Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Т)=)' (т (~ р(Н, ~'; т)И~'. (5.6.1 5) о о Для среднего числа отрицательных выбросов таким же путем получим формулу т о Н (Н, Т)= — (т(т ) т,р(Н, 9'; т)1Ц'. о -ю Очевидно, что среднее число всех пересечений сл. пр. ~(т) уровня Н равно э Н(Н, Т)=Н'(Н, Т)+ж (Н, Т)= (17т ) ]Р']р(Н, ~', т)1(Е'.
(5.6.17) Формулы (15) ... (17) были получены С. Райсом, Совместную п, в. всегда можно представить в виде р(9, ~', т)=р„ф т)р(~'; т~г;, т). (5.6.18) При этом (!5) ... (17) можно записать иначе. Например, формулы (15) и (!7) теперь примут вид т О Н'(Н, Т) =( р,(Н; т) (т ] ~;р(~'; т] Н; т) ЫЦ', о о т Ю Н(Н, Т)=) р (Н; т)т(т)т ]ь']р(ь'; т] Н; т)41ь'. (5.6.20) о о Формулы (15) ... (17) можно обобщить на случай, когда уровень Н не постоянен, а задан в виде некоторой кривой а(т), Пусть требуется вычислить на некотором интервале времени [т», т»+ Т~1 среднее число пересечений сл.
пр. Ц~) с заданной непрерывной однозначной функцией а(т) (рис. 5.!4). Рассмотрим случайную функцию т) (т)= г,(т)-а(т). (5.6.2 !) Очевидно, что пересечения сл. пр. ~~(т) с заданной кривой аЯ совпадают с нулями функции т)(т), причем в моменты пересечении случайной функцией т!(т) нулевого уровня выполняются условия т!(т)=0, т1'(т)>0, Обозначим м. о. числа таких «положительных» нулей на интервале (Оь т„+Т) через Л1„'(дь Т), а «отрицательных» -через Лт, (бь Т).
На рис. 5.!4 они обозначены соответственно светлыми и темными кружками. Перейдем в п. в. р(г,(т), "'(т)) по известным правилам к новым переменным т)(с)=г(т) — а(т), 11 (т)=Ц (т) — а (т). тогда найдем совместную п. в. для т)(т) и т)'(т): 295 и,'(н) =и'(н, ТУ~ т= ~~'р(н, ~') Ц = о Рнс. 5.14. Рсвлнзацня дгфференцнрусмого случайного процесса Г,О) н дегер- мнннроввннвя функция о(в) р(т), т)'; ~)=р(т1(~)+а(~), г)'(г)+а'(г)). Применив теперь формулы (15) ... (17) к случайной функции т)(г), получим соответственно !ООт Х и." (Ои т)= ( сО ( г)'(г)Р(а(~). а'(~)+Ц'(~))О1г)', 1О О Ычг о и„" (~о, Т)= — 1" сй 1" 11'(~)р(а(г), а'(~)+г)'(г))Фт)', (5.6.23) 'О ж.(ьн т)=Н. (Оп т)+Н„(би т)= (5.6.24) !ОЧ-à Π— ОО ( ! г)' (г) ! р (и (г), и ' (г) + ц' (1)) гlг1'. 'О Формулы (22) и (23) позволяют решить следующую задачу.
Пусть на интервале (го, /о+Т| заданы две непрерывные однозначные функции а(с) и Ь(у), причем а(г)<Ь(г). Требуется определить, сколько раз в среднем сл. пр. ~(~~ выйдет из границ и Я < Р (~) < Ь(г) на интеРвале ( го, ~о+ Т3'. нтеРесУющаЯ нас величина равна ~О +т УОО(Т) — ЛО (Го, Т)+и, (Го Т)= ( Йх 'О ОО,( В (у) ГР(б(~), Ь' (1)+ч1'(~))+р(а(г), и'(~) — г1'(!))~ сй1'. (5 б 25) о Применительно к стационарным в узком смысле сл. пр.
~(~) внутренний интеграл в формулах (15) ... (17) не зависит от времени, так как Р(~ ~'; )= (й.~)=р,(~) (~К). (5.6.26) Разделив правые и левые части равенств (15) ... (17) на Т, получим простые формулы для определения среднего числа соответствующих пересечений в единицу времени на уровне и: 294 =Р (Н) 1 ~'Р(~'! НИ~'. о о и;(Н)=Л -(н, т)1Т= — ( Ц'р(н, ~')У~ = о = — РДН) ) Р,'р(Р,'(Н)ЫР,', (5.6.27) (5.6.28) ~',(Н)=-~'(Н, т)~т=- (! Ц'!Р(Н, Ц')с)Р,'=р (Н) ( ~Ц'~р(Р,'! Н)с1с'.
(5.6.29) Для стационарных в узком смысле сл. пр. с независимой производной в совпадающие моменты времени, удовлетворяющих условию Рй ~)=РОВ)рй $~)=р:й)Р~ В) (5.6.30) формулы (27) ... (30) приобретают особенно простой вид. В частности, Ж, (Н)=рс(и) ) ~'ре (~')ОЦ'. (5.6.31) о Видно, что для с~рого стационарных сл.
пр. со статистически независимой производной (в совпадающие моменты времени) среднее число выбросов на уровне Н с точностью до некоторого постоянного множителя пропорционально значению и. в. процесса на этом уровне. Этот результат можно использовать для экспериментального определения одномерных п. в.
указанных процессов с помощью счета числа выбросов на разных уровнях. Конечно, при этом должна бьыь предварительная уверенность в том, что условие статистической независимости (30) для рассматриваемого процесса выполнено. Отметим, что с небольшими изменениями приведенные выше формулы позволяют вычислить среднее число максимумов или минимумов дважды дифференцируемого сл. пр. Для этого нужно вместо процесса с(г) рассматривать в качестве исходного первую производную процесса г,'(г).
При этом в точках максимумов должны выполняться условия Р,'(г) = О, г," (г) < О, а в точках минимумов — г,'(с) = О, с" (г) > О. Выше при вычислении среднего числа пересечений сл, пр. предполагалась известной совместная п. в, р(с,(1), ~'(ф. Пусть сл. пр. г,(г) задан двумерной п. в. Рв(Р,, ~з), где г,, =Р,(~,), с,з=~(1,).
Возьмем Н и ~в так, чтобы интересующий нас момент 997 времени ! находился посредине между ними, т. е. г = г, + (Л /2) = гг — (Л /2), где достаточно малая величина Л=зг — П >О. Для дифференцируемого процесса при малом Л можем написать очевидные равенства «, =« — (Л~2)«', « ° =«+(Л/2)«'. Если в и, в. Рг(«,„«г) пеРейти от пеРеменных «,, «„к новым переменным «, «' и затем положить Л- О, то получим р(«, «')=1зш Лрг(« — -«', «+-«') Л, Л ь-и 2 2 Так как р,(«з, «,) удовлетворяет условию симметрии (т. е. не меняется при перестановке аргументов), то отсюда следует р(«, «') =р(«, — «').
(5.6ЗЗ) Следовательно, совместная и. в. является четной функцией относительно производной процесса. Г л а в а 6. СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 6.1. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА СИГНАЛОВ Основные задачи статистики. В рассмотренных ранее задачах анализа работы радиоустройств и систем при случайных входных воздействиях предполагались известными вероятностные характеристики входного воздействия и модели систем и по существу дело сводилось к вычислению необходимых характеристик выходного сигнала. Такую задачу 1пересчет характеристик со входа на выход системы) условно можно назвать прямой.
В математической статистике реи~ается обратная заДача --исходными являются наблюдения или экспериментальные данные и в результате их надлежащей (оптимальной) обработки требуется вынести то или иное суждение или решение о природе явления, связанного с наблюдением. Роль такого рода задач особенно возросла в последние 30 лет с развитием науки и соверизенствованнем техники, поскольку с повышением точности экспериментов все в большей мере проявляются случайные факторы, связанные с помехами и ограниченностью измерительных и вычислительных возможное~ей. Статистические методы исследования, базирующиеся на экспериментальных данных, применяются в различных областях 298 знаний и могут преследовать разные цели.
Однако можно выдели гь следующие четыре основные задачи математической статистики (1,5 ]. 1. Оценка неизвестной функции распределения (плотности вероятности). Эта задача обычно формируется так. В результате измерений сл. в. «получены следукицие ее конкретные значения: «о=(«о «~ "' «,).
Требуется оценить неизвестную функцию распределения Г(х) сл. в. «или ее п. в. р(х). Эту задачу можно распространить йа многомерные функции распределения и п, в. Применительно к сл. пр. «(з) иа текущем интервале времени (О, г3 результатом наблюдения может быть непрерывная реализация «9 — — («(т), О < т < г) или же реализация выборочных значений Ц=(«», «,, ..., «,), «;=«(6), Г=О, 9, из этого интервала. 2. Оценка неизвестных параметров закона распределения.
Пусть на основании физических или общетеоретических соображений можно заключить, что сл. в. «или сл. пр, «(з) имеет функцию распределения определенного вида, зависящую от нескольких параметров, значения которых неизвестны (например, в нормальном законе '(!.1.9) порознь или вместе неизвестны т и 22).
На основании располагаемых наблюдений (измерений) «9 или ««нужно оценить значения этих параметров. 3. Статистическая проверка гипотез. Пусть наблюдаемые значения порождаются двумя или несколькими различными событиями (гипотезами). На основании наблюденных значений нужно решить наилучшим образом, какой из гипотез порождены полученные значения. Например, пусть на вход радиоприемного устройства поступает случайное колебание «(г), которое в каждый момент времени является либо помехой я(г) (гипотеза зг«), либо суммой сигнала з(г) и помехи я(г) (гипотеза Б,). В некоторый фиксированный момент времени произведено измерение величины «.
По полученному числовому значению нужно решить наилучшим образом, присутствовал ли на входе сигнал к(з), т. е. выбрать одну из двух гипотез О,: « = з+ я или О„: « = и. Укажем, что задачу проверки гипотез путем формализации записей часто можно свести к задаче оценки значения дискретной сл. в. 4. Фильтрация сообщений. Пусть непосредственному наблюдению доступен сл. пр. «(ц Х(г). й(г)), ги(0, Т), зависящий от информационного сообщения Х(г) и некоторого другого «параметра» 1з(з), вероятностные характеристики которых полностью или частично известны.
Треб"" . ся получить (отфильтровать, взял. лить наилучшим обра,, оценку «(т) реализации информациови., г сообше гия 2.(' держащейся в наблюдаемой 1зеализации «(б Х(г 1, р (г)). Фзз»»г1;,емых параметров Х(г), как и сопутствуюших 1г(г), может быть несколько. Задача фильтрации по существу есть задача оценивания сл. пр. Задача оценки параметров является частным случаем задачи фильтрации, когда 299 фильтруемый параметр ) (г) за время наблюдения Т не успевает существенно измениться. Все характеристики„ подлежащие определениго по результатам опытов или измерений, принято называть стигиистически>ии, я любая функция результатов опытов, которая может быть принята за подходящее значение неизвестнои статистической характеристики, называется оиеггкой этой статистической ксгракигеристики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
