Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

3. ТЪе Глк!са! 8!пш!а!!оп о( 8!ос!савссс (Э!(Гегепг!а1 Ес(пабопзд!ЕЕЕ тгапа.— 1974, -.Уо!. АС-19, !Чэ 1.— Р 75 — 7б. 178 ьс„,, =г,„— а«,Л+ Р псв„, Р,=Р=!цуга/2 (3.Ю.18) Однако линейное уравнение (17) допускает другое представление в дискретном времени. Действительно, нз общего решения Цс) = Г(со) охр ( — а (с — со)) + 7 1 схр ( — а (г — т ) П(т) с(т получим «„„=ехр( — аЛ) «„Ч- Р '" (Л) п„ (3.10.19) где ,И' тгЛС Р (Л) = 7' — 1 ехр( — 2ат) с(т = — (1 — ехр ( — 2аЛ)). 2, да (3.10.20) Отсюда следует, что лисперсия Р(Л) удовлетворяет уравнению (Р/ (Л 2 Р 1.

29/2 с начальным условием Р(0)=0. Заметим, что выражения (19) и (20), в отличие от (18), устанавливают точное соотношение между «„„и «, при любых значснивх Л. Если шаг дискретизации по времени Л выбрая таким, что аЛ~!, то можно воспользоватьсв приближенными равенствами ехр( — аЛ)се! — аЛ, 1 — ехр( — 2аЛ)-2аЛ. При этом выражения (18) и (19) будут совпадать.

Следовательно, приближенное соотношение (!8) тем точнее, чем меньше шаг Л. Рассмотрим линейное векторное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с/«/ с/С = А «(1) + и (1), (3.10.21) где «(1) --- векторный процесс; А — квадратная матрица; и (1~ — векторный БГШ с нулевыми м. о. и корреляционной матрицеи М(П(гг)П'((г)) = М(( — !!)' (3.

10. 22) () — симметричная неотрицательно определенная матрица. Общее решение уравнения (21) имеет вид «(1)=Ф(1 — 1 )«(Г )+) Ф(1 — т)п (т)с/т, (3.10.23) 'о где Ф(1) -переходная матрица, удовлетворяюгцая уравнению с/Ф (1) /с/г = АФ (1) (3. 10.24) с начальным условием Ф(0)=Е, где Е- — единичная матрица. Из теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений известно, что уравнению (24) удовлетворяет матричная экспонента, определяемая матричным степенным рядом Ф(1)=ехр(А()=1+А!+ (1/2)А~(~+ (1/31)А~(~+ ...

(3.10.25) 179 Из (23) с учетом (25) получим г,„„= ехр (АЛ) г,„+ и„. (3.10.26) Корреляционную матрицу дискретного векторного белого шума определим на основании (23) и (22): ( / (~.1- 1) Ь Р(Л)=М(п„п„')=М~( ) ехр(А((о+1)Л вЂ” т)Яп(т))А(т) х ~й АПА))й А) т) х ( ) ехр(А[(о+1)Л вЂ” тД) п(т,)((т,) ~= чь (3.10.27) =) ) ехр(Ат,) М(п((О+1)Л вЂ” т,) и'((о+1)Л вЂ” т1)) х оо Ь х ехр(А'т )Ыт)1йз=) ехр(Ат)Яехр(А'т)й(т. О Умножим это равенство слева на А: й ь АР (Л) = А ) ехр (А т) () ехр (А'т) й)т = ) (А ехр (А т) ()т) О ехр (А'т). О о Если здесь применить матричный аналог интегрирования по частям, то получим й ь АР(Л)=) Ы(ехр(Ат)3 Яехр(А'т)=ехр(Ат) Оехр(А'т) ~— о О Ь вЂ” ) ехр (Ат) А((О ехр (А'т)) = ехр (АЛ) () ехр (А'Л) — 1()1— о — ~ ) ехр (А т) () ехр (А'т) а)т~ А' = — (,( — Р (Л) А'. т «п(ь) 4Ь При записи последнего равенства использованы формула взятия производной от интеграла по верхнему пределу и равенство (27).

Таким образом, матрица Р(Л) удовлетворяет уравнению А(Р (Л))11(Л = АР+ РА'+ Я (3.10.28) с начальным условием Р(0)=0. Матрица Р(Л), как всякая симметричная неотрицательно определенная матрица, может быть представлена в виде Р=бб', (3.10.29) где С вЂ” нижняя треугольная матрица (все ее элементы над главной диагональю равны нулю). Такое представление в теории матриц иногда называют извлечением квадратного корня.

)во С использованием (29) из (2б) удается получить удобное для моделирования выражение Ц„)=ехр(АЛ) 1,„+Сп„=Ф(Л) г,„+Сп„, (3.10.30) причем М (п„п„") =18„„. (3.10.31) Соотношение (30) является векторным аналогом (19) для скалярного случая; оно позволяет моделировать процесс В(() в дискретном времени. При этом нужно выполнить следующие этапы. 1. Имея матрицу А, численными методами можно решить уравнение (24) и с любой точностью найти матрицу Ф (Л) = = ехр (А Л). 2. По известным матрицам А и (~ численными методами решаем уравнение (28) и с нужной точностью находим Р(Л).

3. По найденной матрицу Р(Л), используя стандартную программу, определяем матрицу С. 4. Выполнив операции, предписываемые алгоритмом (30), по Г,„ находим 1„1. При этом в качестве компонент шумового вектора берутся реализации датчика стандартных гауссовских чисел. Укажем, что в некоторых задачах (малая размерность г,((), диагональная матрица А и др.) может оказаться более удобным найти аналитические выражения матриц Ф((), Р((), С(() (см, приведенные ниже примеры). После этого для моделирования процесса г,(() необходимо будет выполнить лишь п. 4 указанного алгоритма. Организация вычислений матричной экспоненты Ф (() = ехр (А() подробно описана в литературе.

При аналитическом вычислении ее можно воспользоваться определением (25). Если матрица А диагональная: А-( ' то легко вычислить )'ехр (а, () О ехр (А() = О ехр(а„()/ Однако определение (25) удается использовать лишь при малой размерности или очень простом виде матрицы А. Чаще для вычисления матричной экспоненты применяют преобразование Лапласа. Обозначим через Ф(р)=.У(Ф(()) матрицу, каждый элемент которой представляет собой изображение по Лапласу соответствующего элемента матрицы Ф((). Тогда из (24) имеем (р1 — А) Ф(р)=1, .к'(Ф(()) = рФ(р)-Ф(0) = рФ(р) — 1.

)в) Отсюда, если определитель г)е1(р1 — А)ФО, получим Ф(р) =-(р(-А)-'. (3.10. 32) Это соотно|пение может быть использовано для вычисления матричной экспоненты е - Е((,1 (3.10.33) Получим теперь для векторного линейного варианта аналог приближенного скалярного алгоритма (18). Из (25) следует, что при е — 0 первое приближение для матрицы Ф(е) имеет вид Ф(е)-1+А(1). При этом из (27) получим П(А)-(~Л.

В резулыате приходим к аналогу алгоритма (18) в векторном случае Р„„=(1+ Ал) Р,„+Г1п„, М(п„пт) =18„„, (3.10.34) а нижняя треугольная матрица Г, находится из уравнения Г,Г| =0А. (3.10.35) Рассмотрим три примера. Пример 3.10.2. Молель речевого сообщения. В качестве модели речевого сообщения иногда используют сл. пр., заданный системой еуге)еуе" ахч| =еЕче)|Ее.

|Ехчз)|Ее+ Рхг="(е). (3.10.36) Приведем (36) к общему виду (2!); ~Це /ое = — асе — РЦ+ л(е). ~79П!е= — Рчз ч-л(е). (3.10.37) Сравнивая (21) и (37), нетрудно установит|в что — 2 ! 1 (3.10.38) Воспользовавшись формулой (32), найдем преобразование Лапласа матрицы Ф(е) Н +Р) 0 1+ Отсюда получим ехр( — ае) — [схр( — ае) — ехр( — Ре)) Р Ф(1)=.2| (Ф(р)) = .

(3.10 39) На основании записанных матриц (38) и (39) по формуле (27) можно установить, что элементы матрнды лнспсрсий П(Л) имеют следующий вид: Еа аР Р и„= ', ![- т(га) — — т( +Р)ч--т(2Р), ' 2(.-Р)'[2 +Р 2 ее, =, т( +Р) — т(2Р), (3.10.40) аз — Р' 2(а+ Р) ! е)зг= т(2Р) т(х'е=! — ехр( — Ах). 2Р !82 (30), если Таким образом, сл. пр. 1'=(бо гз) можно молслировать алгоритмом разложить матрицу П(А) с элементами 1401 по формуле (29) Приблня|енный алтари|'м 134) можно получить двумя путями: (35) или наГ|дя первое приближение прн Ь-~0 лля выражений (40).

должны привести к олному результату. Тогда получим используя Оба пути подстановкой можно убедиться, что решением уравнения Г,Г, '=п(б) является матрица -(7)о|(' ') Поэтому приближенный алгоритм (30) для рассматриваемого примера имес| вид " =(',-':)' ( — ")и'(' ). (3,10.41) Првнер 3.10.3. Двухкомпоневтный гауссонсно-марковский процесс. Пусть ецП е =-ад,-Р,с,+ е,(е), |еЦ, / еее = — а| г, е — Рз г| -|- и, (е), тле ( %,/2 г IА|,М,/2'( М (я (Е)) — О, М |в (Е| ) п (Е|)) 'тг Лле,)2 (3.!0.42! |'-а, -Рз Ясно, что в даяном примере А=. а| Р| САС '= ' =К. (3.10.43) Элемсн|ы ма|рицы С находим нз уравнения, получающегося умноженном равенства (43) справа на С: СА=КС.

Отсюда ).=! з'/2Р, 1 з), (чР,/8 2а~Р~)8 ! — т)2а 7' 12а|Р,)8 — таз|8 где я=а| — Рг — вц б=ч +4а|Р|. При вычислении матрицы Ф применим метод диагонализации. Извесюю. что собственные числа матрицы А есть решения характеристического уравнения бег(Х1 — А)=О. Обозначим их через еЕ, . Тогда получим еуез= — (а,.ЬР,9 ш)/2, о|=[(а, — Р,)*-~-4а~Р,)ее'.

ПустыЕ| з- вещественные. Тогда существует невырожденная матрица С, приводящая А к диагональному вилу, т. с. или при условии ачксо Я (т)ж(ыодс<8а)ехр( а (т!)созсоот. (3.10.44) Посколысу матрица И диагональная„то стех!г (с<, С ) 0 схр(йс)=-( О схР(с<гг) — а О соосй 1 0 , ), о='— ',"(, '",) <3.10.47) <3.!0.48) Г = — — [! — ехр ( — 2аЛ)~ = у условию (3.10.54) П (Л) = — [! — ехр ! — 2аЛ)3' '( 8о: со о (3.10.49) <3.10.55) Г=. -"- - г! — сггсср(-2аЛ)) (3.10.50) Из <431 имеем А=С 'ИС.

Поэтому А" =(С ' ИС) (С ' ИС)...(С ' ИС) =-С ' И"С, Исполюуя гто равенство и определение <25), получаем Ф(с)=-схсг(А<сс=1-~-сксч (1;2)лгс -с-...=-с '1с !с 'йсс-с-...= =С '(!.гйсю(! 2)йгсгн...)С=-С ' елр(йс)С. Испоэьзун ньсражения лля С н С '. а так;ке <44!.

походим Ф(Л)= ', ' ' ', ' ). (3.10.45! тгсхр(с<с Л) 4аг(<секр(с<гЛ) 2таг[елр(с<сЛ) — схр(с<гЛ)гз -(, ',' 2т Р, [схр(с<с Л) — ехр(с<гЛ)1 4аг(<с ехр(с<с Л) ч ъ 'схр(с<гЛ) ~' Выражения лля элементов матрицы дисперсий П(Л) нмссотся в (7). Рюсмогрснный пример пс охнотынаст случай комплексных собственных зно ыннй матрнщл А. Мотрипу А с такими собственньсмн числами имеет процесс прняслснносо ннхы прилссра. Пример 3.10ий Процесс ня выходе колебательного контура. Пусть ся. пр.

«(с) задан линейным стохаспщескнм лнффсреннинльным уравпениелс второсо порядка: < г,";,с с<с г -~ 2 а с<«00 4 ос(! «з = со ', сс (с ), осо» а. (3.10.46! Подстановкой !л = с/',!ид «, =«зто уравнение пряводится к стандартному виду (21), сг!зп юм Применяя методику преобразования Лапласа <32), <ЗЗ!. похолим с ссгчс"ос+(а<ого)зпгосос (<сыо)ясного! Ф<С)=схр( — аг)! )( сот ыос — (сс осо)ыпос„с Если применить формулу <27! и на интервалах Л, удовлетворщоших Лого»2х.

пренебречь попами с а,'ого, то получим Можно показать. что нижняя треугольная матриня н разложении (29) чтя <49) пмеег внд Вскторпый сл. пр. ~"'„„первая компонента коз орос о совпадаег с исходным процессом «. в дискретном времени можно модслиров;ыь по формуле (30) с найдспнысли выражениями <48) и (50) для магриц. 184 Заметим, чго сл. пр. «(с), заданный уравнением (46), можно прелставнсь иначе. Известно, что процесс «(с) в стационарном состоянии илсеет корреляционную срункцню юо су сс а йг(т)= — ех<з( — а)т!) созсоот-1- — Юного !т! 8а со„ Гауссовский узкополосный сл.

пр. с такой корреляционной функпией моясно представить в виде (4 4.7) «(с)="с(с)сояыос-,«г(с)яспыссс, где «с(с) и «г(с) квадратурныс составляющие процесса, представляющие собой независимые гауссовские процессы с одинаковыми экспонснциальньсми корреляционными функциями Яс (т)= й, (т)=(соогА')8а) схр( — а !т!). Процессы «с(с) и «г(с) могут быть заданы стохастическими дифференциальными уравнениями лс«,)с<с= -а«, +л,(с), с)«ггсс<с= — а~,чл,(с), (3.10.52) где сс,(с) н л,(с) -независимые белые гауссовские шумы с нулевыми м. о.

и одинаковыми спектральными плотностями Агс =<Уз=Ос. Для системы уравнений (52) матрицы А и <3 имеют вид Матрицы Ф н Р можно вычислить соотнетственно по формулам (25) н (271: С ехр( — аЛ) 0 1 „'ЛС /! О'< Ф(Л)=~' П(Л)= — [1 — ехр( — 2аЛ)1( ). <3.10.53) ( 0 ехр( — аЛ))' 8а (,О !) Диагональная матрица П(Л) легко разлагается по формуле <29) Приближенно процесс «„можссо моделировать в соответствии с формулами <34), (35), которые с учетом (47) приводит к следующему алгоритму: «„,, «„+во п„. Отметим, что здесь в переходной матрице отсутствуют функции высокочастотного колебания сочсоос и йпыос. Поэтому интервал дискретизации Л должен выбираться из двух условии; аЛ«1, Лыо~2я.

Если же моделировать процесс «, в соответствии с алгоритмом (30), в котором матрицы Ф и Г задаются выражениями <48), (50) или (53), (54), то нет необходимости брать несколько отсчетов на периоде высокой частоты Г„=2я<са,, Г л н в ц 4. СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 111! >1 11) Еис«п«ин ) «,(11 ) Еис«с сын К117 и( й) 4.1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СИСТЕМ Аналитическое исследование поведения любой системы предполагает обоснование математической модели рассматриваемой реальной системы. Прн выборе модели обычно руководствуются следующими тремя основными соображениями: модель должна адекватно отражать интересующие нас свойства реальной системы, по возможносги быть простой (экономной) и продуктивной, т.

Характеристики

Список файлов книги