Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При !том (чго весьма существенно) в общем случае будут получаться разные результаты. Это есгественно вызывает чувство неуверенности и неудовлетворенности, и возникае1 вопрос: нельзя ли ограничиться какой-либо одной ф! рмой стохастического дифференциального уравнения (например. Иго или С'трР!!ОР!Овича) и какой имщшо! Прп о!вета» »1ожпо исход!и ь нз двух точек зрения; формалыю ма!см;ппчсской и физическои (приклад!юй). К нас!ошцсму времени в математических работах по марковским диффузионным процессам обычно опсрнру1от уравнениями Иго.
При жом с самого начала постулирусгся, что модель анализируемой системы описывается с!охас1ическими ди!рфсрс!Нпщльпыми уравнениями Ито и вся послсдуннцая геория »ъ!!знруегся на испОльзОванни стО»ас!и'1сских 1!ИР(!фсрспгцп!лов и нпгс!радов Иго. В 1»абО ! а» п(э!!к~!адно! О характера 'щще нсноль !уют ся сиРл" м111шзов!!пня!С с1охасгическис '!Нг(>г)!с(зеец1п!11ы!ыс у(тавнепия (Нпгс!радыы) Огратопови 10. Для эгогс1, во-первь1х. Имею! ся опрсдслецн!,!с физи юскив ОснОвания (см.
Нпяге), во-вто111,!х, мОжнО пользоваться обы н1ымп правилами маземаы1чесього анализа и, в!рет!,их, О!На!!аез псооходимоаь изучения спецтаьпых правил исч1юлеппя Иго. Д)тугие прш1м)1цесгва 11 Ргедос1агки Оперирования как!пой пз форм с!охастических дифференциальных уравнений были указаны выше. Коснемся геперь чрезвычайно вгокного для поактнческих приложений вон(Роса Об адеквазпосп1 и~ ходпой ма.1ем;!тпческой модели ('1), прнпягой поп рассмо!ре1пи, При анализе дшшмическпх сис!ем и» мз1смагичсскис модели считаю!ох заданнь!мн на основе фпзичещих с!1о!Рра1ксний. Очевидным сомнитсльш.!м момещом являс1ся использовщше в пс»одном уравнении Дапжсвена (11 БГШ л(!), гах как реальный воздейс!вую ций шум с(1) имеет, могксз Оьпь,:! 0!алый, по всегда кон!., Рный ннт!.(звал ко)!реляции, В принципе зго сомнение мо1кпо устранить. Желая оставаться в рамках марковских диффузионных процессов, вместо и(!) мозхно ввести в уравнение (1), например, Рауссовско-марковский процесс ~11) с консчнь!м интервалом корреляции т„, пмсю!ций стационарную корреляционную функцию Я (т) = (сРЛР/4) ехр (--з1т 1).
Иначе говоря, теперь вмесго одного процесса Х(!), заданного уравнением (1), нужно рассматривать двухкомпонентный марковский процесс (7 (!), с,(!)), описываемый системой двух уравнений (27г(Р=Г(г, Х)+й(г, ~)~(г), Х(10).=7,0;) 110,1!21 =- — ис,(г)+ И, 1 (го) =(О,' )г получать ее решение и затем исследова~ь поведение решения при а-+ со. Реализация такого пути оказывается сложной и трудоемкой. В ней нет и необходимости, так как предельное решение будет совпадать с решением одного симметризованного уравнения (2), г.
с. уравнения (30). Таким образом, симметризованным стохастическим уравнением (30) следует описывать ситуации, когда под а(1) подразумевают «реальный» БГШ (с конечным, но малым интервалом корреляции). При численном моделировании стохастических дифференциальных уравнений можно применять обычные методы. Для симметризованной формы уравнений следуе~ использовать метод Рунге-Кута второго или четвертого порядка, а для формы Ито--ме1од Эйлера. Общая особенность применения этих ме~одов к стохаст.ическим уравнениям состоит в том, что на каждом шаге Л=!„— 1„, входной воздейству!Опгий шум п(1) заменяется на гауссовскую сл. в. с нулевым м.
о. и корреляционным моментом М(л„п„) =ЛРБ„„,'2Л. Более конкретные и дополнительные соображения по использованию той или иной формы стохастического дифференциального уравнения будут сформулированы после рассмотрения примера. Укажем е!це один факт. Определения коэффициентов сноса и диффузии формулами (3.4.22) и (3.4.23) не согласованы с трактовкой стохастических дифференциальных уравнений (интегралов) по Стратоновичу. Однако формально ничго не мешает принять соглашение об исходном определении коэффициентов сноса и диффузии в слсдуюп1ем симметризовапном виде: а(1, ))= 1пп — М ).
1+ — Лà — Х ! — -Л! Х(1)=Х, Е(г, Х)= 1пп — М~ 1~1+-Лг~ — 7 ~! — -Лг Х(!)=Х . (З.б.31) Для этого нужно воспользоваться записью уравнения Маркова (3.4.14) в виде тс л, с+-Л)().а, со~=-(тс~)., с+-Л)[)', с — -Л) тс ),'. )в 1 (' с' --„Лс[)>ш!„) с)), и выполнить примерно гс же преобразования, когорыс привели к выражениям (3.4.22), (3.4.23). Прн таком определении ситуация изменится: теперь коэффициенты сноса для стохастических дифференциальных уравнений Ито (22) н Стратоновича (29) будут соответственно )2(), 2)=) (с, Х) — (1/4) Л~(с, 3)дд(сг 'л))сэ)ь сс(), л)=) (), Х), (3.632) а коэффсгцпснты диффузии останутся прежними и одинаковыми: )>() Ц (Лс,)2)аз() 3) Таким образом, приняв в качестве исходных симметрнзованные определения коэЧ>фициентов сноса и диффузии (31), можно устранить осложнение с вычислением коэффициента сноса, хотя само определение (31) нс является безупречным.
Пример 3.6.1. Логвормальиый процесс. Пусть задано стаиютичсское дифференциальное уравнение перво> о порялка. лля когораго можно получить точное решение: с)7,(с))й=к(с)с>(с) Х(с„)=Х (3.6.33) Это уравнение мог.но записать в эквивалентном виде с)Х (с) = Х (с) оо (с). (3.6.34) Запишем решение уравнения х(с)=-с.,б [ 1(т)л(т)с)т=) 4-[х(т)с)о(т). (3.6.35) Применив к уравнению с)ксх=л(с)с)с, Х(со)=-хо, обычную метолику, получим решение 7 (г)=7. схр[оЯ вЂ” о(со)). (3.6.36) так как показательная функция неотрицательная, то в зааисимосги ог начального значениа Хо возможны гРи слУчаа: х(с)>0 пРи хо>0. Х(с)шО пРи уч>=0 и Х(с) <О прп Хо<0.
Примем, что хо>0. Воспользовввпшсь нормальной п. в. (3.5.6) вннеровского процесса Ля=о(с) — о(со) и пеРсйдо в ней по извссп|ым пРавилам к вовой пеРемснной х(с) согласно равенству (36), получим одномерную п. в. для процесса Х(с) в внле нестационарного логнормального распределения: 154 Р(>; с)= — [2Я!>(с — со)) >сгехР~ — — 1п ( - — ) ~. 2)(С вЂ” со)= — (с — со).(3.6.37) Выясним, какому определении> сгохастического интеграла (35) соответствует решение (36) и, шсмсовагсссьио, и.
в, (371. Для зп>го получим решения в форме Стратоновича и в форме Ито. 1. Репюние в форме хтратоиовича. Разобьем интервал интегрирования [со, с[ на ш >лемеспарных подынтераалов .тачками со<с,«...с„=с. Для )-го подын- сервала имеем >. (с, ) = х (с,, ) + [х (сс) + Х (с,, )) Ло)2, Ло,=о(с,) — о(с, г), или иначе Х (с) = о(с, .. > ) (1 ч Лог)2))(1 — Ло,)2). Последовательно подставляя сюда 7 (с,) для )=1, 2,,, ш, получаем Чтобы осуществить предельный переход при шах[с,— сс,~ О, лс со, про логарифмир»ем это равенство и воспользуемся приближенным соотношением сп(1+х)=.г — хг)2.
В результате получим 1и Х(С) = (п Х б 2 ~1~ ( 1+ — Ло, ) — 1>>( ( — - Л,. ес(пХо+ Х -сзо -- — +-Лс»+- =1пхо-ь ~ Ло,=спз +о(с) — о(со) .— 1 или х(с)=хосхр[о(с) 'о(со)1 (3.6.39) что совпадает с (Зб). Воспользовавшись известнымн выражениями одномерной ФЛЭ) и двумерной Ф, ОЭ>, )Эг) характеристических функций винсровского процесса о(с) — о(со) при 3=9, =3, = — ь нетрудно найти м. о. и ковариационную функцию песгацианарнсна процесса о(с): М(Х(с)) =Хам(схР[о(с) — о(со)[) =ХоехР[()У)4)(с — 'о)) (3.6.401 )Гг(с> ° сг)=коМ(схР[о(сг) о(со) со(сг) о(со)3= =~4ехр(()>))4)[с,+с,— 2> Ф2ппп(с,— с, с,— с ))).
(3.6.41) 2. Решение в форме Иго. При понимании интеграла по Иго в соответствующей интегральной сумме берутся значения х(с) в левых концах элементарных подынтервалов, т. е. для ссго полынтервала х(с>)=х(с» )ч-х(с, >)ло,=х(с, >)(1+ля). (3.6.42) 155 'л(с)=Хо П (! ОЛо;). й(с)=Х(с, !)-[(1 — о)Цс, !)4 оХ(с,ЦЛо„ [3.6.47) 7.(с!)=7.(с! с)[1ч-(!-о)Ло,ф(! — чбо). !пав(сс)=1пЦс,,)З-Лцч-(~ — 0,5)Лг,'.
Отсюда, как и выше, получим .,= к Л;= к [о(6)- [,— пз-.-'( †.) — ! ! — ! 2 Поэтому (3.6.43! (3.6.45) Лс — Я(т)йт. 2 (3.6.49) решение которого имеет вид Лс Ч(с)5 Оо — — (с-со)+ л(т)с[ . 4 156 157 Поспелова голыш применяя ло рсшспис л ш С= !. "...., и!. имеем Посс упсж как и выше сшнссрифмирусм равенство и пользуемся тем жс приближением 1и[! гз) -х- ! з,2!. получаем !л л(с)=1п Хо 6 2 1п(1 ! Лг )=1и йо 1 Л ~ Лг,— — Ло,') нли Ц )=З..-р( Х Л,-- Х Лосев=1.
хр~ ()-о(.)-- Х Л' Но согласно [3.5.14) нри ш со, псах!с,— с,,) 0 Х(с)=йо ехр[о(с) — о(со) — (Л74)(с — со)1. Нструлно убедиться, что такому решению соответствует и. в. ! Й-' с)= [2ксэ(с со)! "'ехР~ — ~1л( — (+ — (с — со), (3644) Х ' ' ~ 277(С вЂ” Со)( (Х Зч) 4 причем м. о. и коварнационная функция процесса 1[с) равны М[1.(с))=уо* дс(с!. с!)=Зов"Р[(лс[2)ш[п(с! — со '! со)З. К этому асс результату можно прийти с помощью замены переменной в исхолном уравнении [331. Для ив!с! рала Ито обычные правила замены псРемснньсх нспРименимы.
Если э
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
