Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В начальный момент времени 1=0 вероятности Р;(О) равны априорным вероятностям состояния цепи. В пределах тактового интервала рг(1) удовлетворяет уравнению Стратоповича огРЕ(1)/г/1=[ге(е) — уз(ЕЦРЕ(е), ен[е, Енье), (9.4.3) где Е Рг(Е)= — [Г(Е)гг(1 — 1„) — -е'(1 — ЕоЦ, Р(1)= , 'Рг(1)Р,(1), Лго =о В точках 1=1„пересчет Р,(е) осуществляется согласно (7.7.22). Выражения (2), (3) и (7.7.22) определяют алгоритм оптимальной фильтрации.
Он справедлив для любой формы детерминированных элементарных сигналов. Получим его количественные характеристики. Из вида реепающего правила (2) следует, что при заданной реализации ~(1) условная (апостериорная) вероятность принятия опеибочного решения равна Р(О„~О„!со' ')=1 — шах (Р;(Е,ье — 0)еЕ = Пни ЕР;(Е,, — О)) = Е Е =(! /2) — (! /2) /Ро(Е.ь е — О) — Ре (Е.о г — О) ! (9.4.4) Из-за случайности с(1) и О, эта вероязность будет также сл. в. Вероятность ошибки получаем осреднением (4) по возможным реализациям с(1) и 0,2 Ро = 1/2 — (1/2) М ( ! Ро (Е, е — 0) — Р, (Е„о е — 0) / ). (9.4.5) Таким образом, задача определения характеристик алгоритма состоит в вычислении Р, для разных значений отношения сигнал-пгум и элементов матрицы к. Для этой цепи удобно перейти к переменной ' Харисов В. Но дунчнч я.
Г. Оц гимальная фильтрация марковской цепи с двумя сосгояннями 0 Изв. вузов СССР. Е'адиозлектроника. - 1989.— т. 32, № 5.—— С. 89 — 92. ф) =1И [Ро (1)гЕРЕ (ЕЦ. (9.4.61 При этом алгоритм (2), (31 и (7.7.22) преобразуется следующим образом. Решающее правило (2) примет вид о„=о ф„„— О) )( О. (9.4.7) в,=г Уравнение для !(1) внутри тактового интервала получается из (3): =го(Е) ге (1) гЕГ о(Г) "' Рг (Е) =-- с(1) — [к,(е — 1,)+кг(е — е,Ц х (9.4.8) кг 2 о к [Но(1 Ео) ог(1 ЕоЦг Ее[Ео1 Еочг). Формула для пересчета ф) в точках 1=Ее следует из (7.7.22) и условия нормировки: /(е„+О) =/(/(1, — О)) = 2 аггй (нш — еео, + +[! — ( „+ „,Цйз[/(1„-0)/21).
(9.4.9) Действительно, согласно (7.7.22) н свойствам рассматриваемой цепи Маркова имеем Ро(Ео+О)=(! Егое)ро(Š— О)+ягоре(го О) Рг (Е, +О) = ЕЕ ое Ро (Ео — О)+ (1 — Я го)РЕ (Е. — О) поэтому (Е -ног) ехР (Е(е,-С!) -г гого Яо, екР ( е(е, — 9)) ч ( пи о! Воспользовавшись известным равенством ехр(х)=[1+!!Е(х/2Ц х х [1 — Ей(х/2Ц, получим /(е„+О)=!и [(1+А)/(1 — АЦ, А =ее го — ееое+[1 — (кго+ео„Ц Ей [/(1„— О)/2~.
Так как агйзх=(1/2)1и(1+х)/(! — х), то приходим к (9). Выражение (5) для вероятности ошибки приводится к виду Р, -М(!Ей-/(е„, 0)~)-- - !Ей-/~Р„(/)//, (9.4.10) гДе Ра(/) — п. в. сл. в, /(Е„е — О). Это выРажение полУчаетсЯ пРосто из очевидных равенстве ро(е)/Ре(1)=ехр[/(1Ц, роЯ+ре(1)=1. 443 Отсюда следует, ч го (ео (Е) =-ехР (((ЕЦ((1+ ехР (((ЕЦ), Р, = 1,'(1+ехР (((ЕЦ). Из формулы (10) видно, что для нахождения рс на каждом тактовом интервале нужно предварительно вычислить р„((), с=1, 2, 3, ... Выполним эти вычисления.
Из (8) и (9) следует, что сл. пр, 1(Е) является марковским 16). Следовательно, последовательность ',1„), с=1, 2, 3, ..., где (,,=!(е,ь, — О), является марковской как выборка из марковского процесса. П. в. элементов марковской последовательности связаны уравнением Колмогорова-Чэп мена: р (1 )=,( !Т(! !! ) ' — (1 — ) (9.4.1 !) Найдем конкрепплй вид ядра П(1„!(,,). По своему смыслу П (1 „! 1„, ) равно Е П(1,31„,)= 2 р(1„, 0„=1/1„,)= е=-о =- Х р(0,= ~(,— )р(1,!0,=1, (.,). (9.4.12) ~ — о Зафиксируем 1„, =1(е,— 0).
Тогда в силу (9) значение !(е„+0) также однозначно определено: 1(Е„+0)=Я, е). Первый сомножитель в 112) согласно (6) равен р(0,=0 ~ 1„,) = р,(Е„+О) =,' р(0, 1!1,,) р,(е„+О) (9.4.! 3) 2 1 — гь — — '' ~. 2 (9.4. 14) Вид второго сомножителя нетрудно получить из (8). Действительно, если 0„=0, го из (8) при фиксированном начальном условии 1(Е„+0) =Т(1,,) следует, что сл. в. 1, =1(е„, — 0) нормально РаспРеДелена с м. о. ('(1,,)+е(а и ДиспеРсией 2е(,: Р((„!0„=0, !я,)=М(((1„,)+9 29а), (9.4.15) ГДЕ да — ЭффЕКтИВНОС ОЕНОШЕНИЕ СИГНаЛ-ШУМ: т Ча = — ~ (то(Е) — яе (ЕЦ е(Е. о Для сигналов с равной энергией Е оно связано с фактическим отношением сигнал-шум 9=2Е(А(о через коэффициент корреляции и, СИГНаЛОВ «О(Е) И КЕ(Е): Е(а=Е((1 — и,).
АНаЛОГИЧНО (15) 444 рл(Е( рл(е! 4 ЕЕ!' 2'ЕЕ( ' 5 то' 2 ЕОЕ ЕЕ(ч и Е г З 4 5 К 2 ЕЕ Е и 5 ЕЕЕ и гЕЕ 25 Е Рис. 9.12. Стационарная плотность асроятности логарифма отношсния апостсряор- ныя всроятностсй р((„(0,=1, 1„,)=П(Я,,) — е(„2е(,), (9.4.16) Подставив (13)...(16) в (12), получим явный вид П(1,!(„.е): П((,|1„,) !+Ей (у®(я,)+9„9,)+ +- 1 — Й вЂ”; 1((7' (1, е) — 9.и 2да), (9.4.17) где ('( ) определена формулой (9). Выражения (11) и 117) позволяют вычислить р (1„) для всех тактовых интервалов. Вид стационарной и.
в. р„ф при яш — — я,о=)ь для значений ) =0,5; 0,95 и д, = 1; !О показан на рис. 9.12. Отметим, что если устремить длину тактового интервала Т к нулю, уменьшив при этом е(,, яо, и я,о пропорционально Т, то в результате предельного перехода из (11) и (14) получатся уравнения филь е рации непрерывнозначного марковского процесса. Итак, методика расчета количественных характеристик алгоритма оптимальной фильтрации рассматриваемой цепи состоит в следующем.
1. Задаются значения е(а, вид матрицы я и начальная и. в. ро ((о). Например, если р„(0) =р, (0) = 0,5, т. е. 1„= ((0)= О, то 2. С помощью выражений (11), (17) вычисляется и. в. р,(1„) сл. в. 1„=1(е„,,— О) для и=1, 2, 3, ... 3. По формуле (1О) определяется вероятность ошибки фильтрации р, состояния цепи на каждом тактовом интервале. 4. В невырожденных случаях при постоянной матрице я и.
в. р,(1,) довольно быстро стремится к стационарному состоянию, что позволяет определить р, в стационарном режиме. Выполнение расчетов по данной методике не вызывает затруднений. Интеграл в (11) вычисляется на ЭВМ (например, 445 рр рис. 9.(З. Всроятносчь орнибочнори присма Лвои нных зависимых сигнъчов с помощью метода Симпсона) при замене бесконечного интервала интегрирования конечным интервалом '( — Е, Е 1', достаточно болыпим, чтобы можно бьшо пренебречь (о «хвостами» функции распределения, выходящими за его пределы. Для симметричной цепи к„=к(в —— ) вес х личпнУ Е можно оРиентиРовочно вычислить по формуле Ек2артп((1 — 2) 1)+ц,+(3...5) (2цч, а шаг между узлами расчетной сетки взять й =„,~29,('(5 ... 8).
Достигаемая при этом точность вычислений р,)10 По описанной методике для симметричной цепи Маркова (ка,—— к,в=)) в стационарном состоянии была рассчитана зависимость вероят(юсти ошибочного приема (р, от ). для нескольких отношений сигнал-шум цч (рис. 9.13). Поскольку эта зависимость симметрична относительно ). = 0,5 при каждом цп то она представлена только для )с>0,5. При ) =0,5 зйачения О, и О,, независимы. Прн этом вероят(юсть ошибки максимальна и равна р,=1 — Ф( ц,,/2), что соответствует результату для независимых символов. Уменьшение вероятности ошибки при отклонении )с от 0,5 объясняется тем, что при оценке О, используется дополнительная информация от предыдущих тактовых интервалов (за счет зависимости О,, и 0„).
Укажем, что в принципиальном плане обобщение приведенного метода синтеза на цени Маркова с тремя и болыпим числом возможных состояний очевидно. Однако трудности реализации метода существенно возрастают. 9.5. ОЦЕНКА НЕИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА Пусть по наблюдению ч(с)=в(р р)+р(о(р) (9.5.1) на текущем интервале (О, р1 требуется получить оптимальную оценку векторного параметра ) =(), ).я, ..., )ч), представляющего собой сл. в. с известной априорной п.
в. р „()с). Поскольку 446 (9. 53) (9.5.5) )с(с)=шах ' ( — Е(Мв+д(б Ц3, где д(б Х) = — ~ Ц(т) к(т, Х) с(т, Е= ) в~ (т, 1с) с(т. (9.5.6) а Если оцениваются неэнергетические параметры сигнала (параметры, от которых энергия сигнала Е не зависит), то их оценку можно находить по алгоритму к(с)=шах ' д(А)), т. е. максимально правдоподобные оценки неэнергетических параметров сигнала ) — это такие значения к, которые доставляют максимум логарифму функционала правдоподобия; они находятся из решения системы уравнений правдоподобия дц(б к)/дХ, ~;=О, 1=1, г. (9.5.7) в конкретной реализации с (1) параметр ) постоянен, т. е.
описывается уравнением ().1 1=0, Х(0)=3,„ где )св — сл. в. с п. в. р(1.в)=ррр()св), то уравнение для апостериорной п. в. параметра ) имеет вид др(А А)(д~= (Е(б ) ) — Е(1)) 1((б )), р(0, ))=р„,()с). Записываем решение этого уравнения р(р,с(=с(р(р (с( р((р(,»р). о (р(=(р (с( "р1(р( с(р)рс (. о Рассмотрим пока случай, когда все компоненты векторного параметра ) являются существенными (информационными). Прологарифмировав (3), получим следующий алгоритм нахождения оценки по максимуму апостериорной п.
вг р с= — (вр.(р(р(р(., р(р.) (9.5.4) х х о Во многих прикладных задачах априорная п. в. является очень «широкой» и не оказывает существенного влияния на положение максимума рс. При этом оценка по максимуму апостериорной п. в. (ее логарифма) практически совпадает с оценкой по максимуму функционала правдоподобия (его логарифма): дс(т Х~) о ссй осс огс) (9.5.9) сг)5( ) 2 дс(т хо) (9.5.10) 2 ( стс(т, Х) дс(т, Х) — — '— —.' — с(т ( Сто ~ с))Ь дтс о (9.5.8) В частности, прн 2=7' имеем ких сист 15 — 2247 Рпс. 9.14.
Ссруктурпая слома оптимальносо измерителя двух параметров сипсала Этн уравнения определяют способы получения оценок параметров снп!ала. Часто применяют «параллельные» многоканальные измерители. Структурная схема оптимального измерителя, позволспощего полУчить с)(С, Хс, Х ) длЯ си х и фиксиРованных значений двУх паРаметРов ).!с, ).21, с = 1, т, 7 = 1, и, пРиведена !щ рис. 9.14. На выходе решающего устройства выдаются значения с,„=).'з и ).2;=).2 с выхода канала (с', !), имеющего наиболыпий выходной эффект; опи и принимаются за оценки.
Интервалы воз!ложных значений параметров ) 'с <) с <).'с и ).'2<). <)52 опреДЕСсЯЮсе>! аПРИОРНЫМИ И. В. ЭтСЛХ ПаРаМЕтРОВ Рр„().С~ И Рро().2). При выбранных интервалах () 'с, ) 'с5 и [) '2, ) Ц увелйчение числа каналов си и и имеет смысл лишь определенных пределов, определяемых дисперсиями оценок .01 и .1)~ . Нижние границы для дисперсий оценок максимального правдоподобия, являющихся несмещенпымн, определяются неравенством 1'ао Крамера (6.4.11). Для нашей задачи —,.;,'"«' 1=2 )'«!1- «, 1!"-,'-,", =. о Учитывая, что ио())=-1;(с) — к(с, 3. ), где ко — истинное значение параметра ).„нахоодим элементы информационной матрицы Фишера (о.4.10): Поэтому нижние границы дисперсий оценок отдельных парамет- ров сигнала равны Много конкретных результатов по оценкам различных параметров радиосигналов приведено в литературе '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
