Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 58
Текст из файла (страница 58)
1,'р), /э+и=их рхпостериорную п. в. представляя]щих параметров можно найти из условия согласованности п. ь. Р„.,(3') =-Е (3 ! 10) =5 (3.1, 7.'„! 1о)113.', =Ел(р „(1.„, ).'„)Р(Ц ! 3.„, ).',) 2Е).'„. (6. !.10) Зпзя апостериорную и. в., можно получить оценки представлялощих параметров по любому критерию оптимальности. Таким образом, ири известных априорных вероятностях нахождение апостернорных вероятностей сводится к вычислению функций правдоподобия. В том случае, когда принятое колебание представляет аддитивнуиз смесь сигнаоа и похлехи, т. е. имеет вид (1), и многомернь]е и.
в. помехи извесз.ны, функции правдоподобия вычисльчотся сравнительно просто. Пусть помехой ло(е) в (1) является БГШ с Елзвсст пой односторонней спектральной плотностью Ле„. Чтобы можно было корректно перейзн от дискретного времени к непрерывному, рассмотрим сначала метод дискретного наблюдения, ко~да берутся осредпенпые отсчеты через Равноотстоящие моменты времени. Разобьем интервал времени (О, Т)' рашюотстоящими точкамп ., ер„где Р, — е,, =Л=сопвц 1'=-1, т.
Обозначим осРедпенные за элементарный интервал времени значения колебания с (Е), сигнала в(Е, е,) н и]ума ио(Е) соответственно р( г] — — — ) ер(е)гее, .11() )= — ) «(е, ).)еее, ио,= — 1 ело(е)оее, (6,1.11) чеЛ ь-л л, Очевидно, что 1101 ь 1 11(р'")- (6.!.1 2) Ьудем считать, что в выражении для функции правдоподобия (7) фигурируют указанные осреднсниые зпачсриля Запишем совместную п.
в. для сл. в. пряр е'=- 1, т. Онн являются нормально распределенными и согласно (1!) ймсют следующие характеристики: М(по )=О бо =М(его) =ех]о]2Л, Млло ело]) =0 при 1~7'. (6,1.13) Поз гому Р (лщ ." "от)=-Рл(лол) " Рл(ло )=. (6.1.1 7) От ис!]Сменных ло; к исйемснпым; рх]ьсп сдиницс, г]олбр'часм формулу для функции правдоподобна параметра )с Р()) (~ ь !)). Р (~ ()) г ())) — и!2 1 и — — ехр)[ — — 2 [с(11) — (Еь ).Ц Л . (6.1.15) ло Е.— 1 Если параметр ]р является дискретным и принимает несколько значений 3.„..., 11, то в формулу (8) нужно подставляп, функции] ийавдоподооиЯ 1:!эрл соолвстств)ющсм значении иаРаметйа ).о Для сигнала, зависящс1'О От нескольких паг]амстров ) 1, ..., 2 л функция правдоподобия, входящая в (9), примет внд — рр 1 2 ЕЕо Х,("е„, ..., хе)= я — х е .
р] —,. т 11]ц] — (р, к,, ..., р.;]] л). Ерздф лЕЛ, — 1 при рассмотрении задач фильтрации сообщений ) (е), изменя- ющихся во времени, потребуется переход к непрерывному време- ни. Для этого нужно в формулах (14) ... (16) перейти к пределу прн Л вЂ” О. При этом информация о случайном процессе ~,(е) будет заключена в форме реализации. Разумеется, что при пепрсрывнокл наблюдении получаются более точные результаты, Прн Л- 0 и. в. Р1 п Р„перейдут в соответствующие едрелкееиоелаееье плоеннорати веролплногти, а функция правдоподобия — в ф]>нкл]и- она» нривдонвдобпя, Введем для них обозначения Г[еео(Е))=11щ)ллР (нол ., ло ), Г(3)=11ШХ.(3.), л-о л-о где множи гель ) л зависит только от Л и Лео. Осуществив предельный переход, получим т Г [по (Е) 1 оо ехр — — [ и 20 (Е) еЕЕ 2'0 о т Г(1, ) хэехр — — ( [Х (1) — в(Е, 1)121(Е (6.1.18) ЛО О Таким образом, при непрерывной обработке формулы (6) и (9) примут следующий вид: Р„,(),)=1гР „() )Г()г), Рр,(Х], ..., Ъ.)) =)СР„„(3.„..., Х ) Г(Х„..., Х ), (6.1.1 9) где (6.!.20) 305 Полагая значение параметра )г фиксированным, подставив значения кч из (12) в (7) и учитывая, что якобиан преобразования 304 Г(7 1 ..., ).
)=ехр — — ) [с,(е) — в(е, л.л, ..., л. ))~е(е о Укажем, что кроме приведенного простейшего примера (прием полезного сигнала на фоне адднтивного БГШ) функционалы плозности вероятности и правдоподобия можно получить и в других, более общих случаях (например, при приеме полезного сигнала на фоне адцитивной гауссовской или марковской помехи, которую в принципе можно сформировать из БГШ). В частности, если в (!) вместо ио(г) помехой ЯвлЯезсЯ гаУссовский маРковский процесс «(г) с экспоненциальпой корреляционной функцией Я.(т)= =(ггго74сг) ехр ( — гх ~ т )), описываемый линейным стохастическим дггфферейциальным уравнением «'+ ог« =- ио (7). (6.1.21) Иг фУНКЦИОНаЛ ПЛОтНОСтн ВЕРОЯтНОСтн ИМЕЕ7 ВНД Р««(г)1'.
~ехР— — — (Гол+Я) — ((ил«'(г)+«л(г)~г(Г, (6.1.22) где )3,=-(Агогг4гг); «о —— ь(()); ьг — — «(Т). «Вероятность реализации» процесса «(г) зависит от «знергин реализации процесса и его производногог за время наблюдения, а также от значений, которые имеет реализация на концах интервала наблюдения. 6.2. ОЦЕ1-1КИ ПЛОТНОСТИ И ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНгИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пусть требуется получить оценку неизвестной и. в. р(х) или функции распределения р(х) сл. в. с, по ее измеренным значениям ",", =,г«,г «„..., «„гг, При оном следует различать иарагиетричсгкое и ггегга1га,ггеигг ггчеггсое оиенивгигие. Если извесген вид функциональной зависнчгоснг п.
в. (функции распределения) от конечного числа определяющих ес параметров, но неизвестны значения этих параьгетров, то задача оценки п. в. по существу сводится к оценке параметршч Такое оцепивапне и. в. (функции распределения) пязывашся параметрическим. К пастоягцему времени хорошо разработаны методы оценки параметров. Поэтому задачу оценки и. в. 'асто стремятся свести к пзрамегрическон.
Прн этом приме;гшотся разные приемы. Например, при пе очень сильных ограничения" ", в. пепрерьгвцой сл. в. можно представить в виде усеченной суммы по заданной системе фушпцгй <о„,(х) с некоторыми постоянными коэффициентами с„,: и р(х)- 2 с„,гр„,(х). »=о Часто в качестве функций гр (х) берут сне~ему ортогональных полиномов (в частности, полиномов Эрмита). Прн этом задача оценки п. в. р(х) сводится к параметрической задаче — оденки по экспериментальным данным неизвестных коэффициентов с . 306 Укажем краз ко стандартную методику нспараметрического оценивания и. в. (функции распределения) по г.истог-ромме.
Разобьем область возможных значений сл. в. на г интервалов (в случае векторной величины — . прямоугольников) Лх,, ..., Лх,. Пусть и„..., и„— случайные числа попаданий величины ~ в интервалы Лх„..., Лх, при и измерениях (гг,+ ... +и„=-и). То~да частоты попадания в эти интервалы будут ч, =-ггг(гг, г'= 1, г. Практически рекомендуе~ся интервалы Лх; выбирать так, чтобы в каждом из них было не менее 10 .гочек. Вероятности попадания в эти интервалы определяются формулой р;= ) р(х)г1х, г'=1, г. Ьх,.
Если принять частоты хч за оценки вероятностей рь то значения относительной плотности экспеРиментальных точек Рг = Згг7'Лхг в соответствующих интервалах Лх; будут оценками ве.чичин .7(Х) = — (р (х) 1и ~ро (х; ).) ггр (х)) гггх, (6.2.1) т. е, из условия ) =шах г()р(х)!про(х; Х)г)хгг. (6.2.2) 307 — = — ) р (х) ггх, г = 1, г. ' Ьх, Если р(х) непрерывна в каждом интервале Лх„то эти величины представляют собой значения р(х) в некоторых средних точках соответствующих интервалов. Подсчитанные значения р', можно представить графически в виде ступенчатой кривой (называемой гисишграж ной): по оси абсцисс откладывают интервалы Лх; и на каждом из пих как на основании строится прямоугольник высотой ри Во многих случаях возникает необходимость аппроксимации экспериментально полученной гистограммы подходящим аналитическим выражением, представляющим собой некоторую теоретическую и.
в. Эта операция называется выравниваниеги статисгиических данных. Имеется мпог о способов и приемов такого выравнивания. Укажем один из них, который будет использован в дальнейшем. Будем для истинной п. в. р(х) отыскивать аппроксимирующую п. в. среди некоторого выбранпог о параметрического класса ро (х; ).), где х имеет ту же обласгь возможных значений н ).=(Хг, ..., Х. ) ---неизвестные значения параметров. В качестве меры близосги плотностей вероятностей р(х) и ро(х, ) ) примем минимум мери Кульбакгг, т.
е. критерий, обеспечивающий минимум потери информации за счет аппроксимации. Согласно этому критерию параметры Х в аппроксимирующей и. в. подбираются такими, чтобы минимизировать интеграл Нетрудно убелиться, что применительно к нормальной апИРОкскми!)УН)ц!сй и. в. /)о (х,' )сг, )с») =/)(х: гп, /г) м. О.
п7 и Лиспсрсия Х) Опрсдсл51югсг» в!»!Ражсниями и'=-)х/ФИх "'=Их — пг)'р(х)йх. (6.2.3) В качестве пих параметров можно использовать их оценки (1,5) » п! .= — 2 1;ь /г — — — 2 (с» — п7 ) (6.2.4) г= ! =! Т)задиционнь!)?с метод оценки функции распределения вероятности Г(т) сводится к полсчету числа /с наблюденных значений, !со?орые по вегшчине мегп,ше х. В качестве оценки Г(х) в точке принимают значение Е" (х)=/с/гг.
Основной недостаток такого меж)ды оценки сос?оит в том, что нс учитываются предварительные (априорпь?е) сведения о х;)рактсре случайной величины е„ которыми обы шо распола?ает наблюдатель до проведения измерений, и он не позволяет заранее определить требуемый объем выборки п для получения / (х) с заданной дисперсией ошибки. Эти недостатки устраняются при байссовском подходе к решению зала:и 6.3 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ Неизвссгные нарым)чры ) полезного сипила «(г, ).) в (6.!.!) по своему характеру могут бы гь разными: постоянными илн СЛучайНЬ?МИ ЯСЛИ )И!ШМП, и таКжс СЛ.
Пр. РаЗЛИЧИЕ Межпу НИМИ сосгоит и том, н.о постоянные параметры сохраняют свое з?ш'!сцпс в разных Оп).ш!х (измс",рснйях); сл. В. сохр!1пяют сВОС знгшсппе в дынном наблюдении и могут принимать разные зны !опия в рази!,!х пабли)лоциях; сл. пр, изменяются во времени при конкрегном пыблюлении. Поскольку значение постоянного параметра зырапес неизвестно, то его можно трактовать как частный слу'шй параметры в виде сл. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
