Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4.11. Воздействие радиоимпульса и белого шума на колебательный контур (4.3.10) з(1)= 4снпщег гсжьмге-~-т, 1 ч(1) = — ехр( — иг) ехр(их) яв ььььь(3 — л)ч'(х) хх. ыоС с (4.3.1!) Извес!но, что ддя линейных сисгем справедлив принцип суперпозицин. Поэтому можно раздельно находить сигнал и шум на выходе системы. Из (П) для напряжения сигнала и шума на контуре имеем соответственно формулы ь 1 У(1) = А„— схр( — иг) ехр(их) яп яе(3 — х) сох вехах= лен(1 — ехр( — ш)) япя„г, о (4.3.12) 1 й(1)= ехР(-иг) ехР(ик)Япозе(1 — л)ы'(х)ь/х, ясС с (4.3.13) где ы'(1) —. производная от белого шума, имеющая корреляционную функцию Як (х) = (Дь/2) Ь" (т).
Для лисперсии напряжения выхолного шума ыр) получим 0ы(1) = их (1) =(/ул/4С) [1 — ЕХр( — 2иг)). (4.3.14) Если копебательный контур полкдючен к источнику тока ч(1) задолго до момента гс, то шУмовое напРЯжение на контУРе и (!) к моментУ действиЯ радиоимпульса будет стационарным с дисперсией их =/УЛ/4С !4.3.1 5) 215 Резонансная часто!а колебательного контура предполагаетса совпадающей с частотой сигнала, т.
е. яс —— (ДС) ". Найдем пиковое отношение сигнал-шум (отношение амплитуды сигнала к среднеквадразичсскому значению шума) в конце импульса в двух случаях: 1) колебательный контур включен задолго до появления сигнала; 2) осуществляется стробировапие, т. с. контур полкпючается к источнику тока Е(1) на время аж с„в л!омеит времени ('=1„— /3, где 3„--момен! появления радиоимпульса.
Можно показать, что при выполнении условия вол 1/2ЛС выходное напряжение иа контуре определяется выражением А(т„)= Ас й'(1 — ехр( — цт„)1. (4.3.16) А (т„),'па =, УЧУ)уугд' р (цт„). 14.3.17) р .„,=0.9 при хт„=1,25. (4.3.1 8) (4,3.19) Пиковое опюшсние сигналчушм .4(т„)урка(Л ' т„)= ~2ГАЖР,.(ит„)„ (4.3.20) ал ц Р я»о»м»у»м 0.91 0.94 0,94 1,0 0.90 1,37 0,72 0,72 0,63 0,40 Прямоугсльвый Гауссовский Идеально-прямоугольный Гауссонский Одиночный резонансный кон- тур Двухкаскадный резонансный усилитель Пятикаскадный резонансный усилитель Прямоугольный Прямоугольный Гауссовский Гауссовский Прямоугольный 0.93 0.61 Прямоугольный Прямоугольный 0.94 0,67 4.4.1. АНАЛОГОВЫЕ уРИЛЪТРЫ Е= з'(1)ей= — ~Е()а)(зг(оу, (4 к22) 216 217 Согласно (12) намплнтула» напряжсния сигнала У(г) в конце импульса Полому пиковое отношение сипуал-шум в отсутствие стробирования равно уде Н=А,>т„'2 - унергия ралиоимпульса, в коэффициент р(ат„) дается вьуруувгсуунсм (4), График функпии р(пт„) был приведен на рис.
4.9. Поэтому по-прежнему Отличие от цспн НС состоит в том. что полоса прспускания контура на уровне 0,5 по мощности равна Л)=п,'я и, следовательно, оптимальная полоса пропускания контура в лва раза больше, чем для цепи йС: ЛУ» 0,4(т„. Пусть контур нсдключасгся в момент времени г'=ге — Л, а рвдиоимпульс появляется повис, в мсмсщ времени у„> уз Амплиз.уда сигнала в конце импульса по-прежнему равна А(т„), а дисперсию шума нахолим нз формулы (14): пз(Льт„) =(ХК(4С)(1 — схр( — 2пт„(1+с))), с=А,'т„.
глс бсзрпмсрный кпзффнцнснт р,(пт„) определен формулой 18) н представлен графически иа рнс. 4 9 для нескольких значений Вычисления. приведшие к формуле (17), т. е. в отсутствие стробирования. можно выполнить лля других линейных фильтров. При этом если характеристики линейного фильтра определяются не одним, а несколькими параметрами, то следует выполнить оптимизацию по всем этим параметрам. Обозначим через р отношение максимального пикового значения сигнал-шум по напряжению на выходе рассматриваемого линейного фильтра с комплексной частотной характеристикой К()а) к максимально возможному значению этой величины, равной /2Е(ут': р = ~ у (го) ! !оя,у 2Е!7У.
(4.3.2 1) Здесь Е-- энергия входного сигнала: Х(1„)--- величина выходного сигнала в момент времени гп, соответствующий максимальному пику, и о,'-., -- дисперсия стационарного выходного шума. Если 5()оз)-- спектр входного сигнала, то ,т() ) = — Е()а)К()в) ехр(!а) )г(а, о-'= — — (К()в)~зйо Подставив эти выражения в (2!), получим Р= ! ) 5()в)К()в)ехР()в)в)г(го([ ) (Е()а)('г(в х ю х )" (К()в)(зг(а) з)з. Вычисления по этой формуле лля нескольких пар ралиоимпульс — -фильтр приведены в табл.
4.1; в ней указаны значения р,„и приведены оптимальные значения АГ т„, при которых достигается р ,„. таблица 4.1. Основные характернегвкн квязнвитнмяльных фильтров 4.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ И СОГЛАСОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ Пусть на вход линейного фильтра с импульсной характеристикой )г (1) или комплексной частотной характеристикой К()го) воздействует сумма детерминированного сигнала х(Г) конечной длительности т, и стационарной помехи (ц)ума) п(1) с известной спектральной плотностью Е„(оу): Цг)=т(1)+л(1), у(г)ФО при 0<)(Т.
(4.4.1) ) ( 5()»о)К(во)ехр(гсог )о)о») »» )я(го)) с) 2л ( 5 (о»))К(го»))2»г»о Залача заключается в том, чтобы найти такую функцию К()со), при которой отношение (4) в некоторый момент времени с ' достигает максимума. Эта задача может быть решена методом вариационного исчисления или же на базе известного неравенства Шварца — Буняковского.
Воспользуемся этим неравенством (ПЗ), записав его в следующем вице. (4.4.4) ) Х.~*(йк( )4 )' < ~Д( )~2,7 ( )к(о)))'»гог Полагая здесь .з'с) )=о(» )-о)»юл) '» о.) ). ») )=л)» ),Л.) ). Получим оплгимальиый липс'йный фили»11172, на выхоце которого лостигаегся наибольпшс отношение пикового значения сигнала к среднеквалратическому значению шума. Обозначим полезный сигнал на выхоле фильтра через з (г) и помеху через гг(г).
Известно, что если на вход линейной сиг семы с комплексной частотной характеристикой К()со) воздействует с)сгнил х(г), имеюпсий комплексный спектр 5()со)= ) х(г)ехр( — )огг)с)г, то комплексный спектр сигнала на выходе системы определяется произведением о()ог)К()со), а сам выходной сигнал — выражением У(г) = — ~ 5()со)К()оз) ехр()сог)с))со. (4.4.2) Спектральная плотность помехи на выходе фильтра равна 5„(со))К()со))2, а дисперсия е»г 5 ( )»К(' )»гс( (4.4.3) На основании (2) н (3) получаем выражение для отношения сигнал-помеха по мощности на выходе фильтра в неко~орый момент времени имеем 5(йо)К(яо)есрП»о»о)Все) ! ) 5 ( )»»»)) 2л ', зл , *5, (о») ( 5» (»о) ) К (зо») )»»го» )4.4.5) Огглола следует, что ма«симально оозмгокное зпачс)ше поношения сигнал-помеха определяется правой частью стого соо)- ношения, т, е.
где с — пскотоРаЯ пост.оаннаЯ; го- момент вРемени, сос»зветсгвУ- ющий наибольшему отношснй)о пиковогс значения сигпаг)а х среднеквадрагическому зн;шснию помехи. Поскольку дисперсия выхолного шУма (3) нс зависит о1 вРемснн, то го слелУег пол)па»»ь равньгм момен)у времени, гл)ответствующему концу имнул,с)кос сигнала я(1) и:)и же дгнгтельности интервала наблючспия 7. Зная коьтлекснукз час)о сную характерис)ику о)п имальпщ о филь гра (7), по изоесгной формуле можно пай)»1 импульснук) харак)сристику.
Для выяснс;пня ггринцип))а»зыгогй ~оз~ожности рсализа)п и полученного оптимального фильтра необходимо проверить выполнение условия физической возмож)юс)и фильтра. Гели .ого условие нс выполняется, »о следует воспользоваться метолами построении) с)игзически возможных фи»)ьсров (см. ниже). Таким образом, комплексная час)огная харак)ерисгика оптимального линейного фильтра оп едсляе)ся формуле« (7) а иаиболыпес о)ношение сигнал-помеха --формулой )6).
В некоторых приложениях )ребусзся полу)и)ь ка оыхоле фллыпо ваиболыкес пе отношение»:: гнал.помеха, а о гки)генис 1;руз»ииы сис!юла 1 с)те,'ц!с)свалуятл)чсс кому з)шчсниго к»мех»с (опгималып,»с фп )ь)ры по кругизнс»чп пшга). В )акой формулиу)ог»кс 1»римспима изложенная мстоликг) с гсзй з)ишь ран»ицсй, что теперь вместо самого сиышла о (г) нужно рассмагричо. ь ЕГО ОРОИЗВО»ц»УК ПО ВРЕМЕНИ )о (г). Отметим. )со. варьируя»люк срам) сиг гала и помехи о ',оз) Л 5о(СО) В фОрчуЛЕ (6), МО1КНО ПрИ НСКОтпрЫХ цОНОЛ)»нте П П»С«Х усчовиях (например, пос ояпсгво энергии пли мощпосги си»шла С ==- 3 '-,— ' — 71. ) ) ).'»П)с»))» б».4Л' » 2л ~ 5„(о») Согласно (П4) зто зна )ение достигается лишь при выполпшши условия К( )со) г 5„(со) =- со 5 "' ()»о) ехр ( — ))сог„)/„72я5» (с»)) илн К()ог)=»се(б*()оз)72»о(а))~ ехр( — )с»)г„), (4.4.7) шах шш (7 яэ эгп э С шой целью для пронзвольноэо сигнала со спектром 5()ы! найдем спектральную плотность помехи 5„(ш), для которой имеет место поп О.
Затем, считая, что хд э сигнал принимается на фоне наихудшей помехи, найдем из условия (8) спектр споила. Таким образом будет найден наилучший в ухазанно*и смысле сиэнал и определено отношение сигнал-помеха, которое можно получить в этом случае на выходе оптимального линейного фильтра. При этом будем считать, что энергия сигнала Е и дисперсия (мошность) помехи ГУ„фиксированы: ! Г, Е= — 1 )5(1лп))зйо=сопя1, Г 77„= — ~ 5„(„)уы=сопз1, 2к ~ (4.4.9) (4.4.10) где Лш —.область частот. в прелелах которой спектры сигнала н помехи отличаются от нуля.
и лр.), налагаемых на систему, найти наилучшую форму спектра сигнала (при которой максимизируется Д) и цнаилучшую» спектральную плотность помехи (при которой Д минимизируется). Пример 4.4Л. Оптнлэальныс спыггры сигнала и помехи. Выше предполагалось, что спектральная плотносзь помехи 5„(ы) нс зависит от вида полезного сигнала х(г). В некоторых слу эаях ш.о предположение не выполняется. Укажем два примера. Пусть обнаружение сээ~ пала производится на фоне белого шума с постоянной спсьзральной плотностью Х и хаотических отражений.
Спектральную нлтносгь отраженного сигнала иногда можно полагать равной»(5(1вэ))э, где ч — коэффициент, зависящий от дальности ло отражателей и свойств среды, в которой распространяется полезный сигнал В данном примере можно ставить и решать задачу о выборе оптимальной формы спеэгтра излучаемого сигнала (вида молуляции), обеспечивающего прн указанной результнруюншй помеле наиболыцее отээоэээеээие сигнал-помеха (б).
Приведем здесь решение лругого примери'. Допустим, что одна из противоборствующих сторон с целью повыпшния эффекгивности работы своей радиотехнической системы сгремвтся максимизнровагь отношение сигнал-помеха (б), а другая с цсльэо полавления этой системы применяет умышленную помеху, спектральная плотность которой 5„(ы) выбирается с учезоьэ спектра сигнала 5(1ш). Считая спектры сигнала и помехи известнылэи обеим сторонам, определяем, какой спектр 5(1ся) должен иметь полезный сигнал х(г). чтобы максимизировать огнопшнис сигнал-помеха на выходе оптимального фильтра, и какой должна быть спектральная плотность помехи 5„(эв), ообы зго отноээ~ение было минимальным Применим следуюгций могол решения.
Ьудем искать наилучший спек.гр сигнала при наихудшей помехе, т. е определим спектр 5(1ьэ), который обесцечиваез Пусть спектр сигнала 5()ы) известен. Тогла спектральная плоэяость помехи выбирается из условия минимума функционала (6) 1 ( (5(йв)!' сэ= — — йо 2.~ 5„() (4.4.1 1) з(5„)= — -- -ч-хэ — 5„(гв); хэ- -постоянный множитель Лагранжа. 1 ! 5()эв)!з 1 2я 5„(ш) ' 2эг Из (121 получим 5„(вэ) = (5()св)(!мй„ы н Лш. (4.4.13) Следовательно, спектральная плотность иоптимальной» помехи с точностью ао постоянного множителя совпадает с амплитудно-частотным спектром сигнала. Подставив (13) в (10), находим множитель Лагранжа 1 „'Х, = — ()5()ш)(ьэ».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
