Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(4.4.45) Полезный сигнал л(г) на выходе цепи ЯС имое! бесконечную длительность, затухая при г — ° со, а шум п(г) стал коррелированным. Получим оптимальный дискретный фильтр для выходного процесса ь(г) н вычислим максимальное отношение сигнал-шум. Пусть дискретные отсчеты берутся через постоянный интервал времени Л: Гг= Г,(гГ Л)= л,.ьп, = л(гг Л) +и(/еЛ). Хотя сигнал л(г) имеет бесконечную протяженность во времени, т. с. значения .г(геЛ) убывают до нуля лишь при г со, однако практически можно выбрать такое е«что суммарная энергия отсчетов сигнала л при й>Р будет меньше заданной величины е: 2 л„'<е.
Обычно берут РЛ т„+(1...2)йд При этом о-ь«1 можно ограничиться обработкой отсчетов Ч! лишь при ге=0, Г.. Оптимальный дискретный фильтр должен формировать в момент времени го=г.Л величину (4.4.46) Злесь 8'=(л„лг, ..., лг); 4'=(До, Г,„..., Гь); № ' — матрица, обратная корреляци- онной матрице 1Ч для (сЧ-!) первых отсчетов шума: -[ 1 1 у у = ехр ( — иЛ). ь-г 231 с(г)= ) гг(г — т)че(т)бт=л(г)-ьп(г), (4.4.43) где ) А [! — ехр( — иг)), 0<г<т„, л(г)= гг(г — т)л,(т)Ат= (А„[1 — ехр( — пг)) ехр[ — п(т„— г)З, г>т„; (4444) Нетрудно убедиться, что — о ... о 7 !ч.уг — 7 ...
О 77„(! — 7г) 0 0 0 ... 1 поскольку 1ч '1ч1=-!†единичная матрица. Выражение (46) соответствует выборочному значению при 7 =- б сигнала на выходе оптимального дискретного фильтра с характеристикой й,=Т лг„.'„... й=о, В. '=о Матрицу В! ' можно представить в виде произведения двух матриц )ч '=С'С, гдс 0 0 О...! При этом выражение (46) можно записать иначе: ч=бчС С2=-(СВ) (Сй)=В $, (4 4.471 1 /)7 (!' 'г) ,/1-уг О О ...
Π— 7 1 0...0 Π— 7! ...О подтверждает вывол о том. что линейный фильтр с характеристикой 1>г является дискретным согласованным фильтром для прямоугольного видеоимпульса Отношение сигнал-л>ум иа выхолс оптималы>ого фильтра можно представить в виде д=б"!Ч >В=В'С'СВ=-К'Й= —, 2 (г„— уг„,) г= 71„(! — 7') „, (4.4.49) ! ", 1 г Х (гс 7'сг >) „г Х гс' 77.(1-7').=, ' ' ' 77.(1-7') =, Величина д равна отношению «энергии» отсчетных значений сигнала 7„на выходе обеляющего фильтра к дисперсии отсчетов шума в„.
Согласно (48) и (49) имеем Перейдя к параметрам а. Л и т„. получим !г !г„,1 >7 г г (! 7) г) 77 2А«>Т17>(аЛ12) 277!8(аЛ!2) Л>о аЛ(2 Л>о аЛ>'2 Потери в отношении сигнал-шум при по сравнению с аналоговой оптимальной »о(1) характеризуются коэффициентом (4.4.501 оптимальной дискретной фильтрации обработкой аналогового наблюдения где гг гкс- > - го „= ~ С„.г;.=- ', )>=1, Л; йо= — =; Я (1,г)' ' /71 ' Схема формирования величин 7> из ", приведена иа рис. 4.15,6.
Нетрудно проверить, что выборочные значения шума й,=п„— ул,, при различных й ие коррелированы между собон: М(йгйг»)=Р„(! — 7г)Ь(1). Поэтому схему формирования величин 9> можно назвать обеляющим фильтром (он обведен пприховой линией). При этом из (47) следует, что оптимальный дискретный фильтр представляет собой последовательное соединение обеляющего фильтра и согласованного дискретного фильтра для си> ната г(1) с характеристиков ьс=гг,. Пусть число временных выборок на длительности видеоимпульса »> =77Л.
Тогда (ло(7" — !), О<й<ль (до(7 — 1),1<2<>п, (4.4.48) '(л,(7"- )7'-",й, ' '" )0,2,2=0. Заметим, цо, хотя ллительность сигнала г(1) на выходе 7!С-фильтра согласно (441 больше т„, выборочнью значения г, отличны от нуля только на конечном иитерваче значений /с=1, лг. Следовательно, после обеляющего фильтра сигнал г(1) имеет конечную ллительность т„: 3(1)=0 при 1<О и 1>т„..'Это также 232 (4.4.51) 0,1 >з 5 л,дб 233 Отметим два факта.
Во-первых, п фильтре зависят только от нормированного шага дискретизации по времени аЛ =Л(т„, где т„ -время корреляции шума на выходе ЬС-фильтра. Они не зависят отдельно от числа выборок на длительности импульса. Во-вторык, при уменьшении шага дискретизации потери исчезают. !пп >1, = 1. Это означает, что сгла«=о живание сигнала в 7!С-фильтре само по себе нс приводит к потерям в отношении сигнал-шум. График зависимости г1, от аЛ представлен сплошной кривой иа рис.
4.!6. Рассмотрим теперь «согласованный» дискретный фильтр. В инженерной практике (,чля упрощения реализации) часто пренебрегают искажениями си> цала г (1) во входном йС- отери за счет дискре>псзации в оптимальном фй 1 2 Е а'4 Рис. 4.16. Потери в отношении сиспалшум на выходе оптимальногс> (--) и «согласованного» ! — — --. — — ) фильтров по сравнению с аналоговым фиды'ром фильтре и считают отсчеты шума п(т) некоррелированными с дисперсией Р„. При этом оптимальный фильтр для наблюдения ч! заменяют линейным дискрепгым фильтром, характеристика которого согласно (34) для нашего примера имеет вид 111 = А, ! <й 1с ж т.
Такой фильтр условно можно назвать согласованным со входным сигналом .1„(т). Отсчетное значение сигнала на выходе фильтра, взятое в момент времени т=тЛ, равно причем значение сигнала в этом отсчете (.=М<(,)=А ), =А!о ), (1 — 7!)=Аот лт — т— †.) и дисперсия шума Рс| М Ао 2 л!) А<)Р 2 2 ехр( — аЛ!1< — 1|)= 1=1 /) 1=.11=1 =Ат»Р„тя-2 Т Т 71-1)=А»Р„| Ч- 2. (1 — 7" ') = 27 27(1 — у"') ) "1' 1 — т т(1 — у) На основании пол>ченных выражений записываем отношение сигнал-шум Потери относительно аналоговой обработки определяются выражением 2Е/<Уо аЛ/2 т 1 — 7 1 — у т(1 — т) Можно убедиться, что ц,го2аЛ при малом шаге дискретизации аЛ 0 и Чтсо21аЛ при аЛ со.
Зависимость ц, от аЛ для нескольких т приведена на рис. 4.16 (штриховые кривые). Потери р, монотонно убывают при увеличении т. При больших значениях аЛ потери ксогласованной» фильтрации ц, совпадают с потерями оп!имальиой фильтрации т|,. При мш<ых аА потери т!т су!пес!ванно больше, чем Ч<.
Наблюдается явно выраженный минимум цо в зависимости от аЛ. Положение и величина минимума зависят от числа отсчетов т. При любом т выбором аЛ можно обеспечить потери при осогласоваиной» фильтрации менее ! дБ. При типичных значениях т-1...10 оптимальные значения аЛ 1, что хорошо согласуется с принятым на практике выбором Л порядка интервала корреляции шума т„=1(а, когда отсчеты шума приближенно независимы. Однако при уменьшении Л следует использовать не ксогласованные», а оптимальные фильтры, обеспечивающие значительно меньшие потери, 4.43. О РОБАСТНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРАХ Рассмотрим сначала интересный пределыц,<й случай, приводящий к сингулярному результа>у.
Рассмотрим низкочастотный сигнал >(1)=-йп(Ло>1)1Л<о(, спектр которого 5() о>) имеет прямоугольную форму (рис. 4.17, и), и шум п(1) со спектральной плотностью Я„(ш) треугольной формы (рис. 4.17,6). Амцлитудг<очастотная характеристика оптимального фильтра Я" () со)1'5„(п>) имеет вид, изображенный на рис. 4.17, в. Из него видно, что она без>-ранично возрастает цри о>- +Лсо. При этом отношение сигнал-шум на выходе фильтра, как следует из (б), равно бесконечности. Предположим теперь, что форма сигнала незначительно отклонилась оч исходной и приняла вид л(1)=в)п(Л<о — с)11'(Ло> — г)1, где а»0 — -малая величина. Теперь выходное отношение сигналшум будег конечным <2=-- ~ с(сп= — —,1п —.— — !и —.
1 Г |5(!<о)|' яЛоэ Лсо я Ло! 2я 5„(от) (Лы — с) с Ло> г В данной ситуации, когда ширина спектра сигнала может отличаться от Ло>, предпочтительнее рассчитывать оптимальный фильтр для наименьшего из возможных значений ширины полосы. Такой фильтр будет обладать высокой эффективностью нри малой ширине спектра сигнала и малой чувствительностью к ее отклонениям от Лш. Как следует из (7), для определения оптимального фильтра требуется точное знание спектров сигнала Ь'()Ав) и шума >'„(а>).
Однако в практических ситуациях часто они точно неизвестны. В связи с этим возникает проблема отыскания линейных фильтров, которые бы достаточно эффективно работали нри возможных отклонениях характеристик сигнала и помехи в заданных границах. Такие фильтры принято называть робагпгдылги (устойчивыми к отклонениям). Для пояснения сказанного приведем результаты решения одного частного примера.
Допустим, что принимаемый полезный б'11 ш) 13» 1<о) -ды 0 ды -ба> У би> о> о! а) б) Рис. 4.17. Спектр сигнала (а), спектральная плотность шума (б) и амплитудно- частотная характеристика оптимального фильтра (о) сиплал имеет форму з(с). о>лича>ощуюся от исходной х„(с). В качестве подходя>пей меры степени отклонения полезного импульса можно принять интеграл от квадрата разности между «(с) и хо(с) или (в соответствии с равенством Парсеваля) между нх соек грамн 5'()со) н Я ()со). Тогда в качестве модели неопрелеленносли полезного сйгнала для данной задачи оптимальной фильтрации можно задать класс Х,, всех имтлульсов «(1), преобразования Фурье которых о()со) удовлетворяют условию — ~й )-.У.(1 )~' А, (4.4.52) где оо()со) пРеобРазование ФУРье исходного сигнала .>о(с), а А определяет степень неопределенности или возможных искажений х (1). Можно показа>ы что решение минимаксной задачи К=К„ шах пп'п сэ.
(4.4.53) х гнД, где с 0=-~ ) к(10>)5()о>)ехр()о>с~)с(о>1~1' ( 1к(10>)1>э„(о>)с(со, (44.54) пмее л вид Кд (1 о>) == 5 о (1 сл ) с хр ( .1 ">со) Го (со)+ лто) (4.4.55) где положительнаЯ константа оо зависит от А (ЯвлЯетсЯ монотонно возрастающей функцией А). Из сравнения (7) и (55) следует, что в робастном фильтре для модели неопределсллностлл (52) усиление па частотах, где мощность шума мала, ограничивается по сравнению с его значением для исходного оптимального фильтра. Иначе, более высокое усиление оптимального для Яо()о>) фильтра делает его слишком чувствительным к таким отклонениям характеристик полезного сигнала, которые приводя> к снижению его энергии на этих частотах. В друзой интерпретации неопределенность сигнала учитывается в (55) посредством включения в спектр шума дополнительной аддитивной «белой» компоненты Кстати, отметим, что для белого шума и модели неопределенности вида (52) исходный согласованный фильтр совпадает со своей робастной модификацией, поскольку постоянный множитель перел частотной характеристикой при согласованной фильтрации пе играет никакой роли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
