Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В контуре, насгроенном на частоту ого и имеющем малое затухание, происходит эффективная фильтрация высших гармоник„ и они не могут оказывать сугцественнооо влияния на процессы в генераторе. Полому в уравнениях (7) в первом приближении можно опустить быстро осцнллирующие члены /, (. ) и /' (. ). Тогда получим 4' =б(1 — ! '/ 4 о) 4 + ооог(е) енп(<но 1+ ер) еР'=(оо /А)~(е) сон(<осе+ еР). Уравнения (3) принят о называть укарочеоисыони ураниеиилхои нанпонаео ееиераеоюра.
Из ннх легко находим стационарный режим работы генератора в отсутствие флюктуаций. Так, полагая в первом уравнении А'=О, Г(е)=0, находим А„=А„. Аналогично, при с(е)=-0 из второго уравнения получим ер'=.О, ер„=-<р =сопя!, т. е. фаза сохраняет начальное значение. При этом никакому значению начальной фазы нельзя отдать предпочтение. Поэтому се практически следует полагать с.
в.„равномерно распределенной в интервале ( — н, х). Таким образом, в стационарном режиме напряжение на кшпуре определяется формулой !. (Е) =.4о сох(евое+ Еро). (5.3.9) Видно, что введенная ранее в рассмотрение величина А действительно представляет собой установившееся значение амплитуды напряжения на контуре. 2. Регпение уравнения методом лииеаризацни. Применим к уравнениям (8) метод линеаризации в окрестности стационарного состояния. Применение метода линсарнз'щни оправдано тем, что внешнее возмущение '-'(е) и!оедполагается мальом. Поэтому вЕязывает неболыпие отклонения амплитуды А и частоты ср' (е е фазы) от пх стационарных значений. Разумеется.
что линеаризация уравнений относительно флюктуацион~ых отклонений не исхлючает необходимости предгцествующего нелинейного анализа процессов в автогенераторе. 1ак как без него нельзя получить никаких сведений о стационарном режиме генератора. в окрестности которого и осуществляется лщоеариза ция. Обозначим флюктуацин амплитуды и фазы. обусловленные шумом с,(Е). через а=А-АО, Ф=(р — (ро.
(5.3. ! 0) По предположению а и ф' представляют собой малые флюктуационныс отклонения от стационарных значений (например, М',и') «АД) 271 ! (р(!)=я!«+ —" г(х)соз(«7рх+!р„)!/х А0,1 о (5.3.!4) имеет нулевое м. о, и дисперсию Р„(!)=Рб Р=!Уело!!4Ао (5.3.15) Следовательно, полная фаза является нестационарным гауссовским сл. пр. В начальный момент времени !=О п. в. имеет вид дельта-функции 6(47 — 4!е), а затем с ростом г неограниченно 272 Подставим эти выражения в исходные уравнения (8) и удержим в них лишь те члены, малость которых относительно а не превосходит первого порядка. При этом флюктуационное воздействие ~(г) следует считать величиной первого порядка малости, а величины А и р, оставшиеся в уравнениях в виде коэффициентов, нужно заменить их стационарными значениями (А=Ам !р=ф ).
В результате выполнения указанных преобразований для а и !р получим линейные стохастические дифференциальные уравнения а'+ 26а = гв„Р, (!) гйп (ез„7+ Че), (5.3.1 1) Ф'=-(азо(Ао)ь(г) сох(шо7+Юо). Поскольку описанная процедура линеаризации совпадает с задачей отыскания дифференциалов для А и !р, то эти уравнения можно получить из уравнений (8) путем дифференцирования в окрестности стационарного состояния.
Отметим общий и характерный результат метода линеаризации- -в результате его применения для малых флюктуационпых отклонений все~да получаются линейные уравнения, которые в принципе всегда можно решить. При этом если впепшее случайное воздействие является гауссовским, то и случайные отклонения в системе будут гауссовскими процессами. 3. Характеристики фазы н амплитуды. Стационарное решение первого уравнения (11) имеет вид а(!)=!в„) ехр[ — 26(! —.тЦс(х)з!п(«з„х+ф„)!/х.
(5.3.! 2) Отсюда следует, что флюктуации амплитуды а(!) есть гауссовский сл. пр. с нулевым м. о, и корреляционной функцией Я,(т)=Р,ехр( — 26(т!), Р,=)У«з»1166. (5.3.1 3) Этот результат позволяет проверить условие применимости метода линеаризации (Р„«АЦ. Уравнение (11) для случайной фазы !(!(!) по существу совпадает с уравнением (3.5.1) винеровского процесса. Если начальная фаза в момент времени 7=0 равна <р„, то полная фаза расплывается на бесконечной прямой р. Если мысленно представить себе множество идентичных генераторов, образующих некоторый ансамбль, н допустить, что при 1=0 все генераторы ансамбля имеют одинаковую начальную фазу д„, то с ростом г фазы отдельных генераторов будут все более разбросанными.
Поэтому длительная «привязка» текущей фазы к начальной из-за наличия флюктуаций невозможна. Как и для винеровского процесса. приращения фазы за интервал т ! + т!'2 Л<р!=~р !+- — !р г-- = —" р(х)сох(«7„х+ср„)г1х / 0 ! — т!х независи 1ы на неперекрывающихся интервалах, нормально распределены с нулевым м. о. и дисперсией Р„, = Рт. ! 5.3,161 Дисперсия приргццения фазы растет пропорционально времени т. Мгновенные значения приращения фазы могут превьцпать значения 2-2л, +4л и т. д. Поэтому флюктуации фазы вызывают случайный разброс частоты относительно ее номинального значения, причем прак тически невозможно предложить какие-либо меры для устранения э~ого эффекта без существенного изменения принципа работы самого генератора (например, переход от кварцевых генераторов к молекулярным). 4.
Спектральная плотность колебания. Получим сначала выражение для корреляционной функции колебания генератора, а затем вычислим его спектральную птотность. С учетом амплитудных и фазовых флюктуаций (10) колебание генератора (4) будет иметь квазигармопическнй харак гер и его можно записать в следующем виде: Х(!) = А (!)сох~а»!+гр(! Ц = [А«+ а(кЦсоз(со«с+ Ф(!)+<р„). (5З.
17) Для корреляционной функции имеем /г„(т) = М([А«+ а(г Ц [А о+ и(!+ т)1 сов(г»«!+ ф(! )+ <р«)сов(ш«!+ + ш„т+ ф(7+ т)+ ~рр)). Воспользовавшись выражениями (12) и (! 4), можно показать, что амплитудные а(П) и фазовые !р(г ) флюктуации некоррелировапны и независимы. Поэтому Я„(т)=(!72) [А ~«+Я,(тЦМ(соз(гв т+Ь(р,)) = =(1!2) [А т~+ Я,(тЦ Ве[ехр(1«з т)М(ехр(1Ь~р,)Д. Но М(ехр(1Лф,)) есть значение характеристической функции Ф(18) = М(ехр(13Лср,)) случайной величины Лср, в точке 3 =! . о гцв Ш Рис.
5.5. Составляющие спектральной плотности колебания автогене- ратора где Для гауссовской с. в. с нулевым м. о. и известной дисперсией (16) имеем М (ехр()Айз,)) = ехр( —.0 (т)!2). В результате получим окончательную формулу )х,(т)=(1!2) (А во+О,ехр( — 28(т!)3 х х ехр( — 0!т!72)соха т. (5.3.18) По корреляционной функции находим одностороннюю спектральную плотность (рис. 5.5) о '(в)=4) )1„(т)соавтггт= о = Яг(а)+ Яз(а), а)~0, (5.3.19) Естественную нестабильность частоты генератора можно количественно характеризовать относительной шириной спектральной плотности А~Мао = 0)ао- (5.3.24) Здесь определяющим параметром 0 является дисперсия приращения фазы за единицу времени (16).
Однако для количественной оценки нестабильности фазы и частоты колебаний и их экспериментального определения могут быть использованы другие, более удобные характеристики'. В заключение укажем, что анализ работы генераторов импульсных колебаний (мультивибраторов, блокинг-генераторов) показьзвает, что собственные шумы обусловливают случайный характер этих колебаний (длительностей импульсов и периодов их следования)'. 5.4. МЕТОД МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ г лзп!г о г (го) = А з ) ехр1 — 0-') сов(а — оэо)тЫт = ) (п)2)'+( —,)' о (а)= 0„) ехр — 28+ — т соя(в — а„)тс(т= П'! о (5.3.20) (5.3.2! ) (з-lс в 26) ь(аз еза) При записи этих выражений было учтено, что 0 и б много меньше в . Поскольку в рассматриваемом случае 0,<(А ох„то приближенно 5ь(в) 5,(а)=2Аоз.0(0з+4(в — в„)з( (5.3.22) Рассмотрим качественно характер спектра. Если бы флюктуационный шум отсутс.гвовал ©1)=0), то .0=0 и 0,=0. Полагая в (20) и (21) зг! =О, 0,=0 и воспользовашпись формулой для дельта-функции, получим Б+(7')=А ~Б()' — Д)/2. (5.3.23) В данном случае генератор генерировал бы гармоническое колебание (9), спектральная плотность которого есть дискретная линия высотой А~о~2, расположенная на частоте Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
