Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4.5. Реалазапив случаввых пропессов аа входе в выходе системы Из форму.пы (5) видно, что одномерный момент н-го порядка сл. пр. на выходе линейной системы выражается через л-мерный момент сл. пр. на входе сне!емы. Поэтому если для процесса Ч(г) нужно найти приближенное выражение одномерной и. в. (с учетом лщпь первых и кумулянтов), то должны быть известны все корреляционные или моментные функпии процесса Цл ) до л -мерной. Еслц процесс задан и. в., то необходимо знать л-мерную п.
в., по которой можно найти эти корреляционные или моментные функции. Разумеется, что процесс вычисления л-кратных интегралов вида (5) является весьма трудоемким и сложным, В этом и состоит основная трудность решения задач о преобразовании п. в. инерционными линейными системами. Формулы, аналогичные (4) ... (11), можно написать и для нестационарных линейных систем, подставив в них й(2, т) вместо )((2).
До снх пор на входной процесс «(л) не налагалось никаких ограничений, в частности он мог быть нестацнонарным (рис. 4.5). Естественно, что при агом выходной процесс г)(л) будет также иестационарпым. Сделаем теперь последовательно два упрощающих предположения. 1. Допустим, что входной процесс г,(л) стационарен в широком смысле, т.
е. т,=М(Р(!))=сопзц Л.(л(. )2)=)1,.(т), 2=!2 — 21. (4..12) Применительно к стационарным входным процессам некоторые из предыдущих формул несколько упрощаются. Так„формулы (3), (9) ... (11) принимают соответственно вид (4.2.13) ,(л)= (й( ) ( ° о (4.2.1 5) 14.2.1б) т. е. м. о.
не зависит от времени. Чтобы получить выражение для корреляционной функции, обозначим « — «, =т и перейдем в (14) к пределу при «,— со. Тогда получим окончательную формулу для корреляционной функции процесса ц(«) в стационарном состоянии: О О й„(т) = ( ( 1« (и г ) !г (и ) Кт(т + и г — и ) с)и > с)и> = о (> (( (.( и = ) Ь(и)с)и ( 1>(т+ и — г()Я (г()с)г>.
(4.2.1 8) о с> . Убеждаемся, что корреляционная функция процесса т!(«) зависит только от разности временных аргументов т=-«г — «„. Следовательно, выходной процесс т)(«) асимптотически (при «- со) становится стационарным в широком смысле. В инженер- 202 (((((««2),( ) 1«(и )1«(гсг) с(«> «( (с>+и>)(1и)(1««2 о (> ( К ч(«', «)= (1г(и) Ц(« — «' — и)с«и, о ( '!)ч(«) ),(1«(гсг)1«(«сг)«~т(«сг с«2)с«и!(«««2' оо Из этих формул видно, что хотя входной процесс «(«) стационарен в широком смысле, выходной процесс ц(«) будет нестационарным.
С качественной точки зрения здесь имеется полная аналогия со случаем воздействия детерминированных сигналов на линейные системы. Если входной сигнал начинает действовать в момент времени « =О, то при нулевых начальных условиях стационарный режим работы системы достигается асимптотически при « — со. Однако в инженерной практике принято говорить о конечной длительности переходных процессов, после изавершения» которых состояние практически можно считать стационарным.
Целесообразно аналогичным образом поступить и в рассматриваемых задачах. Если, например, процесс «(«) можно трактовать как стационарный в широком смысле через время т„ (рис. 4.5), то выходной процесс т!(«) может рассматриваться как стационарный в том же смысле только через большее время тч > т„. 2.
В случае линейных пассивных систем с затуханием по истечении достаточно большого времени т„от момента « =О случайный процесс ц(«) будет приближаться к стационарному в широком смысле. Действительно, полагая в формуле (13) «- со, получаем пг„=М(>1(«)) =т ( Ци)с(и =т К(1а)1„=а (4.2.1 7) о ной практике процесс г!!«1 обычно трактуется как сзчщио>гарный через некоторый конечный нсгтервал времени т, определяемый (г длительностью переходных процессов в системе. Формула (181 позволяе> получить простое соотношение между спектральными плотностями Я„(а) и от(а! для выходного т!!«) н входного «!«) стационсгрпых процессов.
Действительно. беря преобразование Фурье от обеих частей равенства (18), имеем Я„(е>)= ) Я„(т)схр( — 10>т)с1т.=- ( ехр[ — )ат)с«т х х ) ) ехр[ — !а(с(-и)]1г(и)1>(г)«ст(т+ и — с>)ехр[ — «а(и — 0))(1и(10(. оо Меняя местами порядок интегрирования н учитывая формулу !4.1.171, получаем Ю :(( 5„(с»)= ) ехр( — 10)г>)1«(г>)с«г (ехр(1сви)1«(и)с«и ) ехр[ — !а(т+и— — г()) Л,(т+ и — «> )с!т =- К()а)К( — !со) ) ехр( — 10хг)Я,.(г)с1>х ге 5„(с») =-5т(0))! К(30)) ~ . (4.2.1 9) Следовательно, спек>ральная плотность процесса на выходе сгациопарной линейной системы в стационарном режиме равна спектральной плотности входного стапионарного процесса, умноженной на квадра( амплнгудсго-частот«>ой характериспикн системы. Этот важный результа.г позволяет продуктивно использовать спектральную плотность при расчетах случайных процессов в линейных системах.
Формулы (16) н (15) при « — х, принимают вид 17„=-. ) (й(и,)1«(иг)й.(и, — гсг)с«гс((1(с„ !4.2.20! оо Я „(т) == ) й (и ) Й,(т — и )с«гс, т =- « — « '. » !!а основании (17) и !21! можно спела>>, вывод. что если входной процесс «(«! стацпопарен в пплроком смысле.
то процессы «!«! н ц!«! ас«гмгпотнческн (при (- ес! являются стационарно с пг>аннымн в пшроком сьп геле. Отме(им, что, зная обпгце правила ипересчетш вероятностных характернс>нк сл. пр. через линейные сисссмы и безынерционные нелинейные ус>ройства (1.5.91, можно производить расчеты раз»пчпых систем. сос н(влепных из последовательно соединенных 20> л Г, т(о(Г)= — ~ го(и)г(и. Г Л (и — о)= — 5 (ггл)схр()ог(и — о)3г(ол и поменяв порядок интегрирования, имеем лд Выполнив интегрирование, получим ! Г /з и Ла'з' йч(т)= — ! 5о(в)( ) ехр()гот)Иго. 2 ! ' (, Ла) (4.2.25) ц(г)= — ~ «(гг)гйь -1Л 1 л (4.2.23) Полставив в формулу (25) г~гч ™ г1 (г) ' 2Л ~ М («Ог)) йг гпс (4.2.24) 5т(го)=- ! Лг(т')ехр( — )гот')г(т« гба 205 линейных и нелинейных безынерционных звеньев.
Пусгь„!ьзпример, интересуюшая иас сис'гома представляет собой последовательное соедгшеиие линейного звена Бг безьшсрциогшото элемента и второй линейной системы ! з В данном случае результирую!ций оператор имеет вид т)(!) ! (ч(!)1 ~ 2$ г (~ ! 'ьь)(!)1Ц' (4.2.22) где У.г и )', - линепцые операторы. При извеспюм законе преобразования сл. пр. линейными системами изучение оператора (22) сводится к анализу безьшерциопиых нелинейных преобразований (!.5.9). Прилтсчание. Нг! с.
98 был определен идеализированный сл. пр. и(!) с бесконечной дисперсией. иазвапиый БГШ. Может возникнуть вопрос: нельзя ли вместо такого процесса ввести более «реальный» пекоррелироваииый сл. пр. с конечной дисперсией 0„: ()3„, т=О, М(гп(!)';=-О, М(п(Г)гг((+т)г —.~ Корректно ввес.ги и продуктивно использоват ь такой процесс невозможно. При воздействии его па линейную систему выходной процесс оказывается тождественно равным нулю: Ч(!)=-()г(т)гг(! — )г)т=О. о Это следует из формул ()3) и ()б), В данном случае пг„(!)=О и ))ч(!)=О, так как объем поверхности иад линией равен нулю. Пример 4.2.!. Осреднопие стационарного процесса за конечный интервал времени.
Пусть «(г) — сщционарный в широком смысле случайный процесс с и. о. »гл, корреляционной функцией Я,(т) — — Вгг,(г) и спектральной плотносгыо Ь;(го!. Образуем новый процесс получаемый в результате осреднспия пропесса «(г) за временной интервал (г — Л. г-(-Л), такая операция при болыпих Л встречается при измерении характеристик случойнгох процессов, а при малых Л при сгла;каоаппи быюрых ггзмсггсний процесса и часто гпгзговастся гпектчвии (игю гкогг тли(ног! гггизкиггоггглелг.
Найдем м. о. юч, дисперсию рч, корреляционную функцию Лч(т) и спектральную плотность, 5ч(а) сглаженного пронесся Ч (г). По известным правилам илгеем лл ! Вычтем из обоих частей равенства (23)' и. о. (24! и обозначим центрироаанныс величины нулевым индексом: По определению, записываем выраженно для корреляционной функции ! д л л Г л ( )=м(ч„(~)ц,(~ )) = —. ~ л,( — !<ау. ~- л -. -л Подставив сюда 1 й (т)= — - — 5 (о!)г(а ехр( — 3озс)гй ехр(3гои)ди. 2к4Л' ° -л Отсюда непосредственно следует, что 5„(а) = 5 (в)(ап Лго/Лго)' так как функция з(гг Ла(Ла сконцентрирована в окрестности малых значений Ла, то опсраппя текущего сглаживания (23) действительно полавляет высокочастотные сосзавляющие спектра 5 (а)„т.
е. устраняет быстрые изменения, (если онн бьщи в процессе «(г). Из сравнения формул (!) и (23) следует, что операцию текущего сглаживания можно рассматривать как пропускание процесса «(г) через линейяую систему с прялюугольной импульсной характеристикой ((;гЛ, )г)<Л, Ь(г)=( (О, )г/рлЛ. Комплексная частотная характеристика такой системы л ! Г з)п Лго К(йо)= —.
~ ехр( — )олг)г(г=-- — —. 2Л~ Ла К (т) = — 11 ~1- — ! К (т-г)г2т. 2Л 1 (, 2Л7) (4.2.26) Ц (г) = т1я ехР ( — а! )+ и ехР ( — а!) ] ехР (ин)н (ц)г)и. ч 14 2.30) Отсюда при т=-0 нахолим лнспсрсию Р„=-К„(0)=-- ~ ~1- — '-]К,() л -гл (4.2.27) '!' т1г(!)= —, ~ Цтт)г7и=- — ~ 6,(! — г)йп Т ~ Т~ (4.2.28) — г го дисперсия сто равна со (4.?.29) 14.2 311 (4 '! 3'г) 14.2ЗЗ) К„(гг, гг)=(1т)2)б(гг — г,). л(6 цЯ ш, (!) г шссхр(-и!), В, (!)=Р„ехр( — 2тт!).
206 поменяв местами порядок интегрирования и вьшолннв вычисления, получим формулу лля корреляционной функции Следовательно. лля вычисления дисперсии скользящего временного среднего значенив стационарного в широком смысле случайного процесса необходимо знать его корреляционную функцию. Часто формула (27) используется в несколько ином виде. Если вместо 123) рассматривать процесс Эзв формула является основной при формулировке различных зргодическнх т:орем. При этом главный интерес представляет установление условий, при которых выполняется предельное соотношение 1нп Р„(Т)=0.
гПрнмер 4.2.2. Воздействие белвгв шума иа пптегрнруннпую нянь КС. Пусть на интегрирующую цепь КС (рис. 4.61 с мол!с!!та времени г„=-0 воздействует напрюкение белого гауссовского шума и(!) с нулсвыл! м. о. н корреляционной функцией Рнс. 4.6. Воздействие белого шума на цепь КС Найдем м. о. н коррсгшциовную фупкцяю,шя напряжения ц(!) на емкости Г. Напр!!жег!ие ц(!) определяется линейным дифференциальным уравнением Кт1)гИ-1 а!1=ил(!), а=-1,тКС, общее решение которого нри начальном условии т1(0)=т1„дается выражением Относительно характера начально!о условна возможны два случая: 1) начальное условие является неслучайным (летерминироввнным! и 2) начальное условие является случайным; в последнем случае для решения задачи необходимо указать ро(цс) сл " цяПредцолохтим пока, и о начальное напряжение г1„неслучайное, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
