Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Дисперсия ошибки фильтра- емого справа в (521 сэремнэся к нулю ции негауссовского процесса при с- ю. Физически это обьясняегся тем, что при указанном выше стремлении лнсперсии процесса Х(с) к бесконечности при с сс дисперсии процессов 1.(с) и лсс(с) гакже стремятся к бесконечности (это следует из ограниченности дисперсии ошибки). При больших значениях моДУлЯ сп, (С) имеем (1 — 1!эс[3сссс)эб. Таким образом, из ствциоиарносо решения уравнения (49), полагая сСЯсСссс=б, получаем Н,и= Я, ч.=(НейьС4Н'1. Такой же результас получается шся дисперсии ошибки фильтрации винеровского процесса со спектральной плотностью ЛЦ2 при том жс уравнеаин наблюдения (28).
5. Упрощения прв быстрых флюктуациях сопровождающих параметров. При решении задач фильтрации предполагается оптимальное оценивание всех неизвестных параметров. При этом сложность реализации получаемых оптимальных алгоритмов в значительной мере определяется размерностью вектора фильтруемых параметров. Поэтому естественно попытаться уменьшить размерность этого вектора. Оказывается, в некоторых случаях (например, когда один из параметров меняется значительно быстрее другого) это возможно'.
Пусть полезный сигнал 5(1, ).(1), р(1)) зависит от двух параметров !1Х(с), 3!(1)), которые априорно независимы и явлюотся компетентами марковского процесса. В данном случае уравнение фильтрации (1) имеет вид ил(с, х. ц) — — '-: — - = 1., '[Р(1, 2., ]с)эс+Т.в сР(1, 2., 33)]+ +рс(1,)., р) — Р(1)]Р(1,)., р), (9.1.53) где Ах[ ] и Тасс.) операторы ФПК для ),(1) и р(1). Предположим, что р(с) изменяется во времени значительно быстрее Х(1). Представим апостериорную п.в.
в виде Р(с ) 33)=Р(с )")Р(с. Р[)-) (9.!.54) где Р(с, 33[)) условная апостериорная и. в. р(1) при фиксированном ).(1)=). Подставив (54) в (53) и проинтегрировав обе части (53) по р, получим "'„'; "=Г-,г (, ))с'+р(1, ))-Р(1)1Р(1, )), (9,1.55) где Р(1, 2.)= ! г(с, ), 33)р(с, 33])с)с)р. (9.!.56) В уравнение (55) параметр р формально не входит, и оно описывает апостериорную п. в. только параметра Х(с). Однако в выражение для Г(1, Х) входит Р(с, р] Х), которую в общем случае можно определить из специально!о уравнения, следующего из (53). Однако учет быстро~ы изменения р(1) по сравнению с х(1) упрощает задачу, Если ) (1) меняется медленно, то для определения Р(с„р]Х) в точке 1 параметр ).
(с ) можно полагать постоянным на некотором интервале Т: )ь(с)=). при 10[1 — Т, с). При этом р(1, р])с) получается в результате решения известной задачи фильтрации параметра р(1) сигнала 5(с, Х, р) с известным ).: =~ 1Р(с 33])))+Р(с,), 33) — Р(1, ))]Р(1, р!)). (9.1.57) ' Вевев у. Е. Вхас! Г!и!!с-Иппепз!опа! Р!!сегз Гог Сот!а!п П!ГГпз[опз эч!18 [Чоп!шеаг Поп дхсосьазбсз.— 1981.— Но1. 5. Р. 65--92. 420 ' Перввчев С. В. Радиоавтоматнка: Учебник лля вузов.—. Мл Радио и связь, 1982.— 296 с.
421 Таким образом, исходная задача совместной фильтрации процесса [Л(1), р(1)] сведена к двум самостоятельным задачам: фильтрации Л(1) согласно (55) и фильтрации р(1) согласно (57). Если эти уравнения не удается решить точно, то следует применять разные приближенные методы (гл. 10). 9.2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛА С НЕИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ Одна из типовых задач теории оптимального приема сигналов на фоне помех формулируется так.
Пусть в принятом колебании г,(1), представляющем собой сумму полезного сигнала р(1, Л) и помехи и (1), не известен сам факт наличия сигнала р(1, Л). Для формализации задачи запишем принятое колебание г,(1) в виде (9.2.1) г,(1) =04(1, Л)+и,(1), 0~1( Т. Здесь 0 — сл. в., которая может принимать лишь два значения: 0=0 (сигнал отсутствует) и 0=1 (сигнал присутствует). Требуется по принятой конкретной реализации г,(1) на интервале [О, Т ] решить оптимальным образом, присутствует или отсутствует сигнал р(1, Л). Иначе говоря, требуется оценить значение дискретного параметра О. В дальнейшем принято, что пе (1 ) есть БГШ (например, собственный шум приемника). Основные уравнения фильтрации в дискретном времени (7.2.9), (7.2.10) и непрерывном (7.3.8) позволяют точно решить задачу обнаружения в случае, когда параметры полезного сигнала Л на интервале наблюдения Т являются не случайными процессами, а сл.
в. с известными априорными и. в. р „(Л). Это означает, что в конкретной реализации наблюдения г, » йараметры полезного сигнала постоянны, но значения параметров могут быть различными в разных реализациях в соответствии с априорной п. в. р„„(Л). Когда «параметры» сигнала Л(1) есть сл. пр., т. е. изменяются на интервале [О, Т ], приходится применять приближенные методы решения (см. з 10.2, п.
1). Ограничимся пока первым случаем. Сформулированная задача обнаружения сигнала на фоне шума является весьма характерной для радиолокации. В результате ее решения должна быть получена структурная схема оптимального об нару жителя сигнала и определены ее количественные характеристики (вероятности правильного и ошибочного принятия решения). Перейдем к решению задачи. Пусть наблюдение имеет вид (7.1.4): (9.2.2) я,„=О.(1„, Л)+л,„, О<1<Т, 422 где дискретный случайный параметр 0 принимает два возможных значения 0 и 1 с априорными вероятностями р „(0) и р „(1), р,, (О)+ р„(1) = !. Для постоянного параметра 0 условная п.
в. р(0, [О, ), входящая в (7.2.10) справа под интеграл, есть дельта-функция р(0,!0„,)=-8(0„— 0„,), и (7.2.10) переходит в тождество. Поэтому остается одно уравнение (7.2.9), в котором р(0,)с» ')= =р(0,, ) с е '), поскольку экстраполированное на один шаг значение 0„, определяемое по априорному уравнению г(01р(1=-0, совпадает с О, Для апостериорной вероятности р,(0, 1.)=р(0„, Л!Ц») уравнение (7.2.9) примет вид р„(0, Л)=Ср„,(0, Л)ехр[р„(0, Л)1, р",(8, Л)= = — (л(А1„) [г„— Ор(1„, Л)1'. (9.2.3) На основании условия согласованности находим интересующую нас апостериорпую вероятность дискретного параметра 0: р„(0) =]р,(0, Л)рр„(Л) (Л.
(9.2.4) Так как в задаче обнаружения ири 8 = О полезный си1 пал отсутствует, то осреднение (4) нужно выполнять только для 8=1. После этого находим отношение апостериорных вероятностей р„(1)/р„(0) = []р„(0, Л) рр, (Л) Й~1фр„(0). (9.2.5) В результате сравнения этого отношения с порогом принимается решение о наличии или отсутствии сигнала на интервале наблюдения Т. Конкретизация выражения (5) возможна для частных видов р(1,., Л) и рр (Л).
Среди параметров Л= [РЛ„Л>, Л,, ...,', от которых зависит сигнал х(1, 1.), некоторые (например, Л, и Л,) могут быть случайными (с априорной и. в. рр„(Л,, Л,)), а остальные [Л3 Л точно изв~ стными (с априорной п. в. рр. (Лз Л» ...) Ь (Лз Л 3« ) х 8(Л,„— Л,«>)...).
В таких случаях нахождение отйошепия аиостериорных вероятностей может быль связано с вычислением аиостериорной вероятности р„(1), так как теперь при ее вычислении нужно выполнять вероятностное осреднение по случайным параметрам (с п. в. р „(Л„Л )). Рассмотрим три примера. Детерминироваиийй сигнал. Это наиболее простой случай. В сигнале р(1,,, Л,) значение параметра Л априорно точно известно и равно Лр, т.
е. р „(Л)=8(Л вЂ” Л»). Этот случай важен потому, что определяет предельные возможности (верхние границы) для характеристик обнаружения. Для детерминированного сигнала выражение (5) с учетом (3) принимает вид р,,(!)1р,,(0)=[р,,(1)1р,,(О)1ехр[г",(1, Л ) — Р,(О)], Отношение апостериорных вероятное~ей равно 1„=р„(1'1~р„(0)= 1„, ехр [р"„(1, Л») — Г„(0)3. 423 (9.2.8) (9.2.!0) Прологарифмировав это равенство и подставив в него выражения для Р'„, получим г/,=9,— с+(2/!/дго) ~~„в(г„Л ) — (1/2)в'(г„Ло)~.
гс Если принять р,(1)=р,(0)=1/2, то с/о=о и — ~~с ва(гч, Л )=сопя! о ч=а (сигнал полностью расположен внутри интервала наблюде- ния). При этом приходим к следующему правилу принятия решений: о о=с с/о= г~' "' в(гчс Ло) ~( (9.2.6) где л= (Т/дс~. Этот алгоритм определяет структуру оптимального обнаружителя детерминированного сигнала. Если применяется критерий Неймана †Пирсо, то порог л определяется по заданной вероятности ложной тревоги ре согласно формуле р,= ~р(9„!О=о) /9„. (9.2.7) После этого можно вычислить вероятность правильного об- наружения р,= (р(9„!О= !) д9„.
л Для наблюдения (2) сл, в, (с/„!0) и (с/„!1) нормально рас- пределены; их м. о. и дисперсии согласно (6) равны М(д„!О)=О, М(9„!!)=д„, В(9„!О) =О(9„!ц=а„= —," Е "(г„, Л.), (9.2.9) о ч=о где Д„есть отношение сигнал-шум. При этом формулы (7) и (8) примут вид Ф(//(сэ \~г) Р ! Ф(/с/Дна Д ьа) где Ф(х) — интеграл вероятности (1 !.11). По формулам (10) можно построить кривые обнаружения, представляющие собой зависимости вероятности правильного обнаружения рр от отношения сигнал-шум при фиксированных значениях вероятности ложной тревоги р„.
Они имеют внд, изображенный на рис. 9,2. Прн обнаружении сигнала по наблюдению в непрерывном времени (1) из основного уравнения фильтрации др(0 О, Л))/дг=~р(О О, Л) — Г(г)1р(о О, Л) (9.2.1 1) 424 Рис. 9.2. Кривыс обнаруяссния детерминирован- рр ного сигнала йв г э л /гг7во имеем р (О О, Л) = ря, (О, Л) ехр Д (Г(т, О, Л) — Г(т) 3 с/т) = о = С(г) р, (О, Л)ехр((Г(т, О, Л)г/т), (9.2.12) о где С(г)=ехр( — )с Г(т)с/т). Отсюда, в частности, следует С(0)=1. о Если параметры 0 и Л априорно независимы, т.
е. р „(О, Л)= = р,(0) рр,(Л), то из решения (12) получаем следующие выражения для айостериорных вероятностей дискретного параметра 0: с р(О 1)=С(г)рлч(1))рлч(Л)ехр!)Г(т, 1, Л) г/т) с/Л, р(О 0)=р,(0) (9.2.! 3) В случае детерминированного сигнала, когда р„,(Л) =Ь(Л вЂ” Л ), при рр„(1) =р . (0) = 1/2 для отношения апостериорных вероятностей в конце интервала наблюдения имеем г р(т, о) = ехр (~ Г(т, 1, Ло) г/т) = г ! 2 1Г 2 = е"Р~, ~ ~1(т)в(т Ло) в (т, Ло) с/т (9.2.14) о о Отсюда с учетом монотонного поведения показательной функции при фиксированной энергии сигнала т Е= ) аа (О Ло)с/г=сопз! о получаем алгоритм работы оптимального обнаружителя 9(7)= — ~1(г).(гс Ло) /г ~~ Уг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
