Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Диенреглоеаглер г —— !и! а! а! ~ Рнс. 4.!3. К дискретной согласованной фнлыраг!нн времени Л с помощью дискретизатора берутся временные отсчеты с(ьЛ) и последовательность таких отсчетов воздействует на вход цифрового фильтра (рис. 4.13): с(ьЛ)гк(!Л)+и(!Л) или с;=х,+ц, !'=О, т, 0<еЛ<Т.
(4.4.30) Если длительность импульсного сигнала ь(~) конечна и равна т„< Т, т. е. х(1) ~ 0 при 0 < ! < т„, то полное число временных отсчетов сигнала, взятых через интервал дискретизации Л, т=(т„/Л1, где квадратные скобки обозначают целую часть числа. Требуется найти дискретный линейный согласованный фильтр для принимаемой последовательности (30), обеспечивающий получение на выходе максимального отношения сигналшум, и определить его. Допустим, что осуществляется идеальное стробирование сигнала (начало и окончание импульса точно известны). Отметим, что поскольку в цифровых фильтрах используется информация, содержащаяся только в отдельных значениях входного сигнала, а не во всей реализации с (!), то очевидно, что при одних и тех же исходных предпосылках наибольшее отношение сигнал-шум на выходе цифрового согласованного фильтра всегда меньше, чем на выходе соответствующего аналогового фильтра.
Иначе говоря, наибольшее отношение сигналшум на выходе аналогового согласованного фильтра является верхней границей для отношения сигнал-шум па выходе соответствующего цифрового фильтра. Сигнал на выходе цифрового согласованного фильтра при идеальном стробировании определяется выражением ! 71(7)= 2 Ь,со У=О, т, (4.4.31) !=о где Ь! — коэффициенты, подлежащие определению. Отношение сигнал-шум на выходе фильтра, как и ранее, определим выражением !)=(М(т1( )~п=о) — М(т)(п!)~к=о))'(1)(т)(т)~к=О)) ', (4432) где М (т) (т) ~п = О) — м.
о. выходного сигнала, обусловленное только входной последовательностью полезного сигнала ь(~) 226 «! 'Ь 2 а! д -(,~ Ь,ь,.) !27! ~~ Ь,!. '=о !=о (4.4.33) Воспользовавшись неравенством Коши (П1), имеем гг< 2 .г~/.О!. При =о Ь,=ць! (4.4.34) отношение сигнал-шум достигает наиболыпего значения 7 ..=Е,~Т2„Е,= ,'!»,'. =о Величина Г есть энергия дискретизированного сигнала. Заметим, что при неидеальном стробнровании число шумовых и!счетов в (33) будет больше числа т отсчетов сигнала и наибольшее отношение сигнал-шум будет меньше значения (35).
Подставив коэффициенты Ь! из (34) в (31), получаем структуру цифрового согласованного фильтра ! т1 ( /) = с ,'! ь, ~о 7'= О, т. (4.4.36) (4.4.35) г= 1 Если положить с=)к .,( ', где ь,„=!пах(»!, !'=О, т), т. е. ввести нормированные коэффициенты ч,.=л,.~ь,„~ ", то з 71(7)= ,'! о,с!, 7'=О, т, )ь'~<1. !=! Для детерминированного сигнала коэффициенты о! легко рассчитываются заранее. Структурная схема цифрового согласованного фильтра изображена на рис. 4.14. 227 (!.
е. в отсутствие шумовых отсчетов: ц=-О, ь=О, т); Р(Щп!)) х х Ьа=О)--дисперсия выходного сигнала при ю,.=О, ь=О, т. Для вычисления г! необходимо знать вероятностг|ые харак!сристики величин ь;. и ц. Примем по-прежнему величины л,. лс!срминировапными, а ц, г=О, т; — случайными, независимыми н совокупности, причем каждая из величин и имеет нулевое м. о. и одинаковую дисперсию 27! =М(па), !'=О, т. Выполнение !рсбования независимости отсчетных значений шума не является принципиальным. Однако при этом существенно упроща!отея вычисления.
Вместе с этим применительно к реальнь!м коррслированным помехам оно ограничивает число отсчетов гг!. 1:.ели помеха является гауссовской и имеет конечный интервал корреляции т„, то по крайней мере должно выполняться неравенс!во Л>т, и, следовательно, т«т„/т„. Если указанные условия ньпюлнены, то Рис. 4.!4. Дискретный согласованный фильтр Укажем, что наибольшее отношение сигнал-шум можно также получить двумя другими способами, а именно. подачей входной последовательности (31) на аналоговый согласованный фильтр (27) или подачей аналогового сигнала на «дискретизированный» согласованный фильтр. Действительно, запишем дискретизированпое входное воздействие (30) в виде 1,(уЛ)=Р(г) , 'б(г — )Л), г= —, г'=О, т, где 8(х)- - дельта-функция.
Тогда сигнал на выходе аналогового согласованного фильтра с импульсной характеристикой гг (г)=сл(т„— г) в момент времени г,=уЛ равен гл гл э т)()Л)= )! Ьо()Л вЂ” тЯ~)гУт=с ( л(т„— )Л+т)Ц(т) ,') б(т — )Л)сй= о о 1=0 =с 2 л(т„— уЛ+)Л)с()Л). г= о Отсюда при у=т и т„=тЛ имеем 11(тЛ)=с ~ л()Л)Ц)Л). 1=0 Это выражение совпадает с (36) при у'=т. Позтому сохранится прежнее отношение сигнал-шум (35). Нетрудно убедиться, что такой же результат будет получен, если рассмотреть аналоговое воздействие с(г) на «дискретизированный» согласованный фильтр с импульсной характеристикой г г )г(уЛ)=)го(г) ~ 8(! — )Л)=сл,(т„— !) ,')" 6(г — 1'Л), у=0, т. 1=0 ;=о Необходимо иметь в виду, что временные отсчеты как входного воздействия ~,.= с()Л), так и полезного сигнала лг=л(гЛ) 228 должны браться синхронно, т.
е. в одни и ге же моменты времени г,. =)Л. Для детерминированного си! нала л (г), когда известен его вид, а также моменты появления и окончания, зто легко осуществить. Выше аналоговьш и дискретный согласованные фильтры были получены при несколько отличающихся исходных предпосылках. В первом случае аддитивный шум л(г) предполагался белым )ауссовским, а во втором отсчеты считались независимыми с конечной дисперсией, в то время как для белого шума дисперсия отдельных отсчетов бесконечна. Возникает желание устранить различие в исходных постановках задачи.
В зависимости от конкретных условий здесь возможны разные варианты. Пусть во входном воздействии (1) помеха п(г) является белым гауссовским шумом. Тогда недоразумение, связанное с бесконечной дисперсией отсчетов белого шума, формально можно преодолеть с помощью операции сглаживания входно!.о воздействия. В качестве временных отсчетов будем брать не мгновенные их значения, а осредненные: )Л гл )Л Ц,=Г()Л)=- Цг)гй, лг=- .)(г)й, л,.= — гг(г)й. « — 1)Л « — 1)Л (4.4.38) Такая операция при достаточно малом Л, вероятно, не вызовет больших погрешностей. Однако теперь дисперсия отсчетов шума конечна и равна гу',)2Л.
Реализация операции осреднения (38) предпола)ае). включение до дискретизагора интегратора со сбросом, что существенно усложняет схему цифрового фильтра. Однако при теоретическом рассмотрении она позволяет. переходить ог резулыатов, полученных для дискретного времени, к результатам для непрерывного времени. Обсудим кратко предположение о независимости временных отсчетов шума п(г), которое использовалось при синтезе дискретного согласованного фильтра.
Реальные помехи, как правило, имеют корреляционные функпии А„(т) с бесконечными крыльями, асимптотически приближающимися к нулю прн т — сс. Позтому отдельные отсчеты пг и ьд 1Ф!', в принципе коррелировапы и, следовательно, зависймы. Учет этой зависимости не изменяет выходного полезного сигнала, а значение выходного шума часто увеличивается. Поэтому наибольшее отношение сигнал-шум обычпо уменьшается. Для оценки зтого уменьшения и обоснования выбора целесообразного интервала дискретизации по времени полезно сравнить наиболыпее отношение сигнал-шум (35) с аналогичным отношением, полученным при учете коррелированности отсчетов шума.
229 05елооеогоо' фоечор Г !1римсняя прежнюю методику к согласованному филыру с линиями задержки. нетрудно показать, что теперь весовые ь.озффициенты а, будут определяться системой алгебраических уравнений Кое»Лог»к а -[: ')- яо оетр и! К„[ГЛ вЂ” гЛ)=л(тЛ вЂ” гЛ), 1=0, гп, (4.4.39) !=о а наибольшее опюшение сигнал-шум равно г(„»л =- ~ аг! (тЛ вЂ” 1'ЛЯ "-'. ! г — о Если ввести квадратнук! матрицу й с элементами Аг,=ге„ОЛ вЂ” гЛ), г',1==0, пг, и два вектора-столбца Я и А с элементами л(тЛ вЂ” ГЛ) и и, соответственно, то выражения (39) и (40) можно записать в более компактной, векторной форме )2 -гЯ г, (Ят)2-г~)ггг (4.4.4!) Таким образом, при выбранном интервале Л для конкретных сигнала л(Г) и помехи п(г) с заданной корреляционной функцией ГГ„(т) по формулам (41), (35), (6) и (!9) можно оценить проигрыш в отношении сигнал-шум при цифровой обработке (коррелироваиных и некоррелированных отсчетов шума) по сравнению с аналоговой.
При реализации цифровых согласованных фильтров на ЭВМ стремятся избавиться от операции умножения. Г1озтому вместо алгоритма (36) часто применяют одну из следую!них трех его модификаций: Н Ю т((пг)=с ', здп(1,.)~,, т)(пг)=с 2 л,здп(Е,), г=! =1 и т)(т)=- 2 адп(з,)хдп(~,.). (4.4.42) г= 1 Естественно, что применение таких упрощенных алгоритмов связано с некоторыми дополнительными потерями в отношении сигнал-шум по сравнению с (35). Эти дополнительные потери нетрудно вычисли~ь'. Пример 4.4.2. Сравнение онтималыюй н «согласованной» лнскрсгной фильтрации прямоугольного импульса. Рассмотрим частный пример фильтрации с помощью схемы (рис.
4.15,а) прямоугольного видеонмпульса л,(г)=А, 0<г<т„, из сигнала ье(г)=ло(г)+по(г), где по(г) — БГШ с нулевым м.о. и односторонней спектральной ало!пастью Л' . ' Всан!1еп 1Ч. С., Гений С. Оп !Ьс РегГогпзапсе оГ Гйгее Бпьорйпшш Оегссбоп бойе!пел Гог В!пату б!Кпа1гпя1)1ЕГЕ Тгапл«--1985.- — 'го1. СОМ-ЗЗ, № 3.— Р. 24!в 245. 230 а) Рнс. 4.15. Схема фильтрации импульсного сигнала (а) и оптимального дискретного фильтра (б) Сигнал на выходе интегрирующей цепи ЯС в стационарном состоянии равен л(г)--гауссовский шум с нулевым м. о. и корреляционной функцией (4.2.33): М(п(г)л(г+т))=Р„ехр( — и(т!), Р»=и1«о)4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
