Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1) случайные функции ((т, 2.(т)) н «(т, 2.(т)) равномерно непрерывны в среднеквадратическом на отрезке 1(о, (], т. е. М ((т+(1, 2.(т+Л)) — ((т, 2.(т))]з)- О при (1-+О равномерно по та (о, (]; аналогично для д(т, )с(т)); 2) функции (((, ).(т)) и я(т, 2.(т)) интегрируемы с квадратом, точнее, М]~'(т, )с(т))е(т<гхз, М) д'(т, Х(т))((т<оэ; 3) предел в (4), (5) понимается как среднеквалратический. При этих трех условиях пределы в (4), (5) существуют и определение стохастических интегралов этими формулами является корректным. По сравнению с детерминированным случаем определение интеграла (4) для случайной функции не имеет особенностей. Принципиально новым моментом является зависимость стоха- ' Колосов Г.
Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях.— Мз Наука, 1984.†.255 с. !45 Фа тай Г!та тлел ! ! ~1+! г!и-1~т-1гт Рнс. 3.10. К формнрованню интегральной суммы стического интеграла (5) от способа выбора точек т,. и, как следствие этого„возможность различных его определений. Этот новый момент является следствием особых свойств винеровского процесса и формулы (3.5.!4). Убедимся в этом, В интегральной сумме (5) непрерывная функция 8(т) = я (т, Х (т)) на интервале интегрирования [1„, 1 [ заменяется кусочно-постоянной функцией я„(т); постоянное значение ее на подынтервале [1„1;+, ) совпадает со значением непрерывной функции е(т) в пройзвольно выбранных точках т!е [1„1;,, ) (рис. 3.10). Определим правило выбора точек т,.
формулой т1=т,„=(1 — ч)1,.+ч11„„0<ч<1. (3.6.6) Из непрерывности случайной функции Х (т) следует, что ее реализации на малом подынтервале [1н 11„), 1=О, т — 1 можно аппроксимировать отрезком прямой )с(т)=А(1!)+ ("") (!)(т — 1!)+о(!5), 1,.<т<1;„. (3.6.7) !м ! Из (7) и (6) имеем а,(т1„) =(1 — ч) Х(1!)+ ч) (11 „)+ о(!5). (3.6.8) Предположим, что функция я(т, Х) непрерывно днфференцируема по обоим аргументам. Тогда на основании (6) и (8) получим 1;(т1„, ) (т1,)) = о(1н(! — ч)) (1!)+ ч)с(1! 1))+0(Л). (3.6.9) С учетом этого равенства стохастический интеграл (5) преобразуется к виду ! !и - 1 .7„=(8(т, Х(т))!(„о(т)=- йш ~! 8(11, (! — ч)Х(1!)+ ь 0 ' в ! +ч)с(1„1)) [о(1„1) — о(1,Ц. (3.6.10) Здесь индекс ч при обозначении интеграла 7, и дифференциала винеровского процесса с(„о(т) указывает способ построения интегральной суммь1.
При ч=0 формула определяет етохаетический интеграл Ито «! — 1 ,уо — — ) 8(т, Х(т))Ноо(т)= 1пп ~ я(1н )с(1,.))[о(11 1)-о(11Ц, (3.6.11) ! ! 146 который широко используется в теории марковских диффузионных процессов. Вычислим разность 1,—,!' для произвольного ч. На основании предполагаемой дифференцируемости функции 8(т, )с) ее можно разложить в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки (11, х(1,)), который с учетом первых двух членов имеет вид 8(11, (1 — ч))с(1!)+ч).
(11„)) =8(гь Х(1!))+ +ч~д8(11, 7 (11))/д).[~Х(1!.!1) — )с(11Ц+о[).(11,1) — Х(11Ц. (3.6.12) Если в (2) перейти от дифференциалов к конечным приращениям, го с Учетом малости (1;ь,— 1;) можем записать 7 (11„) — ).(11) =Я;„, 7. (т;„))(1;„— 1,)+ +д(т1„, Х(т1„)) (о(1„1) — о(1;Ц+ о(1, „, — 1,). (3.6.1 3) Подставив (13) в (12), а полученный результат в (10), придем к следующему выражению для разности интегралов: !!! — 1 ,7,-,7о=!пп ~ч ~' Я(вь ("))8(1ь Х(1!))~о(11„) — о(1;Ц'+о(Л) .
(3.6.14) С использованием формулы (3.5.15) можно показать [6), что щ — 1 ~ дя(!ьк(1,)) (, а-о! о дХ ! !У ~ дя(Ь Х(с)) г) дХ Таким образом, формула связи (14) между стохастическим интегралом Х„и интегралом Ито принимает окончательный вид ! ! )'8(т, )с(т))г(„о(т)=) 8(т, ) (т))!(оо(т)+ч — ~ ' ' 8(т, Х(т))с(т. ! (3.6.1 5) Из приведенной процедуры вывода этого соотношения можно заключить, что если сл.
пр. Х(1) описывается стохастическим уравнением (2) и некоторая функция !р (т, )с (т)) интегрируема с квадратом и непрерывно дифференцируема по обоим аргумен- там, то справедлива формула ! (ср(т, Х(т))Ы„о(т)=(ср(т, Х(т))Ы,>о(т)+ч — ' е(т, )с(т))с(т. !о ! (3.6.16) 147 Отметим, что если функции е и ер не зависят от в., то разница между интегралами У„и л' пропадает.
Важную роль при анализе марковских диффузионных процессов играет стохастический интеграл У„с параметром 9=0,5: ! Уо 3 = ) 8(т~ е (т))с/о 5 о (т) = и — 1 (Е!+Е!!! (!!)+ (Еы!) ~ (Е ) (1)~ (3.6.1 7) Такой интеграл был введен Р. Л. Стратоновичем [6) и назван симметризовонным. Формальное отличие стохастического интеграла (17) от (11) заключается в том, что при формировании интегральных сумм значения функции я(т, в. (т)) в (11) берутся на левом конце каждого подынтервала ез-разбиения, а в (17) — в середине каждого элементарного подынгервала. Интегралы (11) и (17) приводят к разным результатам. Например, для стохастического интеграла от винеровского процесса с использованием очевидного равенства о(1 ) [о(1„,) — о(1 )1 =('/,) (о'(е;„) — о' (1 ) — [ о(1„,) — о(1 )[' ) и соотношений (3.5.14) и (3.5.!5) получим ( ) ('/т) ~о (1) о~(ЕоЦ /!Е(1 Ео)/2, 9=0, 3 " ). ('/т) Е" (1)-"(Ео)1 9=0,5.
Можно также доказать справедливость равенства [4) ! гр(т )с(т))Ы~ Х(т) — !р(т, Х(т))е/ )х(т)+ Ь(1, Х) !Ет.(3.6.18) ! ! Из изложенного следует, что разные определения последнего интеграла (3) приводят к разным формальным решениям стохастических дифференциальных уравнений (1), (2). Поэтому необходимо обязательно указывать, в каком смысле понимаются уравнения (!), (2), т. е. во избежание разночтений записывать исходное стохастическое дифференциальное уравнение (2) в обобщенном виде е/ЦЕ)=/(Е, Х)г/1+Л(1, Ъ)й„о(1) )с(Ео)=Хо (3619) указывающем, в каком смысле понимается последний стохастический интеграл в (3).
При 9=0 уравнение (2) называется стохастическим дифференциальным уравнением Ито, а при 9=0,5— еимметризовонным уравнением. 148 с/гр(1 7,(е)) — с гр(1 7„(1)) ! /'(1 )„(1)) ~ гр(1 )„(1)) г/1+ +Л(1, в.(Е)) — ' ЕЕО(1). (3.6.21) Это равенство сохранится при замене г/о(е) на с/о,о(е). Покажем, что сл. пр. в. (1), заданный обобщенным стохастическим дифференциальным уравнением (!9), является марковским.
Этот результат иногда известен под названием первой теоремы Дне. Дуба'. Ограничимся пояснениями этого результата. Для трех момен- тОВ ВРЕМЕНИ Ез>1,>1,>1о МОжсы НаПИСатЬ ! Х(13) Х(!х)+1 /(т Х(т))~/т+зь(т Х(т)) /то(т) ' Гарлииер К. В, Стохастнчсскне метолы в естественных науках: Пер. с англ./Пол рсл. Р. Л. Стратоновнча.— Мл Мнр, !986. — 526 с.
' Дуб Ди!. Л. Веронтностныс пропессы: Пер. с англ./Пол рел, А. М. Яглома.— Мл ИЛ, 1956. -605 с. !49 Основным достоинством дифференциальных уравнений (интегралов) Ито является то, что решения ).(1) являются мартингалами, для которых хорошо разработан математический аппарат. Кроме того, использование уравнений Ито иногда упрощает записи. Помимо физических соображений (см.
ниже) одно из важных вычислительных преимуществ симметризованных уравнений (интегралов) заключено в том, что ими можно оперировать по обычным правилам математического анализа (осуществлять замену переменных, интегрировать по частям и т. п.), в то время как с интегралами Ито нужно обращаться по особым правилам (нельзя по обычным правилам производить замену переменных, интегрировать по частям и т. п.). Необычными оказываются и правила дифференцирования функций от сл. пр.
Х(1), являющегося решением уравнения Ито. Пусть Ер (1, л.) — непрерывная ункция, имеющая непрерывные частные производные дгр/де, гр/дл, и дт гр/дХ !. Тогда сл. пр. Ер(1, Х (1)), где л. (1) — решение уравнения (19) с 9=0, имеет стохастический дифференциал' с/гр(1, )с(Е))= — !р(Е, А(1))+/(1, Х(Е)) — гр(1, А(1))+ + -д ! (Е, )с (1)) — ~ г/1+ е (е, )!. (1)) — е (е, ).
(1 )) е/о о (1). (3.6.20) Если же пользоваться обычными правилами дифференцирования и ) (1) подчиняется (19) с обычным дифференциалом !Ео(1), то для дифференциала сложной функции имеем Поскольку приращения винеровского процесса на неперскрывающих интервалах независимы, то Л(1,) при фиксированном значении Л,=Л(! ) нс зависит от Л(! ). что и свидетельствует о марковском характере процесса Л(1).
Вычислим по формулам (3.4.22), (3.4.23) коэффициенты сноса н диффузии для стохастического дифференциального уравнения Ито д (!)=/(!. Л(1))а!+8(1, Л(!))а„в(1). (3.6.22) Имеем !5Ы ! -!. Ы Л(1+Л1) — Л(1)= ) /(т, Л(т))!/т+ ) д(т, Л(т))г/ 0(т). (3.6.23) Для малых Л! первый интеграл справа в силу непрерывности процесса Л(т) и функции /(т, Л) равен М,' ~ /'(т, Л(т))г/т(Л(1)=Л)=-/'(1, Л)Л1+о(Л1). Из определения интеграла Ито (11) следует, что при любом Л! !.!.Ы М( ( 8(т Л(т))!/,0()!Л(1)=Л)=0.
Э!о важное свойство интеграла Ито является следствием независимости приращений процесса 0(т) от подынтегральной функции 8(т, Л(т)) (функция д(т„Л) — — так называемая неулреэюдающая). Использование мого свойства позволяет записать ! !Ы Мф ( д(т. Л(т))с/0!!(т)~')Л(!)=Л) = — д'(1, Л)Л1. Из (3.4.22) и (3.4.23) с учетом написанных равенств получаем а(1, Л) =/! (1! Л), /!(1, Л) =(Ь//2)д'(1, Л). (3.6.24) Для обобщенного стохастнческого дифференциально~о уравнения (19) с учетом (15) можем написать Л(1+ Л!) — Л(!) =/(1, Л) Л1+8(1. Л)1! (!+ Л1) — 0(1)3+ +ч(/!!/2)8(1. Л)~г!д(1, Л)!дЛ1Л!.
(3.6.25) Отсюда по той же методике получим а(! Л)=./(! Л)+(УЛ!/2)8(1. Л)дк(! Л)/дЛ=/(1, Л)+(к/2)дЬ(1, Л)/дЛ, Ь(1, Л)=(Л!/2)85(1, Л). (3.6.26) Видно, что коэффициечты сноса и диффузии однозначно определяю гся функциями / (1, Л) и д(1, Л). Поэтому исходное уравнение (! 9) можно записать непосредс1венно через а(1! Л) и Ь(1, Л): 150 !/Л(1)=)а(1„Л) — (к/2)дЬ(1,1)/дЦй+Ь'"(1, Л)5/„0(1). (3627) Для коэффициентов сноса и диффузии (26), положив в них к=0,5, записываем уравнение ФПК вЂ” р(1, Л)= — — (,/'(1, Л)р)-- — ~-р — Ь(1, Л) — — (Ь(1 Л)р1 . д д 1д!1 д д Если коэффициенты а(Л) и Ь(Л) не зависят от времени, то при граничных условиях нулевого потока вида (3.4.35) стационарная п. в.
р„(Л) определяется обыкновенным линейным дифференциальным уравнением д ( гу(х) ! ад(х)5) дх 1 ь(х) гд(х) дх / „„(Л) =( ),„( ). Решение этого уравнения дается выражением !.' к где постоянная с, определяется из условия нормировки. Из сравнения (24) и (26) следует, что от того, в каком смысле понимается стохастическое дифференциальное уравнение, зависит только коэффициент сноса а(1, Л), причем если функция д(1, Л) =8 (1) не зависит от Л, то коэффициент сноса будет одинаков. Таким образом, уравнению Ито (22) соответствует эквивалентное ему уравнение (19) вида 5/Л(1)=1/(1, Л) — 58(1, Л)дя(1, Л)/дЛ1й+8(1, Л)а„в(1).
(3.6.28) Если же процесс Л(1) задан уравнением (19), то уравнение Ито для этого процесса запишется так: !/Л(1)=) /'(1, Л)+к8(1, Л)д8(1, Л)/дЛ)й+8(1, Л)510в(1). (3.6.29) Следовательно, различные формы стохастических дифференциальных уравнений можно легко преобразовать друг в друга. Возвратимся к формуле (21) и проверим ее справедливость, считая верной формулу (20). С этой целью покажем, что из формулы (21) для процесса Л(1), заданного симметризованным стохастическим уравнением !~Л(1) / (! Л(1))~~1+5(! Л(1))г/Оа в(1)! (3.6.30) следует формула (20) для процесса Л(!), определенного уравнением Ито (22).
Действительно, симметризованное уравнение, эквивалентное (22), согласно (28) имеет вид аЛ(1)=(/(1, Л) — (1/2)я(1, Л)дя(1, Л)/дЛ]й+8(1, Л)4,,50(1). Отсюда и из (21) находим симметрнзо ванный сто хаотический дифференциал !51 Голи записать это уравнение в форме Иго по формуле (29) при» =1,:2, то придем к (20). Этот результат косвенно доказывает, что для сл. Нр. ),(!). описываемого симмстрнзованпыми диф- 1(1срснцпальпы»п1 у!Равнениями, применима Обы Рная форм)1ла дифференцирования сложной функции. Из (19) и (27) следует„что один и тот жс диффузионный процесс Х(!), Имеющий коэффициенты сноса и(1, ).) и диффузии 6(1, ).), можно описывать большим числом сгохастических дифференциальных уравнений, соответствующих р;гзгп1чным значениям».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
