Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. р„(т))=б(ц — т1с). Очевилно, что процесс т1(!) является гауссовским и для его описания достщочно вычислить м. о. и корреляционную функцию. Из решения 130) находим м. о ч(1~ця)=М(П(!)~цсг,= цяехр( — а!). Для корреляционной функции, по определению, имеем к„ (г,, г, ) = 64 ([ч (г, ) — „ (г, )] [и (гг ) — кчч (гг )]) = и'К 2 =--- ехр[ — а(г!ч-гг)] акр[а(!г!-',иг)]5(иг — и!)т)и!т)лг.
Выполнив интегрирование с делша-функцией, найдем К„(г, тч-т)=(а)4)1т'ехр( — и(т()[1 — ехр( — 2ш)], Отсюда при т=0 получаем выражение лля дисперсии Рч(!)=(и!4)дг[1-схр(-2а!)]. Формулы лля сгаштонарного состояния (! со) имеют вил Кч(т)=узчелр( — и)т)). Рч=игт!74 Рассмотрим теперь второй случай, когда не зависящее от п(!) начальное значение ця является случайным с заданным распределением рс(цс), имеющим м. о ш, и дисперсию Р„. Решение (30) можно представить в виде двух слагаемых (независимых процессов): т1(!).=ц!(!)4т1г(!), Ч,(!)6 Всехр( — и!), Чг(!)=искр( — а!)(ехр(ии)л(н)йи. я Процесс сц(!) имеет распределение р, (В,)==ехр(сц)р,(ехр(и!)пц) с м.
о. ш,(!) и лисперсией Р,(!): Процесс цг(!) является гауссовским с нулевым м. о. и дисперсией (32). ! Воспользованшись правилом композиции распределений, можно найзи и. в. процесса т1(!). Заметим, что ш,(!) О, Р,(!)-лб и, следовательно, Ч!(!) — 0 нри 207 22,=-- ~ /2<(<о)К (~о) /оз, <'---1, 2. 1 о Отсюда видно, что стационарные случайные процессы на выходе линейных систем с пеперекрываюп!Им!!ся амплитудночнс!Отпымп хцрак<ернстикдмн всегда пекоррслированны, а в случае совместно гаусс<пзских процессов и независимы. Пример 4.2.3.
Взапииаи корреляция лля двух расстроевныч контуров. Рассмотрим конкрсяпый п<зиь<ср. Пуп< ь пв лва расстрос<пп.<х друг относительно друга колеба<сльных контур< аозлсис<вусг ВГШ со спектральной плотностью Х. «с/=я<2. Принимая л<аксньюльдос усиление равным сди<вцс, комплексные частотные харак гернсы<ки контуров можно запнсап в виде -[ -(„" —.:))' ( и с<вЧ-Л<ч')1 '.ь,.ь (, /- -"--- «св 1. Л<ч ы где <ся/2к -рсюнанспвя <астотв первого контура: Ьз лобротность контура; Лы-- расстроика но частотс второго ко<нура о<носительно первого.
Примем, что контуры валяются узкополосными и расстройка невелика: Л<с, коН„Лы '.-с<я. глс Л/=-Лс<,/2к= <в„/2кй ширина полосы конгура по уровню ~юловинной мо<п<юс<и Вьп олина вычисления по формуле (40), полу <им л р„(<1= 1Ь вЂ” — схр -"-Лс<1<~ соз(<в,тЧ <р), /у,=//<=--ЛЛзг, (,Лы,) 1 ~лс я< =ого<К/Л<л<Ло<<). Отсюла видно, <то «о<ибаюп<аял нормированной взаимной коррелмок<нной <1~ункцпн уменьшается с увеличением т и Лы и в пределе стремится к пулю. В частпосп<, при т=-О р„(0) = 1+(А<о/А<о, )'. 43. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ Предположим„что имеется сумма детерминированного сигнала х(/) конечной длительности т„и БГШ и(/) с известной односторонней спектральной плотностью /У< е(/) =к(/)+л(/), 0~(/~ (7. (4.3.1) Такая сумма воздействует на вход линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой К()от) или импульсной характеристикой й(/).
Нас интересует, при каких условиях отношение наибольшего пика сигнила к среднеквадратическому значению шума на выходе фильтра достигает наибольшего значения. Для краткости назовем это отношение никоныл< отношением сигнал- 210 шум. Необходимость решения <аких задач во!никас/ при обнаружении сигнала на фоне шума, когда пе требуется точное воспроизведение сип!Ола, а нужно лишь зафиксировать сам фак! наличия или <псутствия сигнала .г(/) на интервале времени (О, Т).
Сформулирона<шую задачу можно решать в двух, несколько <гтличных пос<дновках: 1) линейный фильтр задан и максимизация пикового озз<ошеиия сигнал-шум достигается лини, подбором Отдельно!х и/цзаме1- ров филшра; назовем такие фильтры квазио/!/пил<а/<ьнь<,ии; 2) сразу отыскивается линейный фильтр (т. е, функции К()<о) или )< (/)), который обеспечивает получение наибольшего возможного в условиях задачи пикового отношения сип<ал-шум. Будем называть такие фильтры согда<овонныуии.
Сформулированные две задачи допускают многочисленные обобщения, в частности шум н (/) может бы ть не белым, а стационарным гауссовским процессом с известной корреляционной функцией 6 4.4). Проиллюстрируем методику реп!ения первой задачи на частных примерах. Пример 4.3.1. Воздействие видеоимнульса и бело! о шума на интегрирующую цепь ЯС. Пусть на интегрирующую цепь ЯС воздействует напряжение, представляю!цее собой сумму (1) белого шума л (/) н детерминированного сигнального видеоимпульса у(/) прямоугольной формы с амплитудой Ао и длительностью (рис. 4.8). Начальное напряжение на конденсаторе полагаем равным нулю.
Найдем отношение сигнал-шум (отношение амплитуды сигнала к среднеквадратическому значению шума) на выходе цепи ЯС в конце видеоимпульса в двух случаях: 1) цепь ЯС включена всегда; 2) осуществляется стробироаание имнуль« /, что можно интерпретировать как подключение цепи ЛС к источнику напряжения Р,(/) на время А+т„, т. е. в момент времени /'=/ — А, где / --момент появления видеоимпульса (рис. 4.8, а).
Рассмотрим первый случай, когда шум воздействует на цепь задолго до момента /„ появления видеоимпульса. Очевидно, что наибольшее отношение сигнал-шум получается в конце импульса, причем напряжение сигнала на конденсаторе равно У(т„)=Ао(! — ехр( — <хтя)), с<=1/ЯС. (4.3.2) Рис. 4.8 Воздействие прямоугольного вндеоимпульса и белого шума на цепь /<Г 211 р(охт,) 0,2 а,б 0 1 2 ит, буб ат г Зж шт„ Рис. 4.10. Соотношения между спектральными плотностями при оптимальной полосе цепи ьС Рис.
4ЗХ Зависимость пикового отношения саная-шум на выходе интегрирующей цепи оС при сгробировании и без стробирования (и= со) Дисперсия напряжения шума й (г) на конденсаторе в данном случае определяется формулой (4.2.33): 22.=-от =и1у'14. (4.3.3) Поэтому отношение сигнал-шум равно х(т„)/ох= у4Аот7иАг[1 — ехр( — ат„Ц= /2Е1Мр(ат„), р(ит,)= гг21ат„[1 — ехр( — ат„Ц, (4.3.4) тле Е=Аохт„-энергия видеоимпульса. График функции р(ит„) приведен на рис.
4.9 (кривая, соответствующая и = оо). Из него находим оп.гимальное значение безразмерного параметра ат„, при котором пиковое отношение сип1ал-шум достигает максимального значения: р .„=0,9 при ити-1,25. (4.3.5) Учитывая, что полоса пропускания цепи ЯС на уровне 0,5 по мощности равна ЛГ=а/2я, находим оптимальную полосу пропускания Ау' =0,2/т„. Таким образом, при воздействии на вход интегрирующей цепи АС суммы прямоугольного видеоимпульса и белого шума на выходе цепи будет получено пиковое отношение сигнал-шум, приблизительно равное 0,9 /2Е~М, если выбра.гь полосу пропускания Л7 =0,21'т,. Качественно наличие оптимальной полосы пропускания легко понять из рассмотрения рис.
4.10, на котором изображены 212 спектры входного сипшла !Е()та)!' и шума Л",'2, а также квадрат амплитудно-частотной характеристики $2х'()01)) — — [1+(ш1и) х ) Алхплитулно-частотная характеристика при оптимальной полосе пропускания обеспечивает большое иусилениеи наиболее интенсивных участков спектра сигнала и рациональное ослабление слабых его учао~кон; в проп1впом случае вместе со слабыми спект ральнымн составляющими сипила через цепь проходили бы игпенсивные шумы.
Естественно, что при этом форма сигнала па выходе искажаезся. Однако это не имеет значения, так как задача фильтра в данном случае состоит не в точном воспроизведении сигнала, а в получении наибольшего пикового отношения сигнал-шум. Рассмотрим второй случай, когда осуществляется стробирование импульса с некоторым упреждением Л (рис. 4.8), причем длительность строба равна т, =Л+ т„= (1+ и)т„, где х = Л)ти. В данном случае напряжение сигнала на конденсаторе в конце импульса по-прежнему определяется выражением (2), а дисперсия шума нахолится по формуле (4.232): о;", (Л+ т„) = о т [1 — ехр ( — 2и (Л+ т„)Ц = =(аЛ 4) [! — ехр( — 2ит. (1+ и))1, (4.3.6) 1ле о'=иАг/4- дисперсия напряжения шума в стационарном состоянии.
Поэтому отношение сигнал-шум равно х(т,) А„1 — ехр( — пт„) !2Е (4.3.7) (Д, т ) гг [! —.ехр(-2пт (1Ьх)))ох Л/ Хг гле !2 р„(ит„)= ( — — [! — ехр( — ит„Ц[1 — ехр( — 2ит„(1+и)Ц ат„ =р(ит„) [1 — ехр( — 2ат„(1+и)Ц (4.3.8) Графики функции р„(ит„) лля шести значений и приведены на рис.
4.9. Допустим, что осуществляется илеальное стробировацие (А=и=0). Если постоянная времени ЯС достаточно велика, так что выполняется неравенство ит «1, то, применяя приближенные равенства елр( — их)=1 — х,,г1+х=1+х!2. из формулы (7) получаем Х(т„)/оя (т„) =- уг2Е1Аг. (4.3.9) Таким образом, при выполнении условия ит„« 1, обеспечиваюгцего хорошее интегрирование в течение длительности 213 импульса.
пиковое о!шипение си!пал-пьум определяется !олько отношашем улвощшои1 знер! Ин си! нала и спектральной ин!Снсивиоспг 1пум:3 !3 цс ьщьцсиь порознь от амплитуды и длигельньтс ! и имььульса. Этот резуль гь!т имеет фундаментальное значение в !сории онзьнмальцых методов приема. Он показывает.
!го путем инге! рцрова пня зювгно выдели ! ь из шума импульс даже очень милой амили ! уды. Лишь бь1 он имел большую /!ли 3ельносгь ( 3), Из графиков рис. 4,9 видно, что без стробирования (1 — -ОО) величина р „=0,9 нри гхтыге1,25. При идеальном стробировании (1 ==0), т. е. когда цепь 3!с' поЛключается на время тс=т„ в моче!и времени /о нолвлецня импульса, роь„х,— 1 цри и- О. При других значениях о получаются цромеькуточные случаи„ в !астнос!н, ?шя них рк=-1/,,~!+р нри О=О. Увелиььс!!Ис пикового огь!Он!ения сигнал-и!уь! Ири стробировцнии объясняегся !ем, что при значениях ?х, меньших времени установления напряженна на конденсаторе, нестационарный выхолной шум за время 33+к.
Ие успевает нарасти ло максимального стационарного значения, ко!орое !Излучается в отсутствие стробнроппиия. Этим жс объясняг'.гся иаб?подаемое на рис. 4.9 уменьшение оптимальной полосы цронускання нрн уменьшении щ Отме!ил!. что и,!сальное (и=О) стробироваиие сищ!алц .1(/) ОРелиолагас1 ьо шо извес!ными момент /о цоавлециа имцУльсного сипщла и его длительное!ь т..
При приеме имь!ульсных сигналов В иргьк'1и'!Сскььх услоВиях В)зсмя занпздыВаььи51 сигьщла Ооычно !Очно нсизвес!Ио. Для его оиределсния применяю г устройства сиц:51ц1ии, позвОл531оььцц ИОлучить Оцснку с искотОВОЙ Ошиокой, По пой при!Инс практически загрулинтепьно осуществить идеалы!ос стробировьцше и длигельносьь строба приходится увеличива ! !и 1. с. бра ! ь тс > т,. ВЫШЕ бЫЛИ 1533ссьльт!)ЗЕ!!Ы НЕСКОЛЬКО Ь !рнаит!З!3, ОтНОСШИИХСя к щстному случггць сгробирования. коьд" окон щцие сгроба !очно сОВ13алцет с коицгьм сш цьльно!'О вынул! Оь!.
Раз"/мс1.'тся. 'по можно;шалнзиров пь и /1ругнс варищи.ы: разное,четсрминированцое и слу щйнос взаимное раглюложеиис с!роба /р игсльнохцьнь и имцу?33:сьь,ць,ь!е.!Ьнос'1ло т„, фьь(ьмгь сиг1щл,ь с(/), О1личндьь 01 1ЦьЯЫОУ1 ОЛЬПОьь' 1НУЫ Н (ь ). КО(зРСь1101!ьпанНЫЙ С ЗЦД13ННОЙ корреляционной фу!И;ци",и. Н!имер 4 3 2. Воз и Ьсьвпь Рывюнмиуыьсл вв по!35 рлаьезььььььяь нььнт/ьр. Иб бьцпм »ОЗУЧеппые РСЗГЛЫ,О Ы ".:, ЫГ РМЫЮЗРОВЯ.ЫЫС Ра Ппьп'ПЧ„ЬЬС, ПУСТЬ Пв КОЛС- бюьыы мч коыьььь, жьс»:спь мп 311 щльа.ь?ьсль ьььь3 сосдпыащх ыьььь,ьсььгзььо!Тх смкосьью С, сщцюь!а ьь пььы Л и кпьущмь ыыд кьывщыыью / !рььс. 4 !33. пры ыь сыьг, и ш !льны' усл ьвюп ко ля!стыть 3 с! ььмьь 313 сььгьььььььь 5!П ы баю! ь !пума л!3 Гшп;ьч ь!ь 3 ьрс ьс и ь,щсз сор!5 п дсьсььмв щр,ьвщ:ный прымоуьочьпый щьыво !Ыььул..,ьмы ыггу юп;1, и щьь-с и ььььсь3ььь Ър ?34 з/О Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
