15) принимает вид — [/'(1„Х)р(1, ХЦ+ [Е(1, Х) — (1ДР(1, Х). (9.1.! 9) Покажем, что его решение при Р (1о ) о) =Рр, () о) дается выражением начальном условии 415 р(1, Х) =с(1)р„„(Ф(1„1, Х)) г[е!(1„1, Х) ехр () г [т, Ф(1„, г, Х)1г/т), (9.!.20) где с(1) — нормировочный множитель; г]е! (1„, 1, )ь) = = [дФ'(1, 1, ).)/гэ).] — определитель матрицы с элементами (дФ,.
(1о, 1, 7)/д)3),"1 В справедл1!ности решения (20) можно убедиться непосредственной подстановкой его в (19). Однако технически проще эвристическое доказательство, использующее свойство квази- случайности процесса Х (1). Для этого, базируясь на решении (!7), введем для сигнала в(1, 2.) эквивалентную запись ~ (1, 3. )=.т(1, )г=-Ф(1, 1„, Э, )). (9.1.21) Для всех точек интервала наблюдения сигнал в (1, ).о) зависит от постоянной случайной величины Хо. Поэтому задача сводится к оценке сл. в. ).о с априорной и.
в. р „(). ) по наблюдению 'ч (1) о (1 3" о) + н (1). (9.!.22) Решение такой задачи известно (б.1.19): Р(1, ).о)Г е(1)Р „().о)ехР ( (Р(т, ).о)с/т)„ (9.1.23) где с(1) — нормировочный множитель; Р(т, ).о) — производная по времени от логарифма функционала правдоподобия для наблюдения (22). (9.124) 4. Диффузионные процессы с нелинейным коэффициентом сноса. Рассмотрим сначала одномерный процесс, заданный стохастическим дифференциальным уравнением г!) /г!! =,/()-)+ л,(!), (9.1.25) коэффициент сноса ! (Х) которого удовлетворяет условию д/~~ и+(2/Ь,) ('().) = т.'+ И.
+ С. (9.1.26) Отметим, что при линейном коэффициенте сноса /'())= — иХ диффузионный процесс Х(г) будет гауссовским, а при нелинейном негауссовским. В качестве последнего можно привести пример процесса, заданного уравнением Ю/гл=г)гх+л,(!), М(л,(!)гг,(г+т))/ 8(т), Л',/2=1. (9.1.27) Для такого процесса условие (26) выполняется: , '"',г'"'г =а '(' гг* )=' сьг х причем А=В=О, С=-1. Пусть уравнение наблюдения линейно относительно Х: Ц(!) =//) (г)+гг.
(!) (9.1.28) Тогда при выполнении условия (26) и начальной априорной и. в. 4гб Согласно (17) сл, в, х(!) п )чг — — Х(г„) связаны детерминированной зависимостью. Поэтому для получения апостериорнои п. в. р(г„Х) достаточно воспользоваться известным правилом пересчета и. в. при фушгцнопальпом преобразовании сл. в. (!.1.42).
Если 7 =-1; ().гг) и Э.а:=!' С ), причем задана и. в. ре (Х„), то !г().)=-р,(!г()))!д!г())/д).!. При этом следует учесть известное свойство фундаментальной матрицы ) (!)=Ф(б г„, Э.<,), а именно: преобразование (17) являет.ся взаимно однозначным. Поэт ому ), =. Ф (1„, г, 3.), В результате выполнения необходимых преобразовашпг придем к решению (20). Возвратимся к пропессу х(г), описываемому полиномиальной моделью (18), когда наблюдение имеет вид Р(!)=х(г, х)+л (!). Для этого примера найдем Ф(г, ))= )г(!.— )7, де!(г.
~)=!Ф'(!.— !)!=1, с р(П Х)=-с(!)рр (Ф(ге !)Х)ехр() г(т Ф(го т)Х)г/т)= =-с(!)рп. (Ф(!е — т) Х) ехр ( ( Г(т, х+(г„— г)гг+ а (г — 1„) ~/2)г/т). г„ (9.1.31) с начальными условиями лгг (0) = иго Яг (0) = /!о. (9.1.32) Для доказательства запигцем уравнение (1) применительно к задаче (25), (28): ( Х ) р з + + ~ Г ч ( ! ) 7 Н Х 1~ др(б ~) д О Подставим сюда и. в. (30).
Тогда левая часть примет вид Г ! г!с Х вЂ” ггг, гзгггг Х вЂ” ьчг гИг1 р(б Х) — — + ' — '+ ( аг Л, г 2Л;",!г )' Учитывая, что для п. в. (30) выполняются соотношения распишем правую часть уравнения (33): г!Г /~ (Х вЂ” кп)У Хг„~ / 7/~ ! 2 4/ 4(Х вЂ” гггг)/ (Х вЂ” т,) г2х л~, л, 4~1 гч ) хгл. хгд, л1 ц!)) г!) 2 (9п.зз) 4г7 г 4 — 2247 Х р„()) = с ехр — / (х) г!х — - ().— ага) /р,„ где г--- нормировочная постоянная. Уравнение фильтрации (1) имеет точное решение: г р (и Ц = г (!) ехр — / (х)г/х — —, (Х вЂ” т, (г)) 2/Я, (г), (9.! .30) причем параметры т, (г) и Яг (!) удовлетворяют уравнениям г)п|, (! ) !г)! = — К, А 1 1Ч ' ' Ал ш ! -Ь К ! Н ' 1Ч е ' [й (! ) — Нш ).
Ж ! (! ) гй! — Н, К, [А,' 74 г' А, + Н" )Ч о (9.1.42) !9.1ИЗ) 418 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях («.— гп,) в правой и левой частях (33), получаем уравнения (31) и (32). При этом выбор начальных условий кп (О) = то, Я! (О) = Яо обеспечивает выполнение равенсгва р (О. «.) = ро («.), где ро («.) задано (29). Для многомерного случая уравнения (25) и (26) принимают вид д«/г/! = $(«.) + пл (1), (9.1.34) (г (дг'(Х)/дг)+ Г(а/)Х(л ! х (Х/=«.'АЛ+ В'Л+С. (9.1.35) В дополнение к этому необходимо, чтобы Г(Х) была градиентом некоторой скалярной функции Г(Х): /(Х) = дГ [Л)/Л.. (9.!.36) Напомним, что достаточное условие этого заключается в выполнении равенств д/;/д«у=д/;/д«ч, г, /'=1, М, причем м Г(Х)= 2.' ( /г(«.!, ..., «и „х, «.ге!, ..., «.л!)г/х.
!=! Пусть наблюдение имеет вид, аналогичный 128); ьз (!) = Н«" + по (!) 19.1.37) Тогда решение уравнения фильтрации дается выражением р(1, «)=г(!)ехр!1Г(«) — (1/2)(3.— гпл)'йл '(«.— Гп!)). (9.138) Здесь г/и!л (!)!!г/! = — В! [Ашл+ В(+В! Н')х(о ' ~~(!) — Нгп, 1, (9.1,39) г/В! (!)/г/! =)Х)л — В! [А+ Н' ~ о 'Н(В! (9.!.40) с начальными условиями т! (! =О) = во, Кл (! = О) = йо, где Гпо и Во — -параметры начального априорного распределения, Р(0 «)=/!о(Л)и еехр(ГР) (1!!2)(Х-то)'Во '(«.— шо)). (9 1.41) Доказательства приведенного результата выполняются так же, как в одномерном случае.
Пример 9.1Л. Фнвмрвцна гауссовсиого процесса. По наблюдению (37) нужно осуществить фидьтрацпю гауссовского процесса Л(!), заданного стохастическим уравнением !ГЛ/с!г=А„Л4 п,(!), М(п„(!)в,(гчт)г-— р)лб(т). Очевидно, что такой процесс является частным случасл! св. пр., заданного уравнениями (34), (35) при А.=А1!Ч, ' А,, К=.О, С=1г(А„). Двя него уравнения (39) и (40) принимают вид П Р(' Л)=с(!)ехр - Л'А Л 1 ( !2Я)п'- ',!, !-иг! с"Р— — (Л вЂ” Л)'[К; А э(Л вЂ” А„! 19. 1. 441 гдс а корреляционная матрица ошибок фильтрации К=М((Л.-Л)(Л-Л) )=[К, !-А,] '=[1 — К,А,] 'К,. !9.1.46) Если продифференпировать (45) н 146) по времени и подсгавнгь в цих подученные выражения 139) и 140), то можно прийти ь уравнениям !8.1.61).
Пример 9.1.2. Фильтрация негауссовсиого процесса. Пусп наблюдение имеет вид !28). а филыруемый процесс задан уравнением г) /г)!=ой!!3Л)+п,(!), К ! Ал ) ' ' гп, (9, 1. 45) (9.1.47) являющимся обобщением уравнения (27). Запишем условие !26); г! 2а' и(3 2пз Г и — - !Ь 0)л) 4.— й !(3Л) = — — — 4 — !— Если Лл!2=п/(3, то имеем частный случай (26) при А=В=.О, С=2и'/Мл=п(1. Заметим, что и и (3 должны иметь одинаковые знаки. так как п/б=дл/2>0. При этом, как следует из (3.4.38!.
процесс Л(!) не имеет стационарного распределения и дисперсия процесса стремится к бесконечности. На основании (30) записываем точное решение уравнения Стратоновича !1) р ! 1, 1 ) = с (! ) елр 1 — ( й Р хдх — — — -- -- — (, (2пз / 1 Р,— зи, !!) 11) (нл 3 2 Я!(!) (9.1.48) где согласно (31) и 132) йи, 21! НЛ, Агл 2Нл Но и! - Но --.-'= — К,[1(!) — нт,), — ' — — — ' — гз.
(9.1.49) Учитывая, что (й.тг)х=!псьх, и определяя нормировочный множитель, двя р(г, Л) получаем окончательное выражение ехр((уиг!) Н(хи!+!)Л„Л!)+ехр( — !3т,) Н(ш, — (3Л„Л,) ехр0)ги) оехр( — 1!ги) !де Н(гп, тг) — нормальная п. в. с м. о. ги и дисперсией Я. (9.1.50) 419 Уравнения 142) и !43) отвичаюзся от уравнений оптимальной линейной фильтрации (8.1.61) двя Л(!) и К(!). Причина этого заключается в том, что параметры в,(!) и К,(!) имеют другой смысл.
Как видно из (38), они ае являются м. о. и корреляционной магрипей апостериорной и. в. Дсйствитсвьно, при ГЦЛ):=-11!2) Л'А,Л из (38) имеем С использованием (50) находим оценку (лч+рлс)ехрфт,)+(сл, — 13Я,)ехр( — [3л~,) х(с)=[хи(с, х) и),=- ехрфщ,)нехр( — рт,) =т, 4 Рл,сь Рсссо (9.1.51) Попутно отметим, что оценка Х' по максимуму апостериорной и.
в., получаемая нз условия др!с, сгч)сИХ=О, удовлетворяет трансцендентному уравнению, совпадающему по виду с [5!): л*=эл, +РЯ, !Ь РХ*. Для опрелелсния дисперсии вычислим сначада момент всорого порядка [Я, +(ш, + ряс) ]схрфт,)4 [Я, +(сл, — ВЯс) ]ехр( — рспс) М !!с (с 1),сэ ехр(рглс) 4 ехр! — 13ш,) =лс с Г [3зл [с-! 2ссссбйсСЬ Рлсс 4 Я,. Теперь находим апосгсриорную дисперсию Я(с)=м — хз=Я ч р'Я',(1-пэ'р 3 (9,1.52) Видно, что апосгернорная дисперсия Я (С) зависит от т,(с) и изменяется от Я, псэи св,(с)-э ю до Яс ! 13 Я с псэи ссс, (с) О.
Среднее значение лисперсии ошибки фильтрации Н, (с ) получается осреднснисм Яр) по ш,(с).Н,(с)=М„,(Я(с)]. Результаты расчетов с помощью ЭВМ диспсРсни СЭ,(с) пРи и= Р= су,12=- Ие12=-1 воспроизведены на рис. 9.!' для нескольких значений Н. Дисперсия Р,(с) 11Н прн с-гю. что являешься слелствием болсе общего результата Ре(ц дб и 5 1 и -1 1пп Н,(с)= 1пп М[Я(с, т,)3=Я, -4 Поэтому срслнее значение второго слага- И С 2 5 4 5 б 7 б и Е Рис. 9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
