Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если, например, при выбранной частоте оу =сопз! за некоторое время Л произошло изменение ~(!), то пока невозможно однозначно различить, произошло оно за счет А (!) или гр(!). Более того, сама запись (8) не изменится, если в нее подставить Чз(!)+2/ск, /с=0, 1, 2, ..., вместо гр(г). Чтобы исключить эту неоднозначность, наложим ограничение на возможные значения 25! фазы, а именно будем в записи (8) рассматрива(ь фазу гр(г), приведенную к интервалу шириной 2к (в частности, ! гр(г) )<я). Огибающую А (г) и случайную фазу гр(г) можно доопределить разнымн способами. Один из них базируется на преобразовании Гильберта и введении аналитического сигнала.
Напомним, чзо две функции (детерминированные или случайные) связаны преобразованиями Гильберта, если 1(~)=- ) '— ~е ((~)=— (4.7.9) где интегралы беругся в смысле главного значения Коши. Если рассматривать г,(г) как входной сигнал, то т) (г) есть выходной сигнал линейной системы с импульсной характеристикой Ь(г)= =1)'кг и комплексной частотной характеристикой — го>0, К()го)= ~ — ехр( — !азг)г)г= — )58пго= О, го=О, (4.7.10) го<0. Линейный фильтр с такой комплексной характеристикой часто называют квадрагг~урпыл( фильтром.
Он сдвигае'г фазы спектральных составлякнцих входного сигнала на — к72( при входном колебании созозГ выходной сигнал будет сов((оà — я(2)4 а!пгоГ. Пусть г,(г) — стационарный в широком смысле сл. пр. с нулевым м. о. и корреляционной функцией 72,(т). Пользуясь установленными правилами преобразования характеристик сл. пр. линейными системами, нетрудно получить следуинцне формулы для корреляционных функций: )2„(т) = Яе (т), 7(4 „(т) =- М Я (г) т) (г+ г) ', =: = — М (г,(г+ т) ц (г))г. (4.7.1 1) Процессы г,(г) и т)(г) являются стационарно связанными, причсм взаимная корреляционная функция между ними нечетная.
Отсюда следует, что спектральные плотности стационарных процессов г(г) и т)(() одинаковы: 5,(го)=-5„(аз), а взаимная спектральная плотлюсть равна 54„((о) =- К(!оз) 5е(го) = — ! 5 (го) 58п аь (4.7.12) Перейдем от вещественного случайного процесса г,(г) к комплексному сл. пр. (его часто называют аналитическим процессом) (',(г) = 4 (г) ехР [3(гоог+(Р(г))1 = г(г)+!т) (г) (4.7.13) и потребуем, чтобы его мнимая часть 252 т) (г) =- А (г) яп [а1„г+ гр (г)1. А (г) > О, ! гр ~ < я, (4.7.14) представляла собой преобразование Гильберта от вещественной части г(г). С помощью функций г(г) и т)(г) огибающую А(г) и фазу (р(г) можно определить однозначно: А(г)=[г'(г)+т)'(г)1')'=!г(г) ~, ог+ р(г)=- = агс18 [т) (г)(г(г)) = аг8 (",(г). (4.7.15) Видно, что А (г) > ~ с (г ) ! > 0 и А (г ) = ! г (г) ! в точках, где т! (г ) = О, т.
е. в огибающую вписан процесс г,Я. Если ввести комплексную амплитуду 1'(г)=А (г) ехр [!гр(г)) = А,(г)+)А,(г), где А,(г)=А(г) созгр(г); А,(г)=А(г) япгр(г); А(г)>0, )ерш<к, (4 7.17) то аналитический пропесс, огиба)ощу)о и фазу можно записать в виде (, (г) = (2(г) ехр(! го, г), (4.7.! 8) А(г)= [А,'(г)+А,'(Г)]'", гооГ+гР(г)=агс18 [Ае(()7Ас(Г)(. (4 7 19) Случайные функции А,(г) и А,.(г) есть проекции вектора длины А(г) на оси прямоугольной системы координат.
Век- л 1 l тор вращается со случайной угловой / скоростью гр'(г), конец вектора блуждает l по плоскости (рис. 4.21). 5( ! Из (!7) с учетом (8) и (14) получаем у(е) А,(г)=Цг)созгоо(г)+т)(г) япго (г), х (2, ® А,. (г) = —,"-, (г) яп гоо (г) + т) (г) соя гоо (г). (4.7.20) Рис. 4.2). Геометрическое Отсюда следует, что для гауссовского ирелстивлеиис узксиолосиостационарного процесса е(г) с нулевым го ироиесси м.
о, проекции А,(г) и А,(г) являются совместно гауссовскими со следующими характеристиками: м (А,(г)) =М (А,(г)г =М ((,(г))г = О, А,(т)=М(А,(г) А,(г+т)) =А,(т)=м(А,(г) А,(г+т))= =Я (т) саксо„т+Яе„(т) Яп глот = е74Р(т) соа [(оот — 7(т)), (4.7.21) 22„(т)=м(А,(г) А,(г+т)) = — М(А,(2+т) А,(г)) = =Я~„(т) соаго„т — Й,.(т) Яп гост= — В Р(т) Яп [гост+7(т)1, Л„(0)=М(А,(г) А,(г)) =О, 77, = М (А,'(г)) = 72, = М (А,'.
(г)) = Я,(О) = 77,, 253 где А(т) = [Я г (т)+ А,',(тЦ пг; ф(т) = агс18 [А„(т)1Я, (тЦ. (4.7.24) На основании (13) и (18) находим корреляционные функции аналитического процесса и его огибающей: А (т)= М (~(г+т) «в(г)) =2 [Ат(т)+)А,„(т)], Ар(т) =М (г,(г+т) ехр [ — )ао(г+тЦ Ьв(г) ехр()аоз)) = = А~(т) ехр( — )аот). (4.7.26) Этим корреляционным функциям согласно (12) соответствуют спектральные плотности 5 (а)= ) А~(т)ехр( — )ат)г(т=-2[54(а)+154ч(аЦ= = 2 [54 (оз) + 5 (а) хйп оз] = (4.7. 27) 5 (оз)= ) А;(т)ехР[ — 1(а+ао)т] г1т=5<(а+ао). (4.7.28) Согласно (27) спектральная плотность аналитического процесса отлична от нуля только при положительных частотах. До сих пор на исходный случайный процесс г,(г) не налагались ограничения, в частности не требовалось, чтобы он был узкополосным.
Однако для широкополосного процесса с (т) огибающая А(г) случайная фаза гр(г), квадратур~ые составляющие А,(г), А»(г), а также их корреляционные функции пе являются медленно изменяющимися. В радиотехнических приложениях понятиями огибающей н случайной фазы удается продуктивно воспользоваться для узкополосных процессов, когда указанные функции оказываются медленно изменяющимися по сравнению с колеб гнием частоты а,. Покажем, что для узкополосного процесса с(г) квадратурные составляющие огибающей А, (2) и А, (г) являются медленно изменяюшимися функциями. Для этого выразим их корреляционные функции через спектральную плотность исходного процесса 5 (а).
Подставив в (26) корреляционную функцию аналитического процесса 254 где 21, р(т) = [Атг (т) + Атгч(тЦ г'г. 7(т) агс18 [Атч (т)/А (тЦ (4.7.22) Разрешая уравнения (21) относителыю Я (т) и Ятч(т), получаем А (т)=А,(т) созаот — А„(т) >йпаот=А(т) соз[аот+Ф(тЦ, Атч(т) = А„(т) сох оз„т+ А,(т) гйп оэот= А(т) гйп [а„т+ ф(тЦ, (4 7.23) А„(т) = -1— 5 (а) ехр()ат) г7а= —. 5 (а) ехр()озт) Йо, (4.7.29) имеем »> А. (т)=- "5 (а) ехР[1(а — ао)т] йо= у о 1 5 (гг) ехр()ггт) с((2= — ~ 5 (й) ехр()йт) Ый, (4.7.30) л тг где ьх=а — ао и 54(й)=5 (й+ао).
Но на основании (16) А (т)=2 [А,(т)+)А.»(тЦ. (4.731) Приравнивая правые части выражений (30) и (31), получаем нужный результат 5,(й) '," ' г(й. (4.7,32) — и> Спектральная плотность 5 (ьг) получается из 5 (а) смещением последней по оси частот а влево на величину ао. Для узкополосного процесса с (г) функция 5 (ьг) сконцентрирована в узкой полосе около нулевой частоты 12=0. Поэтому А,(т) и А„(т)„являющиеся косинус- и синус-преобразованиями от нее, представляют собой видеоимпульсы, т. е.
являются медленно изменяющимися функциями т. В тех случаях, когда спектральная плотность 5Да) симметрична относительно частоты а, т.е. функция 5г(й) четная, из (32) имеем Ае„(т)=0. При этом выражения (21) и (23) упрощаются: Ос Р (т) — А» ( ) А»» (т) — 0 7 (т) — 0„(4 7 33) А (т)=77 р(т)созаот, Ат„(т)=.0,р(т) з(па т. В предыдущем рассмотрении ецентральнаю> частота ые считалась заранее выбранной. Ьсгественно возникаег вопрос об оптимальном значении этой частоты для заданной спектральной плотности процесса бз(ы).
Чтобы сфор- 255 мулировать критерий оптимальности, вспомним, что основная цель введения огибающей и фазы узкополосного процесса состояла в том, чтобы в самом представлении такого процесса арасщепить», выделить в явном виде медленно н быстро изменяющиеся компоненты или кпараметры», Исходя из этого замысла, по-видимому, целесообразно частоту ы выбрать таким образом, чтобы получить наименыпую скорость изменения медленно изменяющихся компонент. Поэтому в качестве одного нз возможных и физически оправданных кон]]рч в пп;м,]лы]о] ] ншчсння шсзо]ы ]о„можно нрн ]]и]. мннямяшцню м пыль]н,секо]о о]кнлюия кя]лрл]я модуля нргнпводцой но времени оз.
ко. э]влсксной ]!Гнба]ои]ся м , '! ! '(!)! , '= ц~ц !!о]ко н,кз сг]сьзр]з]] нвя плотность нроьзволной стационарного процесса Рм(г) ргшня ]]'5 (ш)=.г]'К (]л — шв), зо зада ш сводится к минимизации инзсгряла у 2км ',1 ! "(г)!',' = 1 ш'В (]ол шв)Ао — ( (й — ш„)5 (й)]!й !4.7.34! шн (го)иш 1 ш5,(а])]7]о о я— 1 5 (]о) !о 1' 5; (о]) ув] ь (4.7.35) Прн з] ]м мннлмвльнос з]шчсннс и]пе]реля !34! равно — !ш] — и') 5 (ш)]!ш= 4 ( (Я]' — обз) 5с(г])]уш о (4.7.36) Основной круг задач, связанных с анализом узкополосных процессов вида (8), состоит в нахождении различных вероятностных характеристик (ззззотностей вероятностей, корреляционных функций и др.) для огибающей А, случайной фазы гр(!) и их производных по времени. При этом часто полагают исходный сл. пр. с(т) гауссовским.
Такое предположение практически оправдано по крайней мере для собственных флюктуациониых шумов радиоириемпых устройств на выходе УРЧ и УПЧ. Общая методика решения подобных задач заключается в следующем. Так как преобразование Гильберта является линейным, то для гауссовского процесса с (!) сопряженный процесс П (1) будет также гауссовским. При этом квадратурные компоненты Ас(!) и А,(!), а также их различные производные согласно (20) есгь совместно гауссовские процесс!и с известными корреляционными характеристиками (21) и для цих можно записать выражения совместных нормальных плотностей вероятностей'. Если в этих плотностях вероятностей от А,(1) и Ач(!) перейти по формулам ' тихонов В.
и. Выбросы случайных процессов.-- Мл Наука, !970.— 392 с. 256 нр ] условии заданной сцск]ральной ялотносзн 5с(ш). что в силу !27) эквивалентно зязшн]яо спектральной нлоп]ости Ь;.(ш). Прн фиксированной спектральной нлотности 5,(о]) интеграл У зависит только о] ш„приравнивая цронзволную но шо от правой часзи (34) нулю. приходим ]лешо ]снюо, пю оптимальное значение частоты ш сеть среднее значение с ]п,]ральной и:]огносп] 5с(го) ори ш>!З] (4.7.40) где 257 (17) к огибающей А(!) и фазе гр(!), то могут быть получены как совместные, так и раздельные и.
в. огибающей и фазы. Например, совместная п. в. для А,(!) и А,(!) согласно (21) имеет вид Р(А„А])=(1)2к734)ЕхР( — (Асз+Аяз)~273 Д. (4.7.37) Перейдя здесь по формулам (17) к А (!) и гр(!), получаем совместную плотность вероятности огибающей и фазы: р,(А, гр)=(А12к274)ехр( — Аз(27л,), А>0, (гр(<к. (4.7.38) Отсюда находим одномерные и. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
