Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 75
Текст из файла (страница 75)
ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КОЛМОГОРОВА — ВИНЕРА Хотя линейная фильтрация в дискретном времени была разработана А. Н. Колмогоровым раньше (1939 г.)', чем фильтрация в непрерывном времени Н. Винером (1942 г.)', начнем рассмотрение со второго варианта. Задача формулируется так. Оценке подлежит случайный процесс я.(») по наблюдению 9(») на интервале 1и, Ь~, связанному известной зависимостью с фильтруемым процессом ) (»).
Предполагаются также известными корреляционная функция Я(~»„»з~ процесса Р,(») и взаимная корреляционная функция )!хе(»1, », между процессами ).(»,) н Р(»з) и дисперсия 2)х(»)=»хх(», » процесса ) (»). Примем м. о. процесса г,(») нулевым. По критерию минимума среднего квадрата ошибки фильтрации ' Колмогоров А. Н. Интерполирование и экстранолирование стационарных последовательностей!(Изв. А1! СССР, Сер. магем. 1941.— -)!»е 5.— С, 3 — 14.
' %(епег )Ч. Ехггяро1айоп, 1и!егро!агшп апд бшоойшй оГ 8»абопагу Т(ше запев.— )ч.г'л»ойп Цг!)еу, 1949.— 162 р. 394 Приравняв это выражение правой части (34), получим уравнение для определения а: е'(»)=М(~)ь(») — 7*(»Ц') =ппп (8.3.1) х'(ю) нужно получить линейную оценку 2.'(») процесса я.(») для любого заданного». Поскольку отыскивается линейная оценка (среди линейных фильтров), то она должна иметь вид ь )ь'(») = )7! (», о) Ь,(ц)й>. (8.3.2) а Именно вследствие линейности оценки для решения задачи оказывается достаточным задание указанных корреляционных функций.
В результате решения задачи должна быть определена импульсная характеристика линейного фильтра Ь(», г) и получено выражение для е'ш(»). Отметим отличия в исходной формулировке данной задачи от задачи оптимальной фильтрации, которая была рассмотрена в 8 7.1, 8.1. Во-первых, в изложенной ранее теории оптимальной фильтрации для оценки находились дифференциальные или разностные уравнения, а в приведенной исходной постановке задачи отыскивается весовой множитель Ь(», т) под интегралом, через который сразу определяется оценка. Например, применительно к наблюдению вида Р,(»)г к(», ).Я)+по(») а<»«Ь, (8.3.3) где ).(») задано уравнением (8.1.14), стави~ся задача получения аналитического решения для оценки )ь'(»), т. е.
решения уравнения (8.!.17) Калмана — Бьюси (см. 8 8.4). Во-вторых, в принципе наблюдение может зависеть от оцениваемого процесса ) (») произвольным, но известным образом. В-третьих, в лннеиной фильтрации Колмогорова — Винера ослаблены требования к априорным сведениям относительно ) (») и Р, (»), а именно: нужно знать только )г( и 11цр Так, применительно к наблюдению (3) при взаимно независимых ) (»!) и ло(»з) требуется знать )(,(» „»з) = М (я (» з, 2. (»!)) у (»з, (»,))) + )(„,(» », »,) и Ях((»з, »з) = М () (»! ) г,(»з )). Следствием этого является неоптимальный характер оценки ) '(») в общем случае. Оценка )."(») будет оптимальной в тех случаях, когда пРоцессы ) (»!) н 9(»з) совместно гаУссовскис. Действительно, оптимальной оценкой по критерию (1) является условное м. о. )ь(») = М ().
(») (Ь,.'). Из формулы (2.6.! 7) следует, что если ь'. (», ) и г, (»з) совместно гауссовские, то условное м. о. для дискретного времени есть линейная функция от наблюдений. Этот результат останется в силе и при переходе от дискретного времени к непрерывному. Поэтому оценка (2) будет оптимальной по критерию (1), и результаты линейной фильтрации Колмогоро- 395 ва-Винера будут совпадать с результатами оптимальной линейной фильтрации 8 8.1. В-четвсртых, ставится задача получения оценки )ь'(Е) для произвольного момента времени Е, в том числе и не принадлежащего интервалу наблюдсния [а, Ь1.
Это охватывает задачи еильтрацееи (прн е=Ь), интерполяции (е(Ь) и экстраполяции Е>Ь. ерейдем к решению задачи- — найдем такую весовую функцию Ь(е, о), которая минимизирует средний квадрат ошибки "(Е)=М([7(Е)-ХЬ(Е М) Е'Г) (8.3.4) и Введем для линейного оператора обозначение ь Н(~) =(Ее(е, ее)1(о) Еех а Тогда ег(е)=М ([) (е) — ) "(е)3з) — — М ([)ь(е) — Н(«)3"). (8.3.5) Докажем, что минимум этого выражения достигается для весовой функции Ь(е, о) и соответствующего ей линейного оператора Н («), удовлетворяющих условию М ( [). (Е) — Н К ) )з ь (о)) = М ( [) (Е) — )ь* (Е))з «(о)) = 0 при всех он[а, Ь3.
(8.3.6) Для такого оператора Н(«) минимальное значение среднего квадрата ошибки определяется формулой е„'я„(Е) = М ([1. (Е) — Н (Ц Д 3. (Е)). (8.3.7) Физический смысл этого условия заключается в некоррелированпости текущей ошибки [).(Е) — ).*(Е)1 со всем наблюдением «(о), он[а, Ь1. В литературе зто свойство часто называют пЕЕинииьеом ореногоьеальносеии оеиибни и наблеодееееея.
Пусть Ь„(е, в) — оптимальная весовая функция (минимизирующая е~), а lе(е, в) весовая функция оператора Н(Ц, удовлетворяющего (6). Положим Ь(Е, о)=Ьь(Е, о)+Ьь(Е, о) и соответственно Н(«) = Нь (Ц) + Нь («). Представим минимум среднего квадрата опеибки в виде -' ()™1[ (~)-Нь(«)Г)=М([~(~)-Н(«)-Н йЛ') (838) Так как по определению оператора Н(Ц разность 7 (Е) — Н(«) некоррелированна с «(ю), еьн[а, Ь~, то она некоррелированна и с любой линейной комбинацией от «(г), в частности с Нь(«). Поэтому М ([7.(е) — Н(«)3Нь гете)) =О.
Расписывая правую часть (8) и используя это равенство. получаем 396 ,2 (Е) М ([) (е) Н(( )) Я)+М (Нз (Ц)) Второе слагаемое в правой части. зависящее от наблюдения, неотрицательно, Поэтому для достижения минимума оно должно равняться нулю: М(НЕ («)) =О. Отсюда Нь(«) =О и, следовательно, НЯее — — Нь(«), что и завершает доказательство.
Поскольку при оптималыюм операторе Н(с) разность ) (е) — Н(«) некоррелированна с Н(«), то легко получаем формулу (7): '-.«М([7()-НФ1з)™([)(Е) — НМ[Ч~)-77ФЗ= =М([).(Е)-Н(;Д) (Е)). Учитывая введенные выше обозначения корреляционных функций, условие (6) можно записать в виде Ам(е„в)=(Ь(е, о,))Е,(о„е)доо он[а, Ь3. а Таким образом получено формальное решение первой части задачи — оптимальная весовая функция находится из интегрального уравнения Винера (9). Хотя для некоторых практических задач разработаны методы аналитического решения этого интегрального уравнения, однако в общем случае оно может бьнь решено лишь численными методами па ЗВМ. После того, как оптимальная весовая функция определена, значение с~;,(е) находим по формуле (7): с' (е)=Кь(е е) — [Ь(е о)ЯВ(е о)еЕе> (8.3.1 0) й Отметим, что если м, о, наблкьдаемого процесса «(Е) не равно нулю, то вместо (2) оценку следует искать в виде ь 3'(е)=)е„+(Ь(е, о)~(е1) Е.
О Для определения постоянной Ьь можно использовать условие несмещенности оценки: ь М(7.( )-܄— )Ь(Е, )'(«)Ео) =О. (8.3.1 1) а Выражения (9) и (11) позволяют решать различные частные задачи линейной фильтрации в непрерывном времени, соответствующие конкретизации процессов ь'. (Е) и «(Е) и различному заданию интервала наблюдения [а, Ь1.
Обычно основная трудность заключается в решении интегрального уравнения (9). Укажем кратко методику решения задачи линейной фильтрации в дискретном времени. Нужно по критерию минимума среднего квадрата ошибки получить линейную оценку 397 г 'г.„= ,'1 Ь„гР,п 1<г'<Ь, !=1 значения процесса 1!.„=Х(у„) по наблюдению процесса сп когда известны корреляционные функции Ах(г, /) = М гг1,ггггтг, Кг(т', о) и Агг(гг, г)=М ()с Рг), 1 <гЯ)г. Повторяя предыдущий вывод (с учетом перемены обозначений и замены инзегралов суммами), для определения весовых множителей получаем обычное линейное уравнение, являющееся дискретным аналогом уравнения (9): Кц(т, г)=- ~г Ь„Яе(/, 1).
у=о Если ввести векторные обозначения К„=Вы(9, г), г'=1, Ь; Н„=Ь„п г'=1, Ь, и (Ьх Ь)-матрицу К4 — — Яе(г',7), 1,1=-1, Ь, то уравнение (12) запишется в виде К„= К,Н,. (8.3.13) Формальное решение этого уравнения дается выражением Н,=Ке 'К„. (8.3.14) Однако фактически реализовать это решение обычно не удается, так как при больших Ь обращение матрицы Ке требует в общем случае приблизительно Ьз операций умножения и сложения. Возможный способ решения уравнения (14), требующий меньшего числа вычислительных операций, основан на алгоритме декомпозиции матриц: неотрицательно определенная матрица Ке может быть представлена в виде произведения двух матриц К„=ГГ', где à — нижняя треугольная матрица (все ее элементы над главной диагональю равны нулю). Для стационарных процессов разработаны более эффективные алгоритмы (например, Левинсона и Дурбина)', базирующиеся на том факте, что в этом случае матрица Ке является теплицевой, т.
е. Ке(г; у)=Ке(г' — 7). Они дают рекуррентный способ вычисления весового вектора Ь„и требуют существенно меньшего числа вычислительных операций (порядка гг')„чем общий метод решения уравнения (14). Возвратимся к линейной фильтрации в непрерывном времени и рассмотрим две частные задачи. 1. Фильтрация (интерполяция) полезного сигнала при бесконечном интервале наблюдения.
Пусть наблюдаемый процесс представляет собой сумму полезного сигнала «(б Х(!)) и белого шума г'о (!) ' 01оп1апо Л. Л., Нас Р. гг!. 1.сап 89паге наг!глас!оп гуг!1г АРР1кайопа го 19181!а!е %8пгг1е Ргоссаа1пк.— 14 Ус 1о!гпс ззг!1су, 1985.— 412 р. г(г)к к(б Х)+по(!)=Н) (!)+по(!), а= — оо<1<Ь=со. (8.3.15) Сигнал и шум независимы и стационарны в широком смысле с нулевыми м. о. Поэтому Гг4(т) = Н~гг~(т) + Я„(т), Я~1(т) = = НАг(т), Уравнение (9) примет вид Ф Ям(1, о)сс ( Ь(б пг)йе(о — о!)Й>г, он( — оо, оо).
При стационарном входном процессе с,(у) и бесконечном интервале наблюдения выходной процесс будет стационарным в широком смысле и оптимальный фильтр можно отыскивать среди линейных фильтров с постоянными параметрами. С учетом этого можем написать Яы(т)= ) Ь(т — и)Ие(и)г(и, — со<т<по. Регпение этого уравнения можно получить с помощью преобразования Фурье, воспользовавшись известной формулой для преобразования от свертки двух функций: 5„1()го)=Бе(оз)К()оз), К()оз)=5ц()го)ггЯе(оз), (8.3.17) где Яе(оз) — спектРальнаЯ плотность пРоцесса с(г); Ям()пг) — взаимная спектральная плотность процессов Х(у) и г,(г); К()го) — комплексная частотная характеристика оптимального фильтра. Для наблюдения (15) получим К()го) = НЯХ(пг)/(Наяд (оз)+ о„(оз)).
(8.3.18) Зная К()оз), можно найти импульсную характеристику фильтра /г(1). Отметим, что по условию задачи оптимальный фильтр (интерполятор) для получения оценки при заданном Л(г)= ) !1(! — т)с,(т)г7т (8.3. 19) использует наблюдение иа всей числовой оси, т. е. как до момента б так и после. Поэтому К()оз) — характеристика нереализуемого фильтра в том смысле, что оценку Х(г) можно получить лишь с теоретически бесконечным временем запаздывания. Для задачи, описываемой уравнением (1б), когда процессы с (1) и гс (г) стационарны и стационарно связаны в широком смысле, конкретизируем формулу (1О) для минимального значения ошибки фильтрации: 2 ы — — Яг (О) — )' Ь(и) Кц (и)г(и (8.3.20) 399 В частотной области зто выражение принимает вид (8.3.22) ' Нан Трио Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
