Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Заметим также, чзо дополнительная компонента белого шума, учитывающая в этом подходе неопределенность полезного сигнала, таран~пруст невырожденность резулыата, сколь бы искусственной ни была исходная модель. 236 Задачи робастной линейной фильтрации по критерию наибольшего отношения сигнал-помеха можно корректно сформулировать и ренлить при разных типах априорной неопределенности относительно сигнала и помехи, в частности при возможном изменении спектра помехи в заданных границах, а также при наличии неопределенности как в форме полезного сигнала, так и в форме спектральной плотности помехи'. 4.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГ'О ПРОЦЕССА Г)усть задан сл. пр.
с м. о. тс(с) и корреляционной функцией )с (г„гз). Найдем м. о. т: (г) и корреляционную функцию 71, (со с>) для производнои с>~(с) . г(>Л-Дс)-Ц~) (4.5.1) с>с ал-о Дл Если бы предел справа существовал для всех реализаций сл, пр. Г,(г), то Г, (1) была бы производной в обычном смысле. Однако такое условие является слишком ограничительным, Будем предполагать, что производная (1) существуег в среднеквадратическом смысле 6 2.8). Говорят, что сл.
пр, Г (с) имеет производную в среднеквадратическом смысле (!птп1 лп Вте шеап ас(>лаге), если можно найти такой другой процесс с'(с), для котороло выполняется равенство 1пп М (- ( ) — Г,'(г) =О. (4 5 2) Допуская пока существование производной, для достаточно малого, но конечного Ас можем написать приближенное равенство „,,(,)= (гм(,))-М ™д'~ ~И ='.Г„,,(,+Л,) л,,(с)1 В правую часть лого равенства входят оГ>ычньле, неслучайные функции.
При переходе к пределу (Ас- О) приближенное равенство перейдет в точное: т'-'(")=-б™С(С)с ОЬ (4.5.3) Следовательно, м. о. производной от сл. пр. равно производной от его м.о. Иначе говоря, операции дифференцирования и м. о. можно менять местами. Получим правило вычисления корреляционной функции производной сл. пр, Рассмотрим сначала подробно случай стационарного в широком смысле сп. пр.
с нулевым м. о. (т = О) и корреляционной функцией тес(т). ' Кассам С. Д., Пур Г. В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор// ТИИЗР— 1985.--Т. 73, >ч> 3. С. 54-.110. 237 При нахождении корреляционной функции для производной возникает следующее затруднение. Процесс "'(е) в выражении (2) не задан. Поэтому нужно сначала вь!яспить условия сущест- вования тако!.о процесса и лишь затем вычислять его харак- теристики. Для получения условий существования производной можно воспользоваться правилом Коши (П5), согласно которому ДОлжпО ВыпОлняться равеле!'ВО (4.5.4) 6, Докажем, что необходимое и доста!очное условие диффереп- цируемости стационарного процесса «(Е) в срецпеквадратическом смысле заключается в том, чтобы корреляционная функция процесса А«(т) при т=О имела производные до второго порядка включительно.
Напомним, что корреляционная функция вещественного стаци- онарного процесса является четной. Позтому если опа лифферен- цируема, то А((0)=еИ (т)(сИ!,=6-— -О, следовательно, лля малых т А«(т) — А«(0)=А«(0)т~)2, А«(0)=-е) А,(т))е)6~31 „. (455) Если в (4) выполнить операции, указанные в фигурных скобках, затем почленно взять м. о, и учесть равенство (5), то нетрудно убедиться в справедливости следующих соотношений; «(Ег 61) «(Е) «(Е ! Ег) «(Е)г ЕЕЕ(61 бг) Е11(61) — ЕЕЕ(61)г-ЕЕЕ(0) ! 6, Ег 616 — - -А;(О). — л;(6,) - л ((о) (4.5.6) 61 Воспользовавшись зтими соотношениями, из (4) получим 'З2! М «('чк!) «(') — "('."-')- — "( — ') ~ ~ — — 2А„"(0)+2А,(0)=О, 6 1 6 г 1,1 -о что и завершает доказательство достаточности.
Необходимость сформулированного условия следует из (6), а также из опрелеления (2) и последующих формул (8) и (9). Этот результат позволяет легко проверп ! 1,. будет ли процесс дифференци- руемым. Точно так же можно показа ! ь, что нестационарный процесс «(е) будет дифференцируем в средпсквадратическом смысле, если при е, =е, существует вторая сме!панная произволная д А«(е„е2)Едегде2. 11ерейдем ~еперь к фактическому вычислению корреляционных функций. Найдем сначала взаимную корреляционную функцию между процессом и его производной 238 (4.5.8) (4.5. 11) (4.5.13) 239 А„(Е„Е,) = М (Ц (Е,) «'(Е,)).
Так как 1«(11+6) — «(Ег) лг(11, Ег.Е-6) — л1(Е1, Ег) М «(Ег) 6 6 при 6-10 получим Аи = дА«(Е1, Е2)еЕдеЕ2 Аналогично из соотношения «(Ег 1 6) — «(11) «,( ) л11 (11-'-6, Ег) — ли (Ег, Ег) при с- 0 следует Ак(Е!1 Е2) А« «(Е11 Е2) дА«к (Е! Е2)Е дЕ1 =д А (Е1 Е2)Е дЕ1д!2 (4.5.9) Таким образом, чтобы найти корреляционную функцию производной дифференцируемого сл.
пр., нужно дважды продиф- ференцировать корреляционную функцию исходного процесса: сначала по одному аргументу, а затем — по другому. Повторно применяя приведенные ранее рассуждения, приходим к выводу, что л-я производная «'"1 (Е)= е)" Ц(Е))ЕГЕ" (4.5.10) пгЕоцесса „'(е) существует, если существует производная и "А«(е„ег)/дегдег. При зтОм т«е,(Е)=М(е("«(Е)Ее)Е") =е("и (Е)ЕЕЕЕ", (4"«(е,) гЕ"«(е,)( д™Л (е„е,) (4.5.1 2) 1ЕЕ 1 ЕЕЕ г ) 1 Е 1Е'Е г «ЕИ 1 2 " «(Ег) 'Е Ч(11) 6 л16(11 Ег) В том снучае, когла процессы «(е) и т!(е) стационарно связаны, послелняя формула принимает вил (4.5.14) Применим полученные формулы к стационарному в широком смысле процессу «(Е), для которого еп,=сопвц А«(егг е2)=А«(т), 6=Р2 — 21.
(4,5.15) Из формулы (3) следует, что и« вЂ” — О, а из (8), (9), (12) и (13) соответственно получим Л„„(т) =- М («(>,) «'(>,)) = — й4 («(>,) «'(>,)) = д,(т), Юе (т)= — —" ,— '= — )!" (т), 27 =Я„(0)=— ° (,)=( „." (), „=.~«()'«")~=",() (4.5.1 8) (4.5.16) (4.5.!7) >>, >2~(0) 02е( ),( 9 ( ) 29( ) 2> =Л~">(О)= ! >0 Яе(0>), з,„( )= Я ( ), (4.5.20) (4.5.21) Выражение (20) показывает, что необходимое и достаточное условие дифференцируемости стационарного процесса один раз состоит в том, чтобы его спектральная плотность убывала с ростом частоты быстрее, чем 0> 2. Для дважды дифференцируемого процесса, как видно из (21), спектральная плотность при высоких частотах должна убывать быстрее оз Взаимная корреляционная функция между процессом и его производной (17) меняет знак в зависимости от того, как берется 240 Формула (17) показывает, что в результате дифференцирования стационарного в широком смысле сл.
пр. всегда получается стационарный в широком смысле сл. пр. с нулевым м. о. Воспользовавшись известным свойством корреляционной функции стационарного процесса, можно написать ) Я4 (т) ! <.0'4. = — )14 (0). (4.5.1 9) Следовательно, конечная вторая производная от корреляционной функции стационарного процесса существует при любом т, если только она существует при т=О, т. е. если существует конечная дисперсия для производной (скорости).
Такое условие дифференцируемости стационарного сл. пр. является общепринятым. Однако в 8 4.2 были рассмотрены линейные преобразования БГШ, имеющего дельтообразную корреляционную функцию. Учитывая известные правила оперирования дельта-функцией, при решении некоторых задач можно допус~ить наличие в корреляционной функции производной сл.пр. дельтообразных слагаемых. Воспользовавшись формулой Винера — Хинчина, условия дифферепцируемости стационарного процесса можно сформулировать для спектральной области. Согласно этой формуле имеем производная: справа или слева от отсчетпого значения процесса.
Из четности корреляционной фушп;ии Р,, (т), а > ак>ке из (16; при 2=-0 следует, что йрг(О) = й,(О) =О. Следовательно, стационарный сл. пр. и е>.о производная в совпадающие моменты времени некоррелированны. Среди стационарных сл. пр. можно выделить узкий класс процессов, для которых значения процесса «(>) и его производной (>) в совпадающие моменты времени не только пекоррелировапны, но и независимы, т. е. р(««')=р («)р; («') Процессы, удовлетворяющие этому условию, можно назвать стационарными процессами с независимой производной в совпадающие моменты времени. Из формулы (22) следует, что для гауссовских стационарных процессов условие (23) выполняется и для них нетрудно з>п>псать совместную и.
в. р(«, «')= — — ехр — — — (« — >п )2 — — — — «'2, (4.5.24) >, р,~>'„(0>) ! 3 л., ! ~ г," (О) >де г (т) нормированная корреляционная функция процесса «(>). Можно показать, что для дифференцируемых стационарных сл. пр. совместная и. в. р(«, «') является четной функцией относительно «': р(«, «')=р(«, — «'). (4 5 '>5) Повторив рассуждения, приведшие к формуле (22), можно прийти к выводу, что если стационарный процесс дифференцируем несколько раз, то производная»-го порядка некоррелировапна с (1> — 1)-й и (ч+!)-й производными, взятыми в один и тот же момент времени. Применительно к гауссовскому стационарному процессу отс>ода следует, что совместная и.
в. для «(>), «'(>) и «" (>) будет иметь вид р(««' «")=рз(«)р(««") (4.5.26) Выполнив вычисления, при и =0 получим р(««' «") — ехр (О,«2 ! 2!7 ««" 2)— (4.5.27) где 77> = — й,гДО)' .02=.0~>( г>(туг!т~ !,.=0=27~гР~(0): 27 О )72 24! 4.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЪ|Е И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассмотрим методику нпересчета» вероятносгных характерь сгик сл. пр. через линейные системы, описываемые линейными дифференциальными и разпостными уравнениями. Получим характеристики процесса Ч(Е) на выходе линейной системы, на вход которой, начиная с момента времени е =О, воздействует сл, пр. «(е).
При этом считаем, что повеление линейной системы описывается линейным дифференциальным уравнением л-го порядка с постоянными коэффициентами ад а„>1'"'(>)+ак.>Ч'"""(Е)+...+а т|(Е)=«(Е), Е>0. (4.6.1) Примем начальные условия Лля т|(Е) нулевыми: т!(0)=-Ч (0)=...=т|ы "(0)=0. (462) При случайном входном процессе «(е) выходной процесс т!(е) будет также случайным, и поэтому дифференциальное уравнение (1! часто называют флюктуационным. Принципиальные возможности решения задачи с помощью дифференциальных уравнений такие же, как и при использовании импульсных характеристик (см. п. 4.2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
