Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(4.6.26) Аналогично можно получить уравнение для матрицы дисперсий Р'= — АР+0А'+В, (4.6.27) где В=[6;;1; 6;;=(1)2)(А',Аее)лп. (4.6.28) Зная матрицу дисперсий, можно найти матрицу корреляционных функций К(е, т), воспользовавшись соотношениями (Ф(Е, Т) К(Т, Т)„Е>Т, К(Е, Т)=~ [К(е, е) Ф (т, е), т>е. Здесь Ф(е, т) — фундаментальная матрица, являющаяся решением уравнения Ф (Е Ео)= А(Е) Ф(Е Ео) Ф(Ео Ео)=1.
где 1--единичная матрица. После того как найдены матрицы т (е) и )3 (е), можно записать и-мерную плотность вероятности р(Ч; Е~Ч )=[(2н) т)ег113 "зехр[ — (1/2)(Ч вЂ” т)'х х 11 ' (Ч вЂ” пе)3. (4.6.3 1) Получим выражение для корреляционной функции смешанного процесса авторегрессии — скользящего среднего (4.1.31): т) =стЧ~ т+...+с Чз +п~+Ьтп~ з+...+Ь„п~ в. (4.6.32) Запишем его через операторы (4.1.25): С(Б) т),=В(8) пп (4.6.33) где С(б) и В(Б) — полиномы степени у и Ее: С(8)=1-с,б-с,б' —...— „б, В(8)=1+6,б+...+6„8в. Отметим, что рассматриваемый процесс можно трактовать двояко: 1) как процесс авторегрессии порядка гп С(Ь) т), = о„ где о, есть процесс скользящего среднего о,=В(б) п, порядка 1х; 2) как процесс скользящего среднего Ч,=В(б) и, порядка )т, где и, подчиетяется процессу авторегрессии порядка о: С(б) и,=р„так что С(Ь) т1,=В(б) С(Ь) и,=В(8) п,.
Ограничимся случаем стационарного состояния, которое возможно при условии, что все корни (нули) характеристического уравнения процесса С(Ь)=0 лежат вне единичного круга. Обозначим корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию в этом режиме через 247 А„=~.>,П П, > >1 гл=йл«Вп (4.6.34) Для получения коррсляциопцой функции процесса умножим все члены ур>>вне!и>я (32) на т), .„и возьмем м, о, от обеих частей получеппог>2 равенства: )С, = сс> Ьх . > + ... + .'О 2><х . „+ Лч О ((с ) + (> > )Сч О (л' — 1) + ... ...+(>яФч>,((с — Й, (4.6.35) где 3<па((с)=М ',11, „л,', -- взаимная корреляцнонння функция между П й л.
Так как П, х зависит от слагаемых, которые появились до момен>.а « — /с, то )(чя()с)=0, )с>0; Л„„((с)ФО, /с<0. При этом из (35) следует нгс с>тех->+<2)Ск-2+" +с>)лк- ° «<~Р+1 (4.6.36) гх =с» х — > + с>гх — 2+. ° +с„>л — (с> р+! или С(б)>к=О, й>р+!. Таким образом, для процесса авторегрессни -- скользящего среднего (у, р) суп!ествует р нормированных корреляций г, гл „..,, г,, значения которых связаны зависимостью (Зэ) с р параметрами скользящего среднего 6 и у параметрами авторегрсссии г. Далее, )2 значений гя, ги,, ..., гя,л > необходимы как начальные значения для реше!шя разпостпого уравнения С(б) «„=-О, А > р+1, полностью определягощего корреляции при болыпих задержках. Если р — у <0, вся корреляционная функция «7 для 3= 0, 1, 2, ...
будет состоять из совокупности затухающих экспонент и (или) затухающих синусоид; ее свойства определяются полнномом С(б) и начальными значениями. Если же р — у>0, п> имеется р — >2+1 йачальных значений >о, г,, ... г„„, не укладывающихся в зту общую картину. Пример 46.3.
Процесс ав>орсгрсесин в>араго норялка. Получим нормированную корреляционную фуакпню процесса авторегрессин в>араго порядка (4.6.37) П> г>г) > ! О>П>-2 ! Я являющегося формальным аналогом дифференциального уравнения (9). Для стационарное>и процесса необходимо, чтобы корни харак>сристическо>о уравнения с(8) 1 с>8 с262" О (4.6.38) лежали впе единичного круга, т. е. пабы коэй>фипиенть> с, и с, находились в треугольной области (рис. 4.!9) сз-)-г,<1. О> — г,<1, — !<О><!.
Из (36) получасл> разносгпое уравнение второго порядка, которому удовлетворяет нормпрояаанс!я корреляционная функция ! сг сг г Рис. 4.19. Расположение корней и характер корреляционных функций г„=с,г>,+г г„> )с>0, (4.6.39) с начальными значениями гя=! и г, =с,й) — «2). Общее решение этого разностного уравнения имеет вид г„=А,Л>>Ч-А>Л>2=(Л>2+2(1 — Л1) — ) 2''(! — Лз>))>>(Л> — Л )(! Ч-)>Л, ), (4 <> 40] где Л, ' и Х> > - корни характерис~ического уравнения (38). В зависимости от характера этих корней можно выдел>оь два случая.
Прн г',44«2>0 (что соответствует на рисунке областям 7 и д лежни>им выше параболической границы) корни уравнения вещественны и корреляционная функция состоит из затухаю>цих экспонент. При этом в области ! коррсляпионная функция затухает, оставаясь положительной, что соответствует положительному доминирующему корню в (40); в области 3 затухаю>цая корреляционная функция знахопеременна. что соответствует отрицательному доминирующему корню. Если с>~Ч-4г><0 (по соответствует областям 3 и 4), то корни Л, и Л> комплексные и коррелядионная функция имеет псендопсриодический характер. В данном случае Х>=хелп()О>О), Л>=хехр(-)О>О) и из (40) можно получить г, = (хйп г, )' Л' жп (а>О>с 4 9>)) я п гр, где 1.
О,>0, (с,! 14Л зяпс>= соко>О= " ° !8>Р 2 !8О>О, ( — 1, с,<0, Π— 7 — ! )2 ч ).=- 7 — с, и имеет тот же знак, что и сг Фазовый угол гр меныпе 90" в области 4 и лежит между 90 и 180' в области 3. Это означает, что в области 4 корреляционная функция вначале (для нескольких первых задержек) положительна, а в области 3 всегда меняет знак при переходе от задержки 0 к задержке 1. 4.7. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА УЗКОПОЛОСНОГО ПРОЦЕССА Лннейныс радиотехнические системы, работающие на высоких н промежуточных радиочастотах, как правило, являются узкополосными. Если обозначить ширину квадрата амплитудно- 249 (4.7.4) 250 частотной характеристики системы (допустим, на уровне 0,5 от максимального значения) через Ь/, а центральную частоту полосы пропускания через /о, то обычно выполняется неравенство Ф'~./о.
(4.7.1) При воздействии на такую систему стационарного сл. пр. с широким спектром сл. пр. с,(!) на выходе системы в ста- ционарном режиме работы согласно формуле (4.2Л 9) будет иметь узкую спектральную плотность, т. е. для нее будет справедливо условие (1). Покажем, что корреляционную функцию стационарного уз- кополосного сл. пр. Цг) всегда можно представить в виде Я (т)=О р(т)сов[аз т+у(тЦ, (4.7.2) где р(т) и 7(т) — медленно изменяющиеся функции по сравнению с созаот. Если в формуле (2.5.19) перейти к новой переменной ч=/' — /со то можно написать Я~ (т) = [ 5 ' ( /') соз (2к /'т) к(/'= ) Я ' (/о+ ч) соз 2к ( /о+ ч) т с/ч.
о у~ Используя обозначения яз 27!р,(т)= ) Я'(/о+ч)соз(2кчт)с/ч, (4.7.3) 27 р, (т) = ) Я " ( /о+ ч) яп (2кчт) с/ч, -у, имеем Я~ (т) =.04 [ р, (т) соз (2к /о т) — р, (т) зш (2л Д т)3 = =27 р(т) сов [азот+7(т)], где р(т)=[рз(т)+рз(т)1пз; 187(т)=р,(т)/р,(т). (4.7.5) Таким образом, корреляционную функцию стационарного узкополосного случайного процесса всегда можно представить выражением (2).
Так как р,(т) есть четная функция т, а р,(т) — нечетная, то р(т) всегда четная функция т, а 7(т) — нечетная. Предположим, что спектральная плотность о (/ ) симмет- рична относительно центральной частоты /' =а /2к. Поскольку для узкополосных процессов ширина спектра мала по сравнению с /, то нижний предел интегрирования в выражениях (3) без значительной погрешности можно заменить на — оэ. Тогда р,(т)=0 и из (4) получим яс,(т)=27!р(т) созозот=созаот ( Я'(До+У) соз(2кчт)с/ч.
(4 7 6) -у, Следовательно. корреляци- сФ опнаи функция стационарного узкополосного случайного процесса с симметрич- т ной спектральной плотпосзью может быть представлена формулой Рис. 4.20. Узкополосный слу п|йпый пропсо: Ц (т) = Оа р (т) соз изот. ;(!) и ого огибающая Л(г) (4.7.7) Поскольку сне!стральнаи плотность 5 (/' +и) узкополосно! о процесса практически полностью расположегза в низкочас'готной области частот и, з о функции р, (т) и р, (т) и, следоиа гельно, р(т) и 7(т) для узкополосных процессов являются медленно изменяющимися по сравнению с сохо! т.
Реализации (фотографии) узкополосйых процессов с(!) напоминают модулированные колебания (рис. 4.20). Поэтому узкополосные процессы часто называют модулированными, квазигармоническими нли квазимонохроматическими сл. пр. Квазигармонический сл. пр. с(!) целесообразно записать в виде сигнала, модулированного по амплитуде и фазе: Р(!)=А(!)соз[озо2+гр(!)), А(г)>0, (4.7.8) где А(г) и гр(!)- -медленно изменяющиеся функции времени ию сравнению с созозоа Случайную функцию А(!) можно назвать огибающей узкополосного процесса с (!), а функцию гр(!) — — случайиой фазой.
Ниже будет показано, что скорость изменения огибающей и фазы в среднем характеризуются величиной, обратной полосе пропускания системы з5/. При условии (1) огибающая и фаза за период высокой частоты То=1Я, практически не изменяются. Поэтому в некоторых задачах (наприме при анализе детектирования, З 5.2) узкополосным сл. пр. с,Д можно оперировать, как обычными модулированными колебаниями (в частности, удается воспользоваться квазистатическим приближением). Иначе говоря, для решения некоторых задач представление (8) оказывается продуктивным. Разумеется, что представление квазигармонического процесса с (г) в форме (8) пока неоднозначно, так как прн заданных вероятностных харакгеристиках с(!) имеется произвол в определении характеристик А (!) и гр(!), а также в выборе частоты оз =2к /',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
